Teorema de los automorfismos de Hurwitz

En matemáticas , el teorema de los automorfismos de Hurwitz limita el orden del grupo de automorfismos , mediante aplicaciones conformes que preservan la orientación , de una superficie de Riemann compacta de género g > 1, estableciendo que el número de tales automorfismos no puede exceder 84( g − 1). Un grupo para el cual se alcanza el máximo se llama grupo de Hurwitz , y la superficie de Riemann correspondiente, superficie de Hurwitz . Dado que las superficies de Riemann compactas son sinónimo de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también puede llamarse curva de Hurwitz . ^{[ 1 ]} El teorema lleva el nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en ( Hurwitz 1893 ) .

La cota de Hurwitz también se cumple para curvas algebraicas sobre un cuerpo de característica 0, y sobre cuerpos de característica positiva p > 0 para grupos cuyo orden es coprimo con p , pero puede fallar sobre cuerpos de característica positiva p > 0 cuando p divide el orden del grupo. Por ejemplo, el recubrimiento doble de la recta proyectiva y ² = x ^p − x ramificada en todos los puntos definidos sobre el cuerpo primo tiene género g = ( p − 1)/2 pero es actuado sobre el grupo PGL ₂ ( p ) de orden p ³ − p .

Uno de los temas fundamentales de la geometría diferencial es la tricotomía entre las variedades riemannianas de curvatura positiva, cero y negativa K. Esta se manifiesta en diversas situaciones y en varios niveles. En el contexto de las superficies riemannianas compactas X , mediante el teorema de uniformización de Riemann , esto puede verse como una distinción entre superficies de diferentes topologías:

• X es una esfera , una superficie de Riemann compacta de género cero con K > 0;
• X un toro plano , o una curva elíptica , una superficie de Riemann de género uno con K = 0;
• y X una superficie hiperbólica , que tiene género mayor que uno y K < 0.

Mientras que en los dos primeros casos la superficie X admite infinitos automorfismos conformes (de hecho, el grupo de automorfismos conformes es un grupo de Lie complejo de dimensión tres para una esfera y de dimensión uno para un toro), una superficie de Riemann hiperbólica solo admite un conjunto discreto de automorfismos. El teorema de Hurwitz afirma que, de hecho, ocurre algo más: proporciona una cota uniforme para el orden del grupo de automorfismos en función del género y caracteriza aquellas superficies de Riemann para las que la cota es exacta .

Teorema : Sea${\displaystyle X}$ser una superficie de Riemann compacta y lisa de género${\displaystyle g\geq 2}$. Luego su grupo de automorfismos${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$tiene tamaño como máximo${\displaystyle 84(g-1)}$.

Prueba: Supongamos por ahora que${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$es finito (esto se demostrará al final).

• Consideremos el mapa cociente.${\displaystyle X\to X/G}$. Desde${\displaystyle G}$actúa mediante funciones holomorfas, el cociente es localmente de la forma${\displaystyle z\to z^{n}}$y el cociente${\displaystyle X/G}$es una superficie de Riemann suave. El mapa cociente${\displaystyle X\to X/G}$es una cubierta ramificada, y veremos más adelante que los puntos de ramificación corresponden a las órbitas que tienen un estabilizador no trivial. Sea${\displaystyle g_{0}}$ser el género de${\displaystyle X/G}$.
• Según la fórmula de Riemann-Hurwitz ,$${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$donde la suma es sobre el${\displaystyle k}$puntos de ramificación${\displaystyle p_{i}\in X/G}$para el mapa de cocientes${\displaystyle X\to X/G}$El índice de ramificación${\displaystyle e_{i}}$en${\displaystyle p_{i}}$es simplemente el orden del grupo estabilizador, ya que${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$dónde${\displaystyle f_{i}}$el número de preimágenes de${\displaystyle p_{i}}$(el número de puntos en la órbita), y${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$. Por definición de puntos de ramificación,${\displaystyle e_{i}\geq 2}$a pesar de${\displaystyle k}$índices de ramificación.

