Teorema de los automorfismos de Hurwitz

En matemáticas , el teorema de los automorfismos de Hurwitz limita el orden del grupo de automorfismos , mediante aplicaciones conformes que preservan la orientación , de una superficie de Riemann compacta de género g > 1, estableciendo que el número de tales automorfismos no puede exceder 84( g − 1). Un grupo para el cual se alcanza el máximo se llama grupo de Hurwitz , y la superficie de Riemann correspondiente, superficie de Hurwitz . Dado que las superficies de Riemann compactas son sinónimo de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también puede llamarse curva de Hurwitz . ^{[ 1 ]} El teorema lleva el nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en ( Hurwitz 1893 ) .

La cota de Hurwitz también se cumple para curvas algebraicas sobre un cuerpo de característica 0, y sobre cuerpos de característica positiva p > 0 para grupos cuyo orden es coprimo con p , pero puede fallar sobre cuerpos de característica positiva p > 0 cuando p divide el orden del grupo. Por ejemplo, el recubrimiento doble de la recta proyectiva y ² = x ^p − x ramificada en todos los puntos definidos sobre el cuerpo primo tiene género g = ( p − 1)/2 pero es actuado sobre el grupo PGL ₂ ( p ) de orden p ³ − p .

Uno de los temas fundamentales de la geometría diferencial es la tricotomía entre las variedades riemannianas de curvatura positiva, cero y negativa K. Esta se manifiesta en diversas situaciones y en varios niveles. En el contexto de las superficies riemannianas compactas X , mediante el teorema de uniformización de Riemann , esto puede verse como una distinción entre superficies de diferentes topologías:

• X una esfera , una superficie de Riemann compacta de género cero con K > 0;
• X un toro plano , o una curva elíptica , una superficie de Riemann de género uno con K = 0;
• y X una superficie hiperbólica , que tiene género mayor que uno y K < 0.

While in the first two cases the surface X admits infinitely many conformal automorphisms (in fact, the conformal automorphism group is a complex Lie group of dimension three for a sphere and of dimension one for a torus), a hyperbolic Riemann surface only admits a discrete set of automorphisms. Hurwitz's theorem claims that in fact more is true: it provides a uniform bound on the order of the automorphism group as a function of the genus and characterizes those Riemann surfaces for which the bound is sharp.

Theorem: Let ${\displaystyle X}$ be a smooth compact Riemann surface of genus ${\displaystyle g\geq 2}$. Then its automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ has size at most ${\displaystyle 84(g-1)}$.

Proof: Assume for now that ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$ is finite (this will be proved at the end).

• Consider the quotient map ${\displaystyle X\to X/G}$. Since ${\displaystyle G}$ acts by holomorphic functions, the quotient is locally of the form ${\displaystyle z\to z^{n}}$ and the quotient ${\displaystyle X/G}$ is a smooth Riemann surface. The quotient map ${\displaystyle X\to X/G}$ is a branched cover, and we will see below that the ramification points correspond to the orbits that have a non-trivial stabiliser. Let ${\displaystyle g_{0}}$ be the genus of ${\displaystyle X/G}$.
• By the Riemann-Hurwitz formula, $${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$ where the sum is over the ${\displaystyle k}$ ramification points ${\displaystyle p_{i}\in X/G}$ for the quotient map ${\displaystyle X\to X/G}$. The ramification index ${\displaystyle e_{i}}$ at ${\displaystyle p_{i}}$ is just the order of the stabiliser group, since ${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$ where ${\displaystyle f_{i}}$ the number of pre-images of ${\displaystyle p_{i}}$ (the number of points in the orbit), and ${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$. By definition of ramification points, ${\displaystyle e_{i}\geq 2}$ for all ${\displaystyle k}$ ramification indices.

