Historia de las ecuaciones de Maxwell

En la primera mitad del siglo XIX, la comprensión del electromagnetismo había mejorado gracias a numerosos experimentos y trabajos teóricos. En la década de 1780, Charles-Augustin de Coulomb formuló su ley de la electrostática . En 1825, André-Marie Ampère publicó su ley de la fuerza . En 1831, Michael Faraday descubrió la inducción electromagnética mediante sus experimentos y propuso líneas de fuerza para describirla. En 1834, Emil Lenz resolvió el problema de la dirección de la inducción, y Franz Ernst Neumann escribió la ecuación para calcular la fuerza inducida por el cambio de flujo magnético. Sin embargo, estos resultados experimentales y reglas no estaban bien organizados y, en ocasiones, resultaban confusos para los científicos. Era necesario un resumen exhaustivo de los principios electrodinámicos.

Este trabajo fue realizado por el físico y matemático escocés James Clerk Maxwell a través de una serie de artículos publicados desde la década de 1850 hasta la de 1870. En la década de 1850, Maxwell trabajaba en la Universidad de Cambridge, donde quedó impresionado por el concepto de líneas de fuerza de Faraday . En 1856, publicó su primer artículo sobre electromagnetismo: Sobre las líneas de fuerza de Faraday . ^{[ 1 ]} Intentó utilizar la analogía del flujo de fluidos incompresibles para modelar las líneas de fuerza magnéticas. Posteriormente, Maxwell se trasladó al King's College de Londres, donde entabló un contacto regular con Faraday y se convirtieron en amigos de por vida. De 1861 a 1862, Maxwell publicó una serie de cuatro artículos bajo el título de Sobre las líneas de fuerza físicas . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} En estos trabajos, utilizó modelos mecánicos, como tubos de vórtice giratorios, para modelar el campo electromagnético. También modeló el vacío como una especie de medio elástico aislante para tener en cuenta la tensión de las líneas de fuerza magnéticas dadas por Faraday. Estos trabajos ya habían sentado las bases de la formulación de las ecuaciones de Maxwell. Además, el artículo de 1862 ya derivó la velocidad de la luz c a partir de la expresión de la velocidad de la onda electromagnética en relación con las constantes del vacío. La forma final de las ecuaciones de Maxwell se publicó en 1865 Una teoría dinámica del campo electromagnético , ^{[ 7 ]} en la que la teoría se formula en forma estrictamente matemática. En 1873, Maxwell publicó Un tratado sobre electricidad y magnetismo como resumen de su trabajo sobre electromagnetismo. En resumen, las ecuaciones de Maxwell unificaron con éxito las teorías de la luz y el electromagnetismo, lo que constituye una de las grandes unificaciones de la física. ^{[ 8 ]}

Maxwell construyó un sencillo modelo de volante de inercia para el electromagnetismo, y Ludwig Boltzmann construyó un elaborado modelo mecánico (" Bicykel ") basado en el modelo de volante de inercia de Maxwell, que utilizó para demostraciones en sus clases. ^{[ 9 ]} Las figuras se encuentran al final del libro de Boltzmann de 1891. ^{[ 10 ]}

Posteriormente, Oliver Heaviside estudió el Tratado de electricidad y magnetismo de Maxwell y empleó el cálculo vectorial  para sintetizar las más de 20 ecuaciones de Maxwell en las cuatro ecuaciones reconocibles que utilizan los físicos modernos. Las ecuaciones de Maxwell también inspiraron a Albert Einstein en el desarrollo de la teoría de la relatividad especial . ^{[ 12 ]}

La prueba experimental de las ecuaciones de Maxwell fue demostrada por Heinrich Hertz en una serie de experimentos en la década de 1890. ^{[ 13 ]} Después de eso, las ecuaciones de Maxwell fueron plenamente aceptadas por los científicos.

Las relaciones entre la electricidad, el magnetismo y la velocidad de la luz se pueden resumir mediante la ecuación moderna:

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}\ .}$

El lado izquierdo representa la velocidad de la luz y el lado derecho, una magnitud relacionada con las constantes que aparecen en las ecuaciones que rigen la electricidad y el magnetismo. Si bien el lado derecho tiene unidades de velocidad, puede inferirse a partir de mediciones de fuerzas eléctricas y magnéticas, las cuales no implican velocidades físicas. Por lo tanto, establecer esta relación proporcionó evidencia convincente de que la luz es un fenómeno electromagnético.

