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criterio de rendimiento de Hill

El criterio de fluencia de Hill, desarrollado por Rodney Hill , es uno de los diversos criterios de fluencia que describen las deformaciones plásticas anisotrópicas. La primera ...

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El criterio de fluencia de Hill, desarrollado por Rodney Hill , es uno de los diversos criterios de fluencia que describen las deformaciones plásticas anisotrópicas. La primera versión fue una extensión directa del criterio de fluencia de von Mises y tenía una forma cuadrática . Este modelo se generalizó posteriormente al permitir un exponente m . Variaciones de estos criterios se utilizan ampliamente en metales, polímeros y ciertos materiales compuestos.

Criterio de fluencia de Hill cuadrático

El criterio de fluencia cuadrático de Hill [ 1 ] tiene la forma  : F(σ22−σ33)2+GRAMO(σ33−σ11)2+H(σ11−σ22)2+2Lσ232+2METROσ312+2norteσ122=1 .{\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.} Aquí F, G, H, L, M, N son constantes que deben determinarse experimentalmente yσij{\displaystyle \sigma _{ij}}son las tensiones. El criterio de fluencia cuadrático de Hill depende únicamente de las tensiones desviadoras y es independiente de la presión. Predice la misma tensión de fluencia en tracción y en compresión.

Expresiones para F , G , H , L , M , N

Si se supone que los ejes de anisotropía del material son ortogonales, podemos escribir:

(GRAMO+H) (σ1y)2=1 ;  (F+H) (σ2y)2=1 ;  (F+GRAMO) (σ3y)2=1{\displaystyle (G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1}

dóndeσ1y,σ2y,σ3y{\displaystyle \sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}}son las tensiones de fluencia normales con respecto a los ejes de anisotropía. Por lo tanto, tenemos

F=12[1(σ2y)2+1(σ3y)2−1(σ1y)2]{\displaystyle F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]}
GRAMO=12[1(σ3y)2+1(σ1y)2−1(σ2y)2]{\displaystyle G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]}
H=12[1(σ1y)2+1(σ2y)2−1(σ3y)2]{\displaystyle H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]}

De manera similar, siτ12y,τ23y,τ31y{\displaystyle \tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}}son las tensiones de fluencia en corte (con respecto a los ejes de anisotropía), tenemos

L=12 (τ23y)2 ;  METRO=12 (τ31y)2 ;  norte=12 (τ12y)2{\displaystyle L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}}

Criterio de fluencia de Hill cuadrático para tensión plana

El criterio de fluencia cuadrático de Hill para placas delgadas laminadas (condiciones de tensión plana) se puede expresar como

σ12+R0 (1+R90)R90 (1+R0) σ22−2 R01+R0 σ1σ2=(σ1y)2{\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}

donde el director enfatizaσ1,σ2{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}se supone que están alineados con los ejes de anisotropía conσ1{\displaystyle \sigma _{1}}en la dirección de rodadura yσ2{\displaystyle \sigma _{2}}perpendicular a la dirección de rodadura,σ3=0{\displaystyle \sigma _{3}=0},R0{\displaystyle R_{0}}es el valor R en la dirección de rodadura, yR90{\displaystyle R_{90}}es el valor R perpendicular a la dirección de laminación.

Para el caso especial de isotropía transversal tenemosR=R0=R90{\displaystyle R=R_{0}=R_{90}}y obtenemos

σ12+σ2−2 R1+R σ1σ2=(σ1y)2{\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}

Criterio de rendimiento de Hill generalizado

El criterio de fluencia de Hill generalizado [ 2 ] tiene la forma

F|σ2−σ3|metro+GRAMO|σ3−σ1|metro+H|σ1−σ2|metro+L|2σ1−σ2−σ3|metro+METRO|2σ2−σ3−σ1|metro+norte|2σ3−σ1−σ2|metro=σymetro .{\displaystyle {\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}}

dóndeσi{\displaystyle \sigma _{i}}son las tensiones principales (que están alineadas con las direcciones de anisotropía),σy{\displaystyle \sigma _{y}}es la tensión de fluencia, y F, G, H, L, M, N son constantes. El valor de m está determinado por el grado de anisotropía del material y debe ser mayor que 1 para asegurar la convexidad de la superficie de fluencia .

Criterio de fluencia de Hill generalizado para materiales anisotrópicos

Para materiales transversalmente isótropos con1−2{\displaystyle 1-2}Siendo el plano de simetría, el criterio de fluencia de Hill generalizado se reduce a (conF=GRAMO{\displaystyle F=G}yL=METRO{\displaystyle L=M})

F:=F|σ2−σ3|metro+GRAMO|σ3−σ1|metro+H|σ1−σ2|metro+L|2σ1−σ2−σ3|metro+L|2σ2−σ3−σ1|metro+norte|2σ3−σ1−σ2|metro−σymetro≤0{\displaystyle {\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}}

El valor R o coeficiente de Lankford se puede determinar considerando la situación en la queσ1>(σ2=σ3=0){\displaystyle \sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)}El valor R viene dado entonces por

R=(2metro−1+2)L−norte+H(2metro−1−1)L+2norte+F .{\displaystyle R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.}

Bajo condiciones de tensión plana y con ciertas suposiciones, el criterio generalizado de Hill puede adoptar varias formas. [ 3 ]

  • Caso 1:L=0,H=0.{\displaystyle L=0,H=0.}
F:=1+2R1+R(|σ1|metro+|σ2|metro)−R1+R|σ1+σ2|metro−σymetro≤0{\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}
  • Caso 2:norte=0,F=0.{\displaystyle N=0,F=0.}
F:=2metro−1(1−R)+(R+2)(1−2metro−1)(1+R)|σ1−σ2|metro−1(1−2metro−1)(1+R)(|2σ1−σ2|metro+|2σ2−σ1|metro)−σymetro≤0{\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}
  • Caso 3:norte=0,H=0.{\displaystyle N=0,H=0.}
F:=2metro−1(1−R)+(R+2)(2+2metro−1)(1+R)(|σ1|metro−|σ2|metro)+R(2+2metro−1)(1+R)(|2σ1−σ2|metro+|2σ2−σ1|metro)−σymetro≤0{\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}
  • Caso 4:L=0,F=0.{\displaystyle L=0,F=0.}
F:=1+2R2(1+R)|σ1−σ2|metro+12(1+R)|σ1+σ2|metro−σymetro≤0{\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}
F:=11+R(|σ1|metro+|σ2|metro)+R1+R|σ1−σ2|metro−σymetro≤0{\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}
Se debe tener cuidado al utilizar estas formas del criterio de fluencia de Hill generalizado porque las superficies de fluencia se vuelven cóncavas (a veces incluso ilimitadas) para ciertas combinaciones deR{\displaystyle R}ymetro{\displaystyle m}. [ 4 ]

Criterio de rendimiento de Hill de 1993

En 1993, Hill propuso otro criterio de fluencia [ 5 ] para problemas de tensión plana con anisotropía planar. El criterio de Hill93 tiene la forma

(σ1σ0)2+(σ2σ90)2+[(pag+q−do)−pagσ1+qσ2σb](σ1σ2σ0σ90)=1{\displaystyle \left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1}

dóndeσ0{\displaystyle \sigma _{0}}es la tensión de fluencia a tracción uniaxial en la dirección de laminación,σ90{\displaystyle \sigma _{90}}es la tensión de fluencia a tracción uniaxial en la dirección normal a la dirección de laminación,σb{\displaystyle \sigma _{b}}es la tensión de fluencia bajo tensión biaxial uniforme, ydo,pag,q{\displaystyle c,p,q}son parámetros definidos como

do=σ0σ90+σ90σ0−σ0σ90σb2(1σ0+1σ90−1σb) pag=2R0(σb−σ90)(1+R0)σ02−2R90σb(1+R90)σ902+doσ0(1σ0+1σ90−1σb) q=2R90(σb−σ0)(1+R90)σ902−2R0σb(1+R0)σ02+doσ90{\displaystyle {\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}}

yR0{\displaystyle R_{0}}es el valor R para la tensión uniaxial en la dirección de laminación, yR90{\displaystyle R_{90}}es el valor R para la tensión uniaxial en la dirección del plano perpendicular a la dirección de laminación.

