Función zeta de Dedekind

La función zeta de Dedekind se define en términos del cuerpo numérico correspondiente, pero es más fácil investigar sus propiedades analíticas escribiéndola como una serie de Dirichlet clásica. Denotando por${\displaystyle I(n)}$el número de ideales de norma${\displaystyle n}$Podemos reescribir la serie en el dominio de convergencia absoluta como:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{N(I)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {I(n)}{n^{s}}}.}$

Utilizando la cota de Minkowski y sumando sobre todas las clases ideales se puede demostrar la cota de crecimiento : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}I(n)=O(x).}$

Las propiedades básicas de las series de Dirichlet implican que esta serie converge absolutamente para${\displaystyle {\text{Re}}(s)>1}$y define una función holomorfa en este dominio.

Para cada cuerpo numérico, su anillo de enteros es un dominio de Dedekind ; por lo tanto, cada ideal puede factorizarse de forma única en un producto de ideales primos. La función norma es multiplicativa con respecto a la multiplicación de ideales, lo que implica que la función zeta de Dedekind tiene un producto de Euler sobre todos los ideales primos no nulos en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ para Re}}(s)>1.}$

Desde que en${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$Este es un producto absolutamente convergente de elementos distintos de cero, por lo tanto, se deduce que${\displaystyle \zeta _ {K}(s)\neq 0}$en este semiplano.

Erich Hecke fue el primero en demostrar que${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$tiene una continuación analítica a una función meromorfa que es analítica en todos los puntos del plano complejo excepto en un polo simple en${\displaystyle s=1}$El residuo en ese polo viene dado por la fórmula del número de clases (véase más abajo), que combina datos aritméticos importantes que involucran invariantes del grupo de unidades y del grupo de clases del campo.${\displaystyle K}$.

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional que relaciona sus valores en${\displaystyle s}$y${\displaystyle 1-s}$, generalizando la ecuación que satisface la función zeta de Riemann. La ecuación funcional involucra invariantes importantes del campo numérico. Sea:

• ${\displaystyle \Delta _{K}}$denota el discriminante de${\displaystyle K}$,
• ${\displaystyle r_{1}}$denota el número de lugares reales (incrustaciones) de${\displaystyle K}$,
• ${\displaystyle r_{2}}$denotan el número de pares conjugados de lugares complejos de${\displaystyle K}$de modo que${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}}$.

En términos de la función gamma${\displaystyle \Gamma (s)}$, definimos los factores gamma reales y complejos como:

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2),\qquad \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s).}$

Luego, la función:

${\displaystyle \Lambda _ {K}(s)=\left|\Delta _ {K}\right|^{s/2}\Gamma _ {\mathbf {R} }(s)^{r_ {1}}\Gamma _ {\mathbf {C} }(s)^{r_ {2}}\zeta _ {K}(s)}$

satisface la ecuación funcional:

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)}$

La ecuación funcional para la función zeta de Dedekind implica un conjunto de ceros triviales que cancelan los polos de los factores gamma en la ecuación; mientras que los ceros no triviales son ceros comunes de${\displaystyle \zeta _{K}}$y${\displaystyle \Lambda _{K}}$La ecuación funcional y el producto de Euler muestran que los ceros no triviales deben estar en la franja vertical.${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$y son simétricas con respecto a la línea crítica.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$.

En analogía con el${\displaystyle \Xi }$A partir de la función zeta de Riemann, se puede definir:

${\displaystyle \Xi _{K}(s)=-{\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)}$,

que elimina los polos de${\displaystyle \Lambda _{K}}$, produciendo una función completa , y mueve la línea crítica a la línea real. La ecuación funcional se simplifica a:

${\displaystyle \Xi _{K}({\overline {s}})={\overline {\Xi _{K}(s)}}.}$

Dos campos se consideran aritméticamente equivalentes si poseen la misma función zeta de Dedekind. Estos pares son útiles como contraejemplos para demostrar qué invariantes aritméticos no pueden determinarse mediante ninguna característica de la función zeta de Dedekind.

Perlis (1977) demostró que dos campos numéricos K y L son aritméticamente equivalentes si y solo si todos los números primos p , salvo un número finito de ellos, tienen los mismos grados de inercia en los dos campos, es decir, si${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$son los ideales primos en K que están sobre p , entonces las tuplas${\displaystyle ([{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i}:\mathbb {F} _{p}])}$deben ser iguales para K y para L para casi todos los p .

Bosma y de Smit (2002) utilizaron triples de Gassmann para dar algunos ejemplos de pares de campos no isomorfos que son aritméticamente equivalentes. Dado que algunos de estos pares tienen números de clase diferentes, la función zeta de Dedekind de un campo numérico no puede determinar su número de clase.${\textstyle h(K)}$, solo la cantidad compuesta${\estilo de texto {h(K)R(K)}/{w(K)}}$.

Para el caso especial${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$La función zeta de Dedekind es igual a la función zeta de Riemann , el prototipo clásico de todas las funciones zeta y funciones L.

La función zeta de Dedekind es un caso especial de una función zeta aritmética y de una función zeta de Hasse-Weil para el esquema${\displaystyle {\text{Especificación }}{\mathcal {O}}_{K}}$. ^{[ 4 ]} También es la función L motivacional del motivo que proviene de la cohomología de${\displaystyle {\text{Especificación }}{\mathcal {O}}_{K}}$.

