fibración del espacio de trayectorias

En topología algebraica , la fibración del espacio de caminos sobre un espacio apuntado${\displaystyle (X,*)}$^{[ 1 ]} es unafibraciónde la forma ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

dónde

• ${\displaystyle PX}$es el espacio de ruta base del espacio señalado${\displaystyle (X,*)}$; eso es,${\displaystyle PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{continuo}},f(0)=*\}}$equipado con la topología compacta-abierta .
• ${\displaystyle \Omega X}$es la fibra de${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$sobre el punto base de${\displaystyle (X,*)}$; por lo tanto, es el espacio de bucles de${\displaystyle (X,*)}$.

El espacio de caminos libres de X , es decir,${\displaystyle \operatorname {Mapa} (I,X)=X^{I}}$, consiste en todos los mapas de I a X que no necesariamente comienzan en un punto base, y la fibración${\displaystyle X^{I}\to X}$dado por, digamos,${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$, se denomina fibración del espacio de caminos libres .

La fibración del espacio de caminos puede entenderse como dual al cono de mapeo . La fibra de la fibración base se llama fibra de mapeo o, equivalentemente, fibra de homotopía .

Si${\displaystyle f\colon X\to Y}$es cualquier mapa, entonces el espacio de ruta de mapeo${\displaystyle P_{f}}$de${\displaystyle f}$es el retroceso de la fibración${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$a lo largo de${\displaystyle f}$(Un espacio de caminos de mapeo satisface la propiedad universal que es dual a la de un cilindro de mapeo , que es un push-out. Debido a esto, un espacio de caminos de mapeo también se llama cocilindro de mapeo . ^{[ 3 ]} )

Dado que una fibración se retrae a otra fibración, si Y es la base, se tiene la fibración.

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

dónde${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$y${\displaystyle F_{f}}$es la fibra de homotopía , el retroceso de la fibración${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}$a lo largo de${\displaystyle f}$.

Tenga en cuenta también${\displaystyle f}$es la composición

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

donde el primer mapa${\displaystyle \phi }$envía x a${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$; aquí${\displaystyle c_{f(x)}}$denota la trayectoria constante con valor${\displaystyle f(x)}$. Claramente,${\displaystyle \phi }$es una equivalencia homotópica ; por lo tanto, la descomposición anterior dice que cualquier aplicación es una fibración salvo equivalencia homotópica.

Si${\displaystyle f}$es una fibración para empezar, luego el mapa${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$es una equivalencia de homotopía de fibra y, en consecuencia, ^{[ 4 ]} las fibras de${\displaystyle f}$sobre el componente de trayectoria del punto base son homotópicamente equivalentes a la fibra homotópica${\displaystyle F_{f}}$de${\displaystyle f}$.

Por definición, un camino en un espacio X es una aplicación del intervalo unitario I a X. Nuevamente por definición, el producto de dos caminos${\displaystyle \alpha ,\beta }$de tal manera que${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$es el camino${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$dado por:

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$.

Este producto, en general, no resulta asociativo a la nariz:${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$, como se ve directamente. Una solución a este fallo es pasar a clases de homotopía : uno tiene${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$Otra solución consiste en trabajar con trayectorias de longitud arbitraria, lo que lleva a las nociones de espacio de trayectorias de Moore y fibración del espacio de trayectorias de Moore, descritas más adelante. ^{[ 5 ]} (Una solución más sofisticada consiste en replantear la composición: trabajar con una familia arbitraria de composiciones; véase la introducción del artículo de Lurie, ^{[ 6 ]} que conduce a la noción de operada ).

Dado un espacio base${\displaystyle (X,*)}$, dejamos

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

Un elemento f de este conjunto tiene una extensión única.${\displaystyle {\widetilde {f}}}$al intervalo${\displaystyle [0,\infty )}$de tal manera que${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$. Por lo tanto, el conjunto puede identificarse como un subespacio de${\displaystyle \operatorname {Map} ([0,\infty ),X)}$El espacio resultante se llama espacio de caminos de Moore de X , en honor a John Coleman Moore , quien introdujo el concepto. Luego, al igual que antes, hay una fibración, la fibración del espacio de caminos de Moore :

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

donde p envía cada${\displaystyle f:[0,r]\to X}$a${\displaystyle f(r)}$y${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$es la fibra. Resulta que${\displaystyle \Omega X}$y${\displaystyle \Omega 'X}$son homotópicamente equivalentes.

Ahora definimos el mapa del producto.

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

por: para${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$y${\displaystyle g\colon [0,s]\to X}$,

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$.

Este producto es manifiestamente asociativo. En particular, con μ restringido a Ω ' X × Ω ' X , tenemos que Ω ' X es un monoide topológico (en la categoría de todos los espacios). Además, este monoide Ω ' X actúa sobre P ' X a través del μ original . De hecho,${\displaystyle p:P'X\to X}$es una fibración Ω ' X . ^{[ 7 ]}

• Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Apuntes de clase sobre topología algebraica (PDF) . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol.  35. Providence, RI: American Mathematical Society . págs.  xvi+367. doi : 10.1090/gsm/035 . ISBN 0-8218-2160-1. MR 1841974 . 
• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Conferencias de matemáticas de Chicago. Chicago, IL: University of Chicago Press . pp.  x+243. ISBN 0-226-51182-0. MR 1702278 . 
• Whitehead, George W. (1978). Elementos de la teoría de la homotopía . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  61 (3.ª  ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . pp.  xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1MR 0516508 .​