Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Teorema de Holevo

El teorema de Holevo es un resultado de la teoría de la información cuántica . A veces se le denomina cota de Holevo , ya que establece un límite superior para la información ac...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

El teorema de Holevo es un resultado de la teoría de la información cuántica . A veces se le denomina cota de Holevo , ya que establece un límite superior para la información accesible, es decir, la cantidad de información que se puede conocer sobre un estado cuántico . Fue publicado por primera vez por Alexander Holevo en 1973.

Declaración

Configuración

Supongamos que Alice quiere enviar un mensaje clásico a Bob codificándolo en un estado cuántico, y supongamos que puede preparar un estado a partir de un conjunto fijo.{ρ1,...,ρnorte}{\displaystyle \{\rho _{1},...,\rho _{n}\}}, con el i-ésimo estado preparado con probabilidadpagi{\displaystyle p_{i}}. Dejarincógnita{\displaystyle X}sea ​​el registro clásico que contiene la elección de estado hecha por Alice. El objetivo de Bob es recuperar el valor deincógnita{\displaystyle X}midiendo un POVM en el estado que recibió. DejeY{\displaystyle Y}sea ​​el registro clásico que contiene el resultado de la medición de Bob, que es una variable aleatoria cuya distribución depende de la elección de medición de Bob.

El teorema de Holevo limita la cantidad de correlación entre los registros clásicos.incógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}, independientemente de la elección de medición de Bob, en términos de la información de Holevo . La información de Holevo no depende de la elección de medición, por lo que esto proporciona una cota que no requiere optimización sobre todas las mediciones posibles.

Declaración precisa

Defina la información accesible entreincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}como la información mutua (clásica) entre los dos registros maximizada sobre todas las posibles elecciones de las mediciones de Bob: Iadodo(incógnita:Y)=sorber{ΠiB}iI(incógnita:Y|{ΠiB}i),{\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)=\sup _{\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}}I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}),} dóndeI(incógnita:Y|{ΠiB}i){\displaystyle I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i})}es la información mutua clásica de la distribución de probabilidad conjunta dada porpagij=pagiTran⁡(ΠjBρi){\displaystyle p_{ij}=p_{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{j}^{B}\rho _{i})}No existe una fórmula conocida para la información accesible en general. Sin embargo, siempre hay un límite superior. Iadodo(incógnita:Y)≤χ(η)≡S(∑ipagiρi)−∑ipagiS(ρi),{\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)\leq \chi (\eta )\equiv S\left(\sum _{i}p_{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),} dóndeη≡{(pagi,ρi)}i{\displaystyle \eta \equiv \{(p_{i},\rho _{i})\}_{i}}es el conjunto de estados que Alice utiliza para enviar información, yS{\displaystyle S}es la entropía de von Neumann . La cantidadχ(η){\displaystyle \chi (\eta )}se denomina información de Holevo o cantidad χ de Holevo .

La información de Holevo también es igual a la información mutua cuántica del estado clásico-cuántico correspondiente al conjunto:χ(η)=I(∑ipagi|i⟩⟨i|⊗ρi),{\displaystyle \chi (\eta )=I\left(\sum _{i}p_{i}|i\rangle \!\langle i|\otimes \rho _{i}\right),}dóndeI(ρAB)≡S(ρA)+S(ρB)−S(ρAB){\displaystyle I(\rho _{AB})\equiv S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})}la información mutua cuántica del estado bipartitoρAB{\displaystyle \rho _{AB}}El teorema de Holevo también puede enunciarse como una cota para la información accesible en términos de la información mutua cuántica de un estado clásico-cuántico.

