Conexión homoclínica

En sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una conexión homoclínica es una estructura formada por la variedad estable y la variedad inestable de un punto fijo .

Sea una función definida en una variedad , con un punto fijo . Sean y la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo , respectivamente. Sea una variedad invariante conexa tal que ${\displaystyle f:M\to M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle W^{s}(f,p)}$${\displaystyle W^{u}(f,p)}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,p)}$

Entonces se llama conexión homoclínica . ${\estilo de visualización V}$

Es una noción similar, pero se refiere a dos puntos fijos, y . La condición satisfecha por se reemplaza por: ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,q)}$

Esta noción no es simétrica con respecto a y . ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$

Cuando las variedades invariantes y , posiblemente con , se intersecan pero no hay conexión homoclínica/heteroclínica, se forma una estructura diferente entre las dos variedades, a la que a veces se denomina maraña homoclínica/heteroclínica . La figura tiene un dibujo conceptual que ilustra su complicada estructura. El resultado teórico que respalda el dibujo es el lambda-lema. Las marañas homoclínicas siempre van acompañadas de una herradura de Smale . ${\displaystyle W^{s}(f,p)}$${\displaystyle W^{u}(f,q)}$${\displaystyle p=q}$

Para flujos continuos , la definición es esencialmente la misma.

1. Existe alguna variación en la definición en las distintas publicaciones;
2. Históricamente, el primer caso considerado fue el de un flujo continuo en el plano , inducido por una ecuación diferencial ordinaria . En este caso, una conexión homoclínica es una trayectoria única que converge al punto fijo tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo. Un péndulo en ausencia de fricción es un ejemplo de un sistema mecánico que sí tiene una conexión homoclínica. Cuando el péndulo se suelta desde la posición superior (el punto de mayor energía potencial), con una velocidad infinitesimalmente pequeña, el péndulo regresará a la misma posición. Al regresar, tendrá exactamente la misma velocidad. El tiempo que tardará en regresar aumentará a medida que la velocidad inicial se acerca a cero. Una de las demostraciones en el artículo sobre el péndulo exhibe este comportamiento.${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización\infty}$

Cuando se perturba un sistema dinámico, una conexión homoclínica se divide . Se convierte en un conjunto invariante desconectado . Cerca de él, habrá un conjunto caótico llamado herradura de Smale . Por lo tanto, la existencia de una conexión homoclínica puede conducir potencialmente al caos . Por ejemplo, cuando se coloca un péndulo en una caja y la caja se somete a pequeñas oscilaciones horizontales, el péndulo puede exhibir un comportamiento caótico.

• Órbita homoclínica
• Órbita heteroclínica