El descubrimiento de esta relación comenzó en 1855, cuando Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch determinaron que existía una magnitud relacionada con la electricidad y el magnetismo, "la relación entre la unidad electromagnética absoluta de carga y la unidad electrostática absoluta de carga" (en lenguaje moderno, el valor${\displaystyle 1/{\sqrt {\mu _ {0}\varepsilon _ {0}}}}$), y determinaron que debía tener unidades de velocidad. Luego midieron esta relación mediante un experimento que consistió en cargar y descargar una botella de Leyden y medir la fuerza magnética de la corriente de descarga, y hallaron un valor3,107 × 10 ⁸  m/s , ^{[ 14 ]} notablemente cerca de la velocidad de la luz, que se había medido recientemente en3,14 × 10 ⁸  m/s por Hippolyte Fizeau en 1848 y en2,98 × 10⁸ m/s  por Léon Foucault en 1850. ^{[ 14 ]} Sin embargo, Weber y Kohlrausch no establecieron la conexión con la velocidad de la luz. ^{[ 14 ]} Hacia finales de 1861, mientras trabajaba en la Parte ^III  de su artículo Sobre las líneas físicas de fuerza , Maxwell viajó de Escocia a Londres y consultó los resultados de Weber y Kohlrausch. Los convirtió a un formato compatible con sus propios escritos y, al hacerlo, estableció la conexión con la velocidad de la luz y concluyó que la luz es una forma de radiación electromagnética. ^{[ 15 ]}

Las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell se pueden encontrar individualmente a lo largo de su artículo de 1861, derivadas teóricamente utilizando un modelo de vórtice molecular de las "líneas de fuerza" de Michael Faraday y en conjunto con el resultado experimental de Weber y Kohlrausch. Pero no fue hasta 1884 que Oliver Heaviside , simultáneamente con trabajos similares de Josiah Willard Gibbs y Heinrich Hertz , agrupó las veinte ecuaciones en un conjunto de solo cuatro, mediante notación vectorial . ^{[ 16 ]} Este grupo de cuatro ecuaciones se conocía indistintamente como ecuaciones de Hertz-Heaviside y ecuaciones de Maxwell-Hertz, pero ahora se conocen universalmente como ecuaciones de Maxwell . ^{[ 17 ]} Las ecuaciones de Heaviside, que se enseñan en libros de texto y universidades como ecuaciones de Maxwell, no son exactamente iguales a las debidas a Maxwell y, de hecho, estas últimas se adaptan más fácilmente a la física cuántica. ^{[ 18 ]}

Esta situación, que suena muy sutil y paradójica, puede entenderse mejor en términos de la situación similar que existe con respecto a la segunda ley del movimiento de Newton: en los libros de texto y en las aulas la ley${\displaystyle F=ma}$Se le atribuye a Newton, pero de hecho Newton escribió su segunda ley como${\displaystyle F={\dot {p}}}$Esto se puede apreciar claramente en una vitrina de la Biblioteca Wren del Trinity College de Cambridge , donde el manuscrito de Newton está abierto en la página correspondiente, mostrando la ecuación.${\displaystyle F={\dot {p}}}$, dónde${\displaystyle {\dot {p}}}$es la derivada temporal del momento${\displaystyle p}$Esto parece un hecho bastante trivial hasta que te das cuenta de que${\displaystyle F={\dot {p}}}$Esto sigue siendo cierto en la relatividad especial , sin modificaciones.

La contribución de Maxwell a la ciencia en la elaboración de estas ecuaciones radica en la corrección que realizó a la ley circuital de Ampère en su artículo de 1861, Sobre las líneas físicas de fuerza . Añadió el término de corriente de desplazamiento a la ley circuital de Ampère, lo que le permitió derivar la ecuación de onda electromagnética en su posterior artículo de 1865, Una teoría dinámica del campo electromagnético , y demostrar que la luz es una onda electromagnética . Este hecho fue confirmado experimentalmente por Heinrich Hertz en 1887. El físico Richard Feynman predijo que, «Desde una perspectiva a largo plazo de la historia de la humanidad, vista desde, digamos, diez mil años en el futuro, no cabe duda de que el acontecimiento más significativo del siglo XIX será considerado el descubrimiento de Maxwell de las leyes de la electrodinámica. La Guerra Civil Estadounidense palidecerá en comparación con este importante acontecimiento científico de la misma década». ^{[ 19 ]}