Prueba

Consideremos el sistema compuesto que describe todo el proceso de comunicación, que incluye la entrada clásica de Alice.incógnita{\displaystyle X}, el sistema cuánticoQ{\displaystyle Q}y la producción clásica de BobY{\displaystyle Y}. La entrada clásicaincógnita{\displaystyle X}se puede escribir como un registro clásicoρincógnita:=∑incógnita=1nortepagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|{\displaystyle \rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|}con respecto a alguna base ortonormal{|incógnita⟩}incógnita=1norte{\displaystyle \{|x\rangle \}_{x=1}^{n}}. Por escritoincógnita{\displaystyle X}De esta manera, la entropía de von NeumannS(incógnita){\displaystyle S(X)}del estadoρincógnita{\displaystyle \rho ^{X}}corresponde a la entropía de ShannonH(incógnita){\displaystyle H(X)}de la distribución de probabilidad{pagincógnita}incógnita=1norte{\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}:

S(incógnita)=−tr⁡(ρincógnitaregistro⁡ρincógnita)=−tr⁡(∑incógnita=1nortepagincógnitaregistro⁡pagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|)=−∑incógnita=1nortepagincógnitaregistro⁡pagincógnita=H(incógnita).{\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}

El estado inicial del sistema, donde Alice prepara el estadoρincógnita{\displaystyle \rho _{x}}con probabilidadpagincógnita{\displaystyle p_{x}}, se describe por

ρincógnitaQ:=∑incógnita=1nortepagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗ρincógnita.{\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.}

Después, Alice envía el estado cuántico a Bob. Como Bob solo tiene acceso al sistema cuánticoQ{\displaystyle Q}pero no la entradaincógnita{\displaystyle X}, recibe un estado mixto de la formaρ:=trincógnita⁡(ρincógnitaQ)=∑incógnita=1nortepagincógnitaρincógnita{\displaystyle \rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}} . Bob mide este estado con respecto a loselementos POVM.{miy}y=1metro{\displaystyle \{E_{y}\}_{y=1}^{m}}y las probabilidades{qy}y=1metro{\displaystyle \{q_{y}\}_{y=1}^{m}}de medir los resultadosy=1,2,…,metro{\displaystyle y=1,2,\dots ,m}formar la salida clásicaY{\displaystyle Y}Este proceso de medición puede describirse como un instrumento cuántico .

miQ(ρincógnita)=∑y=1metroqy|incógnitaρy|incógnita⊗|y⟩⟨y|,{\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,}

dóndeqy|incógnita=tr⁡(miyρincógnita){\displaystyle q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)}es la probabilidad de resultadoy{\displaystyle y}dado el estadoρincógnita{\displaystyle \rho _{x}}, mientrasρy|incógnita=WmiyρincógnitamiyW†/qy|incógnita{\displaystyle \rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}}para algún unitarioW{\displaystyle W}es el estado normalizado posterior a la medición . Entonces, el estado de todo el sistema después del proceso de medición es

ρincógnitaQ′Y:=[Iincógnita⊗miQ](ρincógnitaQ)=∑incógnita=1norte∑y=1metropagincógnitaqy|incógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗ρy|incógnita⊗|y⟩⟨y|.{\displaystyle \rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.}

AquíIincógnita{\displaystyle {\mathcal {I}}^{X}}es el canal de identidad en el sistemaincógnita{\displaystyle X}. DesdemiQ{\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}}es un canal cuántico , y la información mutua cuántica es monótona bajo mapas que preservan la traza completamente positivos , [ 1 ]S(incógnita:Q′Y)≤S(incógnita:Q){\displaystyle S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)}Además, como el rastro parcial sobreQ′{\displaystyle Q'}Además, es completamente positivo y conserva las huellas.S(incógnita:Y)≤S(incógnita:Q′Y){\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)}Estas dos desigualdades dan

S(incógnita:Y)≤S(incógnita:Q).{\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}

En el lado izquierdo, las cantidades de interés dependen únicamente de

ρincógnitaY:=trQ′⁡(ρincógnitaQ′Y)=∑incógnita=1norte∑y=1metropagincógnitaqy|incógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗|y⟩⟨y|=∑incógnita=1norte∑y=1metropagincógnita,y|incógnita,y⟩⟨incógnita,y|,{\displaystyle \rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,}

con probabilidades conjuntaspagincógnita,y=pagincógnitaqy|incógnita{\displaystyle p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}}. Claramente,ρincógnitaY{\displaystyle \rho ^{XY}}yρY:=trincógnita⁡(ρincógnitaY){\displaystyle \rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})}, que tienen la misma forma queρincógnita{\displaystyle \rho ^{X}}, describen los registros clásicos. Por lo tanto,

