prehaz simplicial

En matemáticas, más específicamente en teoría de homotopía , un prehaz simplicial es un prehaz en un sitio (por ejemplo, la categoría de espacios topológicos ) que toma valores en conjuntos simpliciales (es decir, un functor contravariante del sitio a la categoría de conjuntos simpliciales). De forma equivalente, un prehaz simplicial es un objeto simplicial en la categoría de prehaces en un sitio. Esta noción fue introducida por A. Joyal en la década de 1970. ^{[ 1 ]} De manera similar, un haz simplicial en un sitio es un objeto simplicial en la categoría de haces en el sitio. ^{[ 2 ]}

Ejemplo: Consideremos el sitio étale de un esquema S. Cada U en el sitio representa el prehaz${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,U)}$. Por lo tanto, un esquema simplicial , un objeto simplicial en el sitio, representa un prehaz simplicial (de hecho, a menudo un haz simplicial).

Ejemplo: Sea G un prehaz de grupoides . Entonces, tomando nervios por secciones, se obtiene un prehaz simplicial.${\displaystyle BG}$Por ejemplo, uno podría establecer${\displaystyle B\operatorname {GL} =\varinjlim B\operatorname {GL_{n}} }$Este tipo de ejemplos aparecen en la teoría K.

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una equivalencia débil local de prehaces simpliciales, entonces el mapa inducido${\displaystyle \mathbb {Z} f:\mathbb {Z} X\to \mathbb {Z} Y}$También es una equivalencia débil local.

Sea F un prehaz simplicial en un sitio. Los haces homotópicos${\displaystyle \pi _{*}F}$de F se definen de la siguiente manera. Para cualquier${\displaystyle f:X\to Y}$en el sitio y un 0-símplex s en F ( X ), conjunto${\displaystyle (\pi _{0}^{\text{pr}}F)(X)=\pi _{0}(F(X))}$y${\displaystyle (\pi _{i}^{\text{pr}}(F,s))(f)=\pi _{i}(F(Y),f^{*}(s))}$Luego establecimos .${\displaystyle \pi _{i}F}$ser la gavilla asociada con la pregavilla${\displaystyle \pi _{i}^{\text{pr}}F}$.

La categoría de prehaces simpliciales en un sitio admite varias estructuras de modelo diferentes .

Algunos de ellos se obtienen al considerar los prehaces simpliciales como functores.

${\displaystyle S^{op}\to \Delta ^{op}Conjuntos}$

La categoría de tales functores está dotada de (al menos) tres estructuras de modelo, a saber, la proyectiva , la de Reedy y la estructura de modelo inyectiva . Las equivalencias débiles/fibraciones en la primera son mapas

${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$

es una equivalencia débil / fibración de conjuntos simpliciales, para todo U en el sitio S . La estructura del modelo inyectivo es similar, pero con equivalencias débiles y cofibraciones en su lugar.

Un prehaz simplicial F en un sitio se llama pila si, para cualquier X y cualquier hipercubrimiento H → X , el mapa canónico

${\displaystyle F(X)\to \operatorname {holim} F(H_{n})}$

es una equivalencia débil como conjuntos simpliciales, donde la derecha es el límite de homotopía de

${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}\mapsto F(H_{n})}$.

Cualquier haz F en el sitio puede considerarse como una pila al observar${\displaystyle F(X)}$como un conjunto simplicial constante; de ​​esta manera, la categoría de haces en el sitio se incluye como una subcategoría de la categoría de homotopía de prehaces simpliciales en el sitio. El functor de inclusión tiene un adjunto izquierdo y eso es exactamente${\displaystyle F\mapsto \pi _ {0}F}$.

Si A es un haz de grupo abeliano (en el mismo sitio), entonces definimos${\displaystyle K(A,1)}$mediante la clasificación de la construcción del espacio por niveles (la noción proviene de la teoría de la obstrucción ) y el conjunto${\displaystyle K(A,i)=K(K(A,i-1),1)}$. Se puede demostrar (por inducción): para cualquier X en el sitio,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X;A)=[X,K(A,i)]}$

donde la izquierda denota una cohomología de haces y la derecha la clase de homotopía de aplicaciones.

• conjunto cúbico
• Grupo N (teoría de categorías)

• Konrad Voelkel, Estructuras modelo sobre presheaves simpliciales

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