El concepto de campos fue introducido, entre otros, por Faraday. Albert Einstein escribió:

La formulación precisa de las leyes espacio-temporales fue obra de Maxwell. ¡Imaginen su emoción cuando las ecuaciones diferenciales que había formulado le demostraron que los campos electromagnéticos se propagan en forma de ondas polarizadas, y a la velocidad de la luz! A pocos hombres en el mundo se les ha concedido semejante experiencia... Los físicos tardaron varias décadas en comprender plenamente la importancia del descubrimiento de Maxwell, tan audaz fue el salto que su genialidad impuso a las concepciones de sus colegas.

Heaviside trabajó para eliminar los potenciales ( potencial eléctrico y potencial magnético ) que Maxwell había utilizado como conceptos centrales en sus ecuaciones; ^{[ 20 ]} este esfuerzo fue algo controvertido, ^{[ 21 ]} aunque en 1884 se entendió que los potenciales debían propagarse a la velocidad de la luz como los campos, a diferencia del concepto de acción instantánea a distancia como la concepción entonces del potencial gravitatorio. ^{[ 22 ]}

Las cuatro ecuaciones que utilizamos hoy aparecieron por separado en el artículo de Maxwell de 1861, Sobre las líneas físicas de fuerza :

1. La ecuación (56) del artículo de Maxwell de 1861 es la ley de Gauss para el magnetismo , ∇ • B = 0 .
2. La ecuación (112) es la ley circuital de Ampère , con la adición de la corriente de desplazamiento de Maxwell . Esta podría ser la contribución más notable del trabajo de Maxwell, ya que le permitió derivar la ecuación de onda electromagnética en su artículo de 1865, "Una teoría dinámica del campo electromagnético", demostrando que la luz es una onda electromagnética. Esto otorgó a las ecuaciones su significado completo con respecto a la comprensión de la naturaleza de los fenómenos que dilucidó. (Kirchhoff derivó las ecuaciones del telegrafista en 1857 sin utilizar la corriente de desplazamiento, pero sí utilizó la ecuación de Poisson y la ecuación de continuidad, que son los componentes matemáticos de la corriente de desplazamiento. Sin embargo, al creer que sus ecuaciones solo eran aplicables dentro de un cable eléctrico, no se le puede atribuir el descubrimiento de que la luz es una onda electromagnética).
3. La ecuación (115) es la ley de Gauss .
4. La ecuación (54) expresa lo que Oliver Heaviside denominó «ley de Faraday», que aborda el aspecto de la inducción electromagnética dependiente del tiempo, pero no el inducido por el movimiento; la ley de flujo original de Faraday explicaba ambos. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Maxwell trata el aspecto de la inducción electromagnética relacionado con el movimiento, v × B , en la ecuación (77), que es la misma que la ecuación (D) en las ecuaciones originales de Maxwell que se enumeran a continuación. Hoy se expresa como la ecuación de la ley de fuerza, F = q ( E + v × B ) , que se encuentra junto a las ecuaciones de Maxwell y lleva el nombre de fuerza de Lorentz , aunque Maxwell la derivó cuando Lorentz era todavía un niño.

La diferencia entre los vectores B y H se remonta al artículo de Maxwell de 1855 titulado " Sobre las líneas de fuerza de Faraday", que fue leído ante la Sociedad Filosófica de Cambridge . El artículo presentaba un modelo simplificado del trabajo de Faraday y cómo se relacionaban ambos fenómenos. Maxwell redujo todo el conocimiento existente a un conjunto de ecuaciones diferenciales interconectadas .

Más tarde se aclara en su concepto de mar de vórtices moleculares que aparece en su artículo de 1861 Sobre las líneas físicas de fuerza . Dentro de ese contexto, H representaba la vorticidad pura (espín), mientras que B era una vorticidad ponderada que se ponderaba según la densidad del mar de vórtices. Maxwell consideraba la permeabilidad magnética µ como una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,

1. La corriente de inducción magnética causa una densidad de corriente magnética B = μ H que era esencialmente una analogía rotacional de la relación lineal de la corriente eléctrica,
2. La corriente de convección eléctrica J = ρ v, donde ρ es la densidad de carga eléctrica. B se consideró como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, siendo H la velocidad circunferencial de los vórtices. Con µ representando la densidad de vórtices, se deduce que el producto de µ con la vorticidad H conduce al campo magnético denominado B.