Ahora llama al lado derecho${\displaystyle |G|R}$y desde${\displaystyle g\geq 2}$debemos tener${\displaystyle R>0}$Reordenando la ecuación encontramos:

• Si${\displaystyle g_{0}\geq 2}$entonces${\displaystyle R\geq 2}$, y${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• Si${\displaystyle g_{0}=1}$, entonces${\displaystyle k\geq 1}$ y${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$de modo que${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$,
• Si${\displaystyle g_{0}=0}$, entonces${\displaystyle k\geq 3}$y
  • si${\displaystyle k\geq 5}$entonces${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$, de modo que${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • si${\displaystyle k=4}$entonces${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$, de modo que${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$,
  • si${\displaystyle k=3}$luego escribe${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$Podemos suponer${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$.
    • si${\displaystyle p\geq 3}$entonces${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$de modo que${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$,
    • si${\displaystyle p=2}$entonces
      • si${\displaystyle q\geq 4}$entonces${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$de modo que${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$,
      • si${\displaystyle q=3}$entonces${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$de modo que${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

En conclusión,${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

Para demostrar que${\displaystyle G}$es finito, tenga en cuenta que${\displaystyle G}$actúa sobre la cohomología${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$preservando la descomposición de Hodge y la red${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$.

• En particular, su acción sobre${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$da un homomorfismo${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$con imagen discreta${\displaystyle h(G)}$.
• Además, la imagen${\displaystyle h(G)}$conserva el producto interno hermitiano natural no degenerado${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$en${\displaystyle V}$. En particular la imagen${\displaystyle h(G)}$está contenido en el grupo unitario${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$que es compacto . Por lo tanto, la imagen${\displaystyle h(G)}$No es solo discreto, sino finito.
• Queda por demostrar que${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$tiene un núcleo finito. De hecho, lo demostraremos.${\displaystyle h}$es inyectivo. Supongamos que${\displaystyle \varphi \in G}$actúa como la identidad en${\displaystyle V}$. Si${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$es finito, entonces por el teorema del punto fijo de Lefschetz ,$${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

Esto es una contradicción, y por lo tanto${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$es infinito. Dado que${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$es una subvariedad compleja cerrada de dimensión positiva y${\displaystyle X}$es una curva suave conectada (es decir,${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$), debemos tener${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$. De este modo${\displaystyle \varphi }$es la identidad, y concluimos que${\displaystyle h}$es inyectivo y${\displaystyle G\cong h(G)}$es finito. QED

Corolario de la demostración : Una superficie de Riemann${\displaystyle X}$del género${\displaystyle g\geq 2}$tiene${\displaystyle 84(g-1)}$automorfismos si y solo si${\displaystyle X}$es una cubierta ramificada${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$con tres puntos de ramificación, de índices 2 , 3 y 7 .

Según el teorema de uniformización, cualquier superficie hiperbólica X – es decir, la curvatura gaussiana de X es igual a menos uno en cada punto – está cubierta por el plano hiperbólico . Las transformaciones conformes de la superficie corresponden a automorfismos que preservan la orientación del plano hiperbólico. Según el teorema de Gauss-Bonnet , el área de la superficie es

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1).

Para que el grupo de automorfismos G de X sea lo más grande posible, queremos que el área de su dominio fundamental D para esta acción sea lo más pequeña posible. Si el dominio fundamental es un triángulo con ángulos de vértice π/p, π/q y π/r, que define un teselado del plano hiperbólico, entonces p , q y r son enteros mayores que uno, y el área es

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r ).

Por lo tanto, estamos pidiendo números enteros que hagan que la expresión

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42, y

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

da una tripleta única de tales enteros. Esto indicaría que el orden | G | del grupo de automorfismos está acotado por

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1).

Sin embargo, un razonamiento más delicado muestra que esta es una sobreestimación por un factor de dos, porque el grupo G puede contener transformaciones que invierten la orientación. Para los automorfismos conformes que preservan la orientación, la cota es 84( g − 1).

Construcción

Para obtener un ejemplo de un grupo de Hurwitz, partamos de un teselado (2,3,7) del plano hiperbólico. Su grupo de simetría completo es el grupo triangular (2,3,7) completo generado por las reflexiones a través de los lados de un único triángulo fundamental con ángulos π/2, π/3 y π/7. Dado que una reflexión invierte el triángulo y cambia su orientación, podemos unir los triángulos de dos en dos y obtener un polígono de teselado que conserva la orientación. Una superficie de Hurwitz se obtiene al "cerrar" una parte de este teselado infinito del plano hiperbólico a una superficie de Riemann compacta de género g . Esto implicará necesariamente exactamente 84( g − 1) teselas triangulares dobles.

Los dos siguientes teselados regulares poseen el grupo de simetría deseado; el grupo de rotación corresponde a una rotación alrededor de una arista, un vértice y una cara, mientras que el grupo de simetría completo también incluiría una reflexión. Los polígonos del teselado no son dominios fundamentales; el teselado con triángulos (2,3,7) refina ambos y no es regular.

Las construcciones de Wythoff generan más teselaciones uniformes , dando como resultado ocho teselaciones uniformes , incluidas las dos regulares que se muestran aquí. Todas ellas se reducen a superficies de Hurwitz, generando teselaciones de dichas superficies (triangulación, teselado por heptágonos, etc.).

De los argumentos anteriores se puede inferir que un grupo de Hurwitz G se caracteriza por la propiedad de que es un cociente finito del grupo con dos generadores a y b y tres relaciones

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

Así, G es un grupo finito generado por dos elementos de órdenes dos y tres, cuyo producto es de orden siete. Más precisamente, cualquier superficie de Hurwitz, es decir, una superficie hiperbólica que realiza el orden máximo del grupo de automorfismos para superficies de un género dado, puede obtenerse mediante la construcción dada. Esta es la última parte del teorema de Hurwitz.

El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , de orden 168, y la curva correspondiente es la curva cuártica de Klein . Este grupo también es isomorfo a PSL(3,2) .

A continuación se encuentra la curva de Macbeath , con un grupo de automorfismos PSL(2,8) de orden 504. Muchos más grupos simples finitos son grupos de Hurwitz; por ejemplo, todos menos 64 de los grupos alternantes son grupos de Hurwitz, siendo el ejemplo no-Hurwitz más grande de grado 167. El grupo alternante más pequeño que es un grupo de Hurwitz es A ₁₅ .

La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de gran rango son grupos de Hurwitz, ( Lucchini, Tamburini y Wilson 2000 ) . Para rangos más bajos, hay menos grupos de Hurwitz. Para n _p el orden de p módulo 7, se tiene que PSL(2, q ) es Hurwitz si y solo si q =7 o q = p ^{n _p} . De hecho, PSL(3, q ) es Hurwitz si y solo si q = 2, PSL(4, q ) nunca es Hurwitz, y PSL(5, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 ⁴ o q = p ^{n _p} , ( Tamburini y Vsemirnov 2006 ) .

De manera similar, muchos grupos de tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de rango alto son Hurwitz ( Lucchini y Tamburini, 1999 ) . Los grupos de Lie excepcionales de tipo G2 y los grupos de Ree de tipo 2G2 son casi siempre Hurwitz ( Malle, 1990 ) . Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de rango bajo se muestran como Hurwitz en ( Malle, 1995 ) .

Hay 12 grupos esporádicos que pueden generarse como grupos de Hurwitz: los grupos de Janko J ₁ , J ₂ y J ₄ , los grupos de Fischer Fi ₂₂ y Fi' ₂₄ , el grupo de Rudvalis , el grupo de Held , el grupo de Thompson , el grupo de Harada-Norton , el tercer grupo de Conway Co ₃ , el grupo de Lyons y el Monster , ( Wilson 2001 ) .

El mayor |Aut( X )| (secuencia A346293 en el OEIS ) que puede obtener una superficie de Riemann X de género g se muestra a continuación, para 2 ≤ g ≤ 10, junto con una superficie X ₀ con |Aut( X ₀ )| máximo.

En este rango, solo existe una curva de Hurwitz en el género g = 3 y g = 7 (secuencia A179982 en el OEIS ) .

El concepto de superficie de Hurwitz puede generalizarse de varias maneras hasta obtener una definición con ejemplos en casi todos los géneros. Quizás la más natural sea una superficie "máximamente simétrica": aquella que no puede modificarse continuamente mediante superficies igualmente simétricas hasta llegar a una superficie cuya simetría contenga propiamente la de la superficie original. Esto es posible para todos los géneros compactos orientables (véase la sección anterior "Grupos de automorfismos en géneros bajos").

• grupo triangular (2,3,7)