Extensiones del criterio de fluencia de Hill

Las versiones originales del criterio de fluencia de Hill fueron diseñadas para materiales que no tenían superficies de fluencia dependientes de la presión, las cuales son necesarias para modelar polímeros y espumas .

El criterio de rendimiento de Caddell-Raghava-Atkins

Una extensión que permite la dependencia de la presión es el modelo de Caddell-Raghava-Atkins (CRA) [ 6 ] que tiene la forma

F(σ22−σ33)2+GRAMO(σ33−σ11)2+H(σ11−σ22)2+2Lσ232+2METROσ312+2norteσ122+Iσ11+Jσ22+Kσ33=1 .{\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.}

El criterio de fluencia de Deshpande-Fleck-Ashby

Otra extensión dependiente de la presión del criterio de fluencia cuadrático de Hill que tiene una forma similar al criterio de fluencia de Bresler-Pister es el criterio de fluencia de Deshpande, Fleck y Ashby (DFA) [ 7 ] para estructuras de panal (utilizadas en la construcción de compuestos sándwich ). Este criterio de fluencia tiene la forma

F(σ22−σ33)2+GRAMO(σ33−σ11)2+H(σ11−σ22)2+2Lσ232+2METROσ312+2norteσ122+K(σ11+σ22+σ33)2=1 .{\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Hill, R. (1948). "Una teoría de la fluencia y el flujo plástico de metales anisotrópicos". Proceedings of the Royal Society A . 193 (1033): 281– 297. Bibcode : 1948RSPSA.193..281H . doi : 10.1098/rspa.1948.0045 .
  2. ↑ Hill, R. (1979). "Plasticidad teórica de agregados texturizados". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 85 (1): 179– 191. Bibcode : 1979MPCPS..85..179H . doi : 10.1017/S0305004100055596 .
  3. ↑ Chu, E. (1995). "Generalización de los criterios de fluencia anisotrópica de Hill de 1979". Journal of Materials Processing Technology . 50 ( 1– 4): 207– 215. doi : 10.1016/0924-0136(94)01381-A .
  4. ↑ Zhu, Y.; Dodd, B.; Caddell, RM; Hosford, WF (1987). "Restricciones de convexidad en criterios de fluencia anisotrópicos no cuadráticos". International Journal of Mechanical Sciences . 29 ( 10–11 ): 733–741 . doi : 10.1016/0020-7403(87)90059-2 . hdl : 2027.42/26986 .
  5. ↑ Hill, R. (1993). "Una teoría fácil de usar sobre la plasticidad ortotrópica en chapas metálicas". International Journal of Mechanical Sciences . 35 (1): 19– 25. doi : 10.1016/0020-7403(93)90061-X .
  6. ↑ Caddell, Robert M.; Raghava, Ram S.; Atkins, Anthony G. (1973). "Un criterio de fluencia para sólidos anisotrópicos y dependientes de la presión, como los polímeros orientados". Journal of Materials Science . 8 (11): 1641– 1646. Bibcode : 1973JMatS...8.1641C . doi : 10.1007/BF00754900 . hdl : 2027.42/44783 .
  7. ↑ Deshpande, VS; Fleck, N. A; Ashby, MF (2001). "Propiedades efectivas del material de celosía de octeto". Journal of the Mechanics and Physics of Solids . 49 (8): 1747– 1769. Bibcode : 2001JMPSo..49.1747D . doi : 10.1016/S0022-5096(01)00010-2 .
  • Criterios de rendimiento para el aluminio