La ecuación de la corriente eléctrica puede considerarse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que implica espín. No existe movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza que siguen la ley del inverso del cuadrado .

La extensión de las consideraciones anteriores confirma que donde B es a H , y donde J es a ρ , entonces necesariamente se sigue de la ley de Gauss y de la ecuación de continuidad de carga que E es a D , es decir , B es paralelo a E , mientras que H es paralelo a D.

En 1865, Maxwell publicó " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", en la que demostró que la luz era un fenómeno electromagnético. A veces surge confusión sobre el término "ecuaciones de Maxwell" porque se ha utilizado para un conjunto de ocho ecuaciones que aparecieron en la Parte  III del artículo de Maxwell de 1865, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", titulada "Ecuaciones generales del campo electromagnético" ^{[ 25 ]} , y esta confusión se agrava por el hecho de que seis de esas ocho ecuaciones se escribieron como tres ecuaciones separadas (una para cada uno de los ejes cartesianos), lo que resulta en veinte ecuaciones y veinte incógnitas. ^{[ a ]}

Las ocho ecuaciones originales de Maxwell se pueden escribir en la notación vectorial moderna de Heaviside de la siguiente manera:

Notación

H es el campo magnetizante , que Maxwell denominó intensidad magnética .

J es la densidad de corriente (donde J _tot es la corriente total, incluyendo la corriente de desplazamiento). ^{[ b ]}

D es el campo de desplazamiento (llamado desplazamiento eléctrico por Maxwell).

ρ es la densidad de carga libre (denominada cantidad de electricidad libre por Maxwell).

A es el potencial magnético (llamado impulso angular por Maxwell).

Maxwelldenominó a E la fuerza electromotriz . Actualmente, el término fuerza electromotriz se utiliza para referirse al voltaje, pero por el contexto queda claro que el significado que le daba Maxwell correspondía más al término moderno campo eléctrico .

ϕ es el potencial eléctrico (que Maxwell también denominó potencial eléctrico ).

σ es la conductividad eléctrica (Maxwell llamó a la inversa de la conductividad resistencia específica , lo que ahora se denomina resistividad ).

La ecuación [ D ] , con el término μ v × H , es efectivamente la fuerza de Lorentz, de manera similar a la ecuación (77) de su artículo de 1861 (ver arriba). 

Cuando Maxwell deduce la ecuación de onda electromagnética en su artículo de 1865, utiliza la ecuación [ D ] para tener en cuenta la inducción electromagnética en lugar de la ley de inducción de Faraday , que se utiliza en los libros de texto modernos. (La ley de Faraday en sí no aparece entre sus ecuaciones). Sin embargo, Maxwell omite el término μv × H de la ecuación [ D ] al deducir la ecuación de onda electromagnética, ya que considera la situación únicamente desde el sistema de referencia en reposo.  

En *A Treatise on Electricity and Magnetism* , un tratado sobre electromagnetismo de 1873 escrito por James Clerk Maxwell , se enumeran doce ecuaciones generales del campo electromagnético, incluidas las ocho que aparecen en el artículo de 1865. ^{[ 26 ]} Sus investigaciones teóricas del campo electromagnético se guiaron por las nociones de trabajo, energía, potencial, el principio de conservación de la energía y la dinámica lagrangiana. Todas las ecuaciones principales relativas a la teoría electromagnética de Maxwell se recapitulan en el Capítulo IX de la Parte IV. Al final de este capítulo, todas las ecuaciones se enumeran y se presentan en forma de cuaternión. Las dos primeras ecuaciones [ A ] y [ B ] relacionan el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético con los campos eléctrico y magnético. La tercera ecuación [ C ] relaciona el campo electromagnético con la fuerza electromagnética. El resto de las ecuaciones [ D ] a [ L ] relacionan el campo electromagnético con datos materiales: las densidades de corriente y carga, así como el medio material.

Aquí se presentan las doce ecuaciones de Maxwell, respetando la notación original utilizada por Maxwell. La única diferencia es que los vectores se han representado con negrita en lugar de la tipografía Fraktur original . Para comparar, se han presentado las ecuaciones de Maxwell en su forma original de cuaternión y en su forma vectorial.${\displaystyle S.}$y${\displaystyle V.}$Las notaciones se utilizan para denotar las partes escalar y vectorial del producto de cuaterniones .