Aunque las funciones L de Artin están asociadas a extensiones de cuerpos numéricos y representaciones de Galois en lugar de a cuerpos numéricos individuales, las funciones zeta de Dedekind son un caso especial de estas. Para cualquier extensión de cuerpo numérico finito${\displaystyle L/K}$y la representación trivial${\displaystyle {\mathcal {1}}}$de su grupo Galois${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$La función L de Artin resultante es:

${\displaystyle L(s,{\mathcal {1}},L/K)=\zeta _ {K}(s).}$

Las funciones L de Artin son muy útiles para proporcionar factorizaciones no triviales para las funciones zeta de Dedekind. Si${\displaystyle L/K}$Si es una extensión de Galois finita , entonces la función zeta de Dedekind del campo más grande es la función L de Artin para la representación regular.${\displaystyle \mathrm {reg} }$de${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$y tiene una factorización en funciones L de representaciones irreducibles de este grupo:

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\mathrm {reg} ,L/K)=\prod _{\rho {\text{ irr}}}L(s,\rho ,L/K)^{\deg(\rho )}}$

Sin asumir que la extensión es de Galois, la fórmula se vuelve más complicada, pero también es posible obtener una factorización similar utilizando el cierre normal del cuerpo mayor y las representaciones inducidas . Sea:

• ${\displaystyle M}$ser el cierre normal de${\displaystyle L/K}$,
• ${\displaystyle H}$ser el grupo Galois${\displaystyle \mathrm {Gal} (M/L)}$,
• ${\displaystyle G}$ser grupo de Galois para${\displaystyle \mathrm {Gal} (M/K)}$,
• ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ser el producto interno de los caracteres de las representaciones,
• ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ser el carácter de representación irreducible${\displaystyle \rho }$,
• ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )}$sea ​​la representación inducida de${\displaystyle \rho }$,
• ${\displaystyle \chi ^{*}}$ser el carácter de${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\mathbb {1} )}$.

Entonces, la factorización de la función zeta de Dedekind es la siguiente:

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=\prod _{\rho {\text{ irr}}}L(s,{\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho ),M/K)^{\langle \chi _{\rho },\chi ^{*}\rangle }}$

En el caso especial donde${\displaystyle L/K}$es una extensión abeliana , la reciprocidad de Artin permite que la factorización se describa en términos de funciones L de Hecke:

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=\prod _{\chi {\text{ prim}}}L(s,\chi ),}$

donde el índice recorre los caracteres primitivos de Hecke que corresponden a representaciones irreducibles del grupo de Galois abeliano.

Tomando el caso aún más especial cuando${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$es una extensión abeliana, los caracteres de Hecke se convierten en caracteres de Dirichlet y las funciones L de Hecke se convierten en funciones L de Dirichlet .

En el ejemplo sencillo de un cuerpo cuadrático K , una extensión abeliana de los números racionales, esto se convierte en:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)\cdot L(s,\chi ).}$

En este caso,${\displaystyle \chi }$es un símbolo de Jacobi utilizado como carácter de Dirichlet. Este hecho —que la función zeta de un campo cuadrático sea producto de la función zeta de Riemann y la función L de Dirichlet con símbolo de Jacobi— constituye una formulación analítica de la ley de reciprocidad cuadrática .

Dedekind conjeturó que para cada función de cuerpo numérico,

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta (s)}}}$

es una función entera . La versión más general de la conjetura de Dedekind dice que para cada extensión finita${\displaystyle L/K}$del campo numérico, el cociente

${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$

es una función entera. Para extensiones abelianas, la conjetura de Dedekind se deduce de la factorización en funciones L de Hecke y del hecho de que las funciones L de Hecke para caracteres no triviales son enteras. Para extensiones de Galois generales, esto se deduce del teorema de Aramata-Brauer. Para extensiones que están contenidas en extensiones resolubles , fue demostrado independientemente por Uchida (1975) y van der Waall (1975) .

El caso general aún está abierto, pero se deduce directamente de conjeturas más generales como la conjetura de Artin o la conjetura de ortonormalidad de Selberg .

La ecuación funcional permite distinguir los ceros triviales y no triviales de las funciones zeta de Dedekind, y garantiza que los ceros no triviales se encuentren en la franja vertical:${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$y son simétricas con respecto a la línea crítica${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$La hipótesis de Riemann extendida (HRE) afirma que todos los ceros no triviales de las funciones zeta de Dedekind se encuentran en la línea crítica, generalizando la hipótesis de Riemann clásica para${\displaystyle \zeta (s)}$. La hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet es un caso especial de la ERH para${\displaystyle K}$, una extensión abeliana de los números racionales.

De esta conjetura se derivan numerosos resultados en la teoría analítica de números y en la teoría algebraica de números .

Existen intentos de generalizar la relación entre los números de Bernoulli y los valores de la función zeta de Riemann en enteros impares negativos:

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.}$

Siegel demostró que para un campo totalmente real, estos valores de${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$son números racionales distintos de cero. Stephen Lichtenbaum conjeturó valores específicos para estos números racionales en términos de la K-teoría algebraica de K.