Grupo cohopfiano

En el ámbito matemático de la teoría de grupos , un grupo cohopfiano es un grupo que no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos propios . Esta noción es dual a la de grupo hopfiano , que recibe su nombre de Heinz Hopf . ^{[ 1 ]}

Un grupo G se denomina cohopfiano si siempre que${\displaystyle \varphi :G\a G}$es un homomorfismo de grupo inyectivo entonces ${\displaystyle \varphi }$es sobreyectiva , es decir${\displaystyle \varphi (G)=G}$. ^{[ 2 ]}

• Todo grupo finito G es cohopfiano.
• El grupo cíclico infinito${\displaystyle \mathbb {Z} }$no es co-hopfiano ya que${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n}$es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo.
• El grupo aditivo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$no es cohopfiano, ya que ${\displaystyle \mathbb {R} }$es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y por lo tanto, como grupo${\displaystyle \mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$. ^{[ 2 ]}
• El grupo aditivo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$y el grupo cociente${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$son co-hopfianos. ^{[ 2 ]}
• El grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }}$de números racionales distintos de cero no es cohopfiano, ya que el mapa${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}}$es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo. ^{[ 2 ]} De la misma manera, el grupo${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\ast }}$de números racionales positivos no es cohopfiano.
• El grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$de números complejos distintos de cero no es co-Hopfiano. ^{[ 2 ]}
• Por cada${\displaystyle n\geq 1}$el grupo abeliano libre${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$no es cohopfiano. ^{[ 2 ]}
• Por cada${\displaystyle n\geq 1}$el grupo libre${\displaystyle F_{n}}$no es cohopfiano. ^{[ 2 ]}
• Existe un grupo virtualmente libre no elemental (es decir, no virtualmente cíclico) generado finitamente que es co-Hopfiano. Por lo tanto, un subgrupo de índice finito en un grupo co-Hopfiano generado finitamente no tiene por qué ser co-Hopfiano, y ser co-Hopfiano no es un invariante de cuasi-isometría para grupos generados finitamente. ^{[ 3 ]}
• Grupos Baumslag-Solitar${\displaystyle BS(1,m)}$, dónde${\displaystyle m\geq 1}$, no son cohopfianos. ^{[ 4 ]}
• Si G es el grupo fundamental de una variedad asférica cerrada con característica de Euler no nula (o con volumen simplicial no nulo o número de Betti L ² no nulo ), entonces G es co-Hopfiano. ^{[ 5 ]}
• Si G es el grupo fundamental de una 3-variedad M cerrada, conexa, orientada e irreducible , entonces G es co-Hopfiano si y solo si ninguna cubierta finita de M es un fibrado de toro sobre el círculo o el producto de un círculo y una superficie cerrada. ^{[ 6 ]}
• Si G es un retículo irreducible en un grupo de Lie semisimple real y G no es un grupo virtualmente libre, entonces G es co-Hopfiano. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, este hecho se aplica al grupo${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$para${\displaystyle n\geq 3}$.
• Si G es un grupo hiperbólico de palabras libre de torsión y con un extremo, entonces G es co-Hopfiano, según un resultado de Sela . ^{[ 8 ]}
• Si G es el grupo fundamental de una n- variedad riemanniana lisa de volumen finito completo (donde n > 2) de curvatura negativa estrecha, entonces G es co-Hopfiano. ^{[ 9 ]}
• El grupo de clases de mapeo de una superficie hiperbólica cerrada es co-Hopfiano. ^{[ 10 ]}
• El grupo Out( F _n ) (donde n >2) es co-Hopfiano. ^{[ 11 ]}
• Delzant y Polyagailo dieron una caracterización de la co-Hopficiidad para grupos kleinianos geométricamente finitos de isometrías de${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$sin torsión 2. ^{[ 12 ]}
• Un grupo de Artin en ángulo recto${\displaystyle A(\Gamma )}$(dónde${\displaystyle \Gamma }$es un grafo finito no vacío) no es co-Hopfiano; enviando cada generador estándar de${\displaystyle A(\Gamma )}$a un poder${\displaystyle >1}$define y endomorfismo de${\displaystyle A(\Gamma )}$ que es inyectiva pero no sobreyectiva. ^{[ 13 ]}
• Un grupo nilpotente sin torsión generado finitamente G puede ser co-Hopfiano o no co-Hopfiano, dependiendo de las propiedades de su álgebra de Lie racional asociada . ^{[ 5 ] [ 3 ]}
• Si G es un grupo relativamente hiperbólico y${\displaystyle \varphi :G\a G}$es un endomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo de G entonces o${\displaystyle \varphi ^{k}(G)}$es parabólico para algún k >1 o G se divide sobre un subgrupo virtualmente cíclico o parabólico. ^{[ 14 ]}
• El grupo G de Grigorchuk de crecimiento intermedio no es co-Hopfiano. ^{[ 15 ]}
• El grupo F de Thompson no es cohopfiano. ^{[ 16 ]}
• Existe un grupo G finitamente generado que no es co-Hopfiano pero tiene la propiedad de Kazhdan (T) . ^{[ 17 ]}
• Si G es el grupo universal finitamente presentado de Higman, entonces G no es co-Hopfiano y G no puede estar incrustado en un grupo co-Hopfiano recursivamente presentado finitamente generado. ^{[ 18 ]}

• Un grupo G se denomina cohopfiano finito ^{[ 19 ]} si siempre que${\displaystyle \varphi :G\a G}$es un endomorfismo inyectivo cuya imagen tiene índice finito en G entonces${\displaystyle \varphi (G)=G}$. Por ejemplo, para${\displaystyle n\geq 2}$el grupo libre${\displaystyle F_{n}}$no es cohopfiano pero es finitamente cohopfiano.
• Un grupo G finitamente generado se denomina invariante de escala si existe una secuencia anidada de subgrupos de índice finito de G , cada uno isomorfo a G , y cuya intersección es un grupo finito. ^{[ 4 ]}
• Un grupo G se denomina discohopfiano ^{[ 3 ]} si existe un endomorfismo inyectivo.${\displaystyle \varphi :G\a G}$de tal manera que${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$.
• En geometría gruesa , un espacio métrico X se denomina co-Hopf cuasi-isométrico si toda inmersión cuasi-isométrica${\displaystyle f:X\to X}$es gruesamente sobreyectiva (es decir, es una cuasi-isometría). De manera similar, X se denomina gruesamente co-Hopf si toda incrustación gruesa${\displaystyle f:X\to X}$es sobreyectiva en sentido amplio. ^{[ 20 ]}
• En geometría métrica , un espacio métrico K se denomina co-Hopf cuasisimétrico si toda inmersión cuasisimétrica${\displaystyle K\to K}$está sobre. ^{[ 21 ]}

• objeto hopfiano

• K. Varadarajan, Objetos hopfianos y co-hopfianos , Publicacions Matemàtiques 36 (1992), núm. 1, págs.  293–317