S(incógnita:Y)=S(incógnita)+S(Y)−S(incógnitaY)=H(incógnita)+H(Y)−H(incógnitaY)=I(incógnita:Y).{\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}

Mientras tanto,S(incógnita:Q){\displaystyle S(X:Q)}depende del término

registro⁡ρincógnitaQ=registro⁡(∑incógnita=1nortepagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗ρincógnita)=∑incógnita=1norte|incógnita⟩⟨incógnita|⊗registro⁡(pagincógnitaρincógnita)=∑incógnita=1norteregistro⁡pagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗IQ+∑incógnita=1norte|incógnita⟩⟨incógnita|⊗registro⁡ρincógnita,{\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},}

dóndeIQ{\displaystyle I^{Q}}es el operador identidad en el sistema cuánticoQ{\displaystyle Q}. Entonces, el lado derecho es

S(incógnita:Q)=S(incógnita)+S(Q)−S(incógnitaQ)=S(incógnita)+S(ρ)+tr⁡(ρincógnitaQregistro⁡ρincógnitaQ)=S(incógnita)+S(ρ)+tr⁡(∑incógnita=1nortepagincógnitaregistro⁡pagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗ρincógnita)+tr⁡(∑incógnita=1nortepagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|⊗ρincógnitaregistro⁡ρincógnita)=S(incógnita)+S(ρ)+tr⁡(∑incógnita=1nortepagincógnitaregistro⁡pagincógnita|incógnita⟩⟨incógnita|)⏟−S(incógnita)+tr⁡(∑incógnita=1nortepagincógnitaρincógnitaregistro⁡ρincógnita)=S(ρ)+∑incógnita=1nortepagincógnitatr⁡(ρincógnitaregistro⁡ρincógnita)⏟−S(ρincógnita)=S(ρ)−∑incógnita=1nortepagincógnitaS(ρincógnita),{\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}

con lo cual se completa la demostración.

Comentarios y observaciones

En esencia, la cota de Holevo demuestra que, dados n cúbits , aunque pueden "transportar" una mayor cantidad de información (clásica) (gracias a la superposición cuántica), la cantidad de información clásica que se puede recuperar , es decir , a la que se puede acceder , solo puede ser de hasta n bits clásicos (no codificados cuánticamente) . También se estableció, tanto teórica como experimentalmente, que existen computaciones en las que los bits cuánticos transportan más información a través del proceso de computación de la que es posible clásicamente. [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Preskill, John (junio de 2016). "Capítulo 10. Teoría cuántica de Shannon" (PDF) . Información cuántica . págs. 23–24 . Consultado el 30 de junio de 2021 . 
  2. ↑ Maslov, Dmitri; Kim, Jin-Sung; Bravyi, Sergey; Yoder, Theodore J.; Sheldon, Sarah (2021-06-28). "Ventaja cuántica para cálculos con espacio limitado". Nature Physics . 17 (8): 894– 897. arXiv : 2008.06478 . Bibcode : 2021NatPh..17..894M . doi : 10.1038/s41567-021-01271-7 . S2CID 221136153 . 

Lecturas adicionales

  • Holevo, Alexander S. (1973). "Límites para la cantidad de información transmitida por un canal de comunicación cuántica". Problemas de la transmisión de información . 9 : 177–183 .
  • Nielsen, Michael A.; Chuang , Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5OCLC 43641333​​  (véase la página 531, subsección 12.1.1 - ecuación (12.6))
  • Wilde, Mark M. (2011). "De la teoría clásica a la teoría cuántica de Shannon". arXiv : 1106.1445v2 [ quant-ph ].Véase en particular la sección 11.6 y siguientes. El teorema de Holevo se presenta como el ejercicio 11.9.1 en la página 288.