Notación desconocida

G es la velocidad de un punto.

C es la corriente total.

J es la intensidad de la magnetización.

K es la corriente de conducción.

Ψ es el potencial eléctrico.

Ω es el potencial magnético.

K es la constante dieléctrica.

C es la conductividad eléctrica.

e es la densidad de carga eléctrica.

m es la densidad de carga magnética.

En el mismo capítulo, Maxwell señala que la consecuencia de la ecuación [ A ] es (en notación vectorial) ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$. De manera similar, al tomar la divergencia de la ecuación [ E ] se obtiene la conservación de la carga eléctrica, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =0}$, lo cual, señala Maxwell, es cierto solo si la corriente total incluye la variación del desplazamiento eléctrico. Por último, combinando la ecuación [ A ] y la ecuación [ E ] , la fórmula  ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =4\pi \mu \mathbf {C} }$se obtiene que relaciona el potencial magnético con la corriente. En otra parte de la Parte I del libro, el potencial eléctrico se relaciona con la densidad de carga como${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-{\frac {4\pi }{K}}e}$en ausencia de movimiento. Con gran perspicacia, Maxwell también menciona que, si bien algunas de las ecuaciones podían combinarse para eliminar ciertas cantidades, el objetivo de su lista era expresar todas las relaciones conocidas, en lugar de lograr la compacidad de las fórmulas matemáticas.

Las ecuaciones de Maxwell fueron una inspiración esencial para el desarrollo de la relatividad especial. Posiblemente el aspecto más importante fue su negación de la acción instantánea a distancia . Más bien, según ellas, las fuerzas se propagan a la velocidad de la luz a través del campo electromagnético. ^{[ 27 ] : 189}

Las ecuaciones originales de Maxwell se basan en la idea de que la luz viaja a través de un mar de vórtices moleculares conocido como el " éter luminífero ", y que la velocidad de la luz debe ser con respecto al sistema de referencia de este éter. Sin embargo, las mediciones diseñadas para medir la velocidad de la Tierra a través del éter entraron en conflicto con esta noción. ^{[ c ]}

Hendrik Lorentz, junto con George FitzGerald y Joseph Larmor , propusieron un enfoque más teórico . Tanto Larmor (1897) como Lorentz (1899, 1904) ignoraron el movimiento del éter y derivaron la transformación de Lorentz (denominada así por Henri Poincaré ) como aquella bajo la cual las ecuaciones de Maxwell eran invariantes. Poincaré (1900) analizó la coordinación de relojes en movimiento mediante el intercambio de señales luminosas. También estableció la propiedad de grupo matemático de la transformación de Lorentz (Poincaré, 1905). A veces, esta transformación se denomina transformación de FitzGerald-Lorentz o incluso transformación de FitzGerald-Lorentz-Einstein.

Albert Einstein también descartó la noción del éter y se basó en la conclusión de Lorentz sobre la velocidad fija de la luz, independiente de la velocidad del observador. Aplicó la transformación de FitzGerald-Lorentz a la cinemática, y no solo a las ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell desempeñaron un papel clave en el innovador artículo científico de Einstein de 1905 sobre la relatividad especial . Por ejemplo, en el párrafo inicial de su artículo, comenzó su teoría señalando que la descripción de un conductor eléctrico que se mueve con respecto a un imán debe generar un conjunto consistente de campos, independientemente de si la fuerza se calcula en el sistema de referencia del imán o en el del conductor. ^{[ 28 ]}

La teoría general de la relatividad también ha mantenido una estrecha relación con las ecuaciones de Maxwell. Por ejemplo, en la década de 1920 , Theodor Kaluza y Oskar Klein demostraron que las ecuaciones de Maxwell podían derivarse extendiendo la relatividad general a cinco dimensiones físicas . Esta estrategia de utilizar dimensiones adicionales para unificar diferentes fuerzas sigue siendo un área activa de investigación en física .

• Electromagnetismo clásico y relatividad especial
• Historia de la teoría electromagnética
• Los maxwellianos

• Turnbull, Graham, ed. (29 de octubre de 2019). "Ecuaciones de Maxwell" . Wiki de Historia de la Ingeniería y la Tecnología .