Now call the righthand side ${\displaystyle |G|R}$ and since ${\displaystyle g\geq 2}$ we must have ${\displaystyle R>0}$. Rearranging the equation we find:

• If ${\displaystyle g_{0}\geq 2}$ then ${\displaystyle R\geq 2}$, and ${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• If ${\displaystyle g_{0}=1}$, then ${\displaystyle k\geq 1}$ and ${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$ so that ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$,
• If ${\displaystyle g_{0}=0}$, then ${\displaystyle k\geq 3}$ and
  • if ${\displaystyle k\geq 5}$ then ${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$, so that ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • if ${\displaystyle k=4}$ then ${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$, so that ${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$,
  • if ${\displaystyle k=3}$ then write ${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$. We may assume ${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$.
    • if ${\displaystyle p\geq 3}$ then ${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$ so that ${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$,
    • if ${\displaystyle p=2}$ then
      • if ${\displaystyle q\geq 4}$ then ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$ so that ${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$,
      • if ${\displaystyle q=3}$ then ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$ so that ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

In conclusion, ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

To show that ${\displaystyle G}$ is finite, note that ${\displaystyle G}$ acts on the cohomology${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$ preserving the Hodge decomposition and the lattice${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$.

• In particular, its action on ${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$ gives a homomorphism ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ with discrete image ${\displaystyle h(G)}$.
• In addition, the image ${\displaystyle h(G)}$ preserves the natural non-degenerate Hermitian inner product${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$ on ${\displaystyle V}$. In particular the image ${\displaystyle h(G)}$ is contained in the unitary group${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$ which is compact. Thus the image ${\displaystyle h(G)}$ is not just discrete, but finite.
• It remains to prove that ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ has finite kernel. In fact, we will prove ${\displaystyle h}$ is injective. Assume ${\displaystyle \varphi \in G}$ acts as the identity on ${\displaystyle V}$. If ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ is finite, then by the Lefschetz fixed-point theorem, $${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

This is a contradiction, and so ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ is infinite. Since ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ is a closed complex sub variety of positive dimension and ${\displaystyle X}$ is a smooth connected curve (i.e. ${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$), we must have ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$. Thus ${\displaystyle \varphi }$ is the identity, and we conclude that ${\displaystyle h}$ is injective and ${\displaystyle G\cong h(G)}$ is finite. Q.E.D.

Corollary of the proof: A Riemann surface ${\displaystyle X}$ of genus ${\displaystyle g\geq 2}$ has ${\displaystyle 84(g-1)}$ automorphisms if and only if ${\displaystyle X}$ is a branched cover ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$con tres puntos de ramificación, de índices 2 , 3 y 7 .

Según el teorema de uniformización, cualquier superficie hiperbólica X – es decir, la curvatura gaussiana de X es igual a menos uno en cada punto – está cubierta por el plano hiperbólico . Las transformaciones conformes de la superficie corresponden a automorfismos que preservan la orientación del plano hiperbólico. Según el teorema de Gauss-Bonnet , el área de la superficie es

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1).

Para que el grupo de automorfismos G de X sea lo más grande posible, queremos que el área de su dominio fundamental D para esta acción sea lo más pequeña posible. Si el dominio fundamental es un triángulo con ángulos de vértice π/p, π/q y π/r, que define un teselado del plano hiperbólico, entonces p , q y r son enteros mayores que uno, y el área es

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r ).

Por lo tanto, estamos pidiendo números enteros que hagan que la expresión

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42, y

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

da una tripleta única de tales enteros. Esto indicaría que el orden | G | del grupo de automorfismos está acotado por

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1).

Sin embargo, un razonamiento más delicado muestra que esta es una sobreestimación por un factor de dos, porque el grupo G puede contener transformaciones que invierten la orientación. Para los automorfismos conformes que preservan la orientación, la cota es 84( g − 1).

Construcción

To obtain an example of a Hurwitz group, let us start with a (2,3,7)-tiling of the hyperbolic plane. Its full symmetry group is the full (2,3,7) triangle group generated by the reