Grupo hopfiano

En matemáticas , un grupo hopfiano es un grupo G para el cual todo epimorfismo

G → G

es un isomorfismo . De forma equivalente, un grupo es hopfiano si y solo si no es isomorfo a ninguno de sus cocientes propios . ^{[ 1 ]}

Un grupo G es cohopfiano si todo monomorfismo

G → G

es un isomorfismo. Equivalentemente, G no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos propios .

Ejemplos de grupos hopfianos

Grupos cuasicíclicos .
El grupo aditivo R de los números reales . ^{[ 2 ]}
El grupo de Baumslag-Solitar B (2,3). (En general, B ( m , n ) no es hopfiano si y solo si existen primos p , q tales que p | m , q | n y p ∤ n , q ∤ m ) ^{[ 3 ]}

Collins (1969) demostró que determinar, dada una representación finita de un grupo, si dicho grupo es hopfiano es un problema indecidible . A diferencia de la indecidibilidad de muchas propiedades de los grupos, esto no es consecuencia del teorema de Adian-Rabin , ya que la hopficiencia no es una propiedad de Markov , como demostraron Miller y Schupp (1971) .

↑ Florian Bouyer. "Definición 7.6." Presentación de grupos (PDF) . Universidad de Warwick. Un grupo G no es hopfiano si existe 1 ≠ N ◃ G tal que G/N ≅ G
↑ Clark, Pete L. (17 de febrero de 2012). "¿Siempre se puede encontrar un endomorfismo sobreyectivo de grupos tal que no sea inyectivo?" . Math Stack Exchange . Esto se debe a que ( R ,+) es libre de torsión y divisible y, por lo tanto, un espacio vectorial Q. Así pues, dado que todo espacio vectorial tiene una base, por el Axioma de Elección, es isomorfo a la suma directa de copias de ( Q ,+) indexadas por un conjunto de cardinalidad continua. Esto aclara la propiedad hopfiana.
↑ Florian Bouyer. "Teorema 7.7." Presentación de grupos (PDF) . Universidad de Warwick.

Collins, DJ (1969). "Sobre el reconocimiento de los grupos Hopf". Archiv der Mathematik . 20 (3): 235– 240. doi : 10.1007/BF01899291 . S2CID 119354919 .
Johnson, DL (1990). Presentaciones de grupos . Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 15. Cambridge University Press . pág. 35. ISBN 0-521-37203-8.
Miller, CF; Schupp, PE (1971). "Incrustaciones en grupos hopfianos". Revista de Álgebra . 17 (2): 171. doi : 10.1016/0021-8693(71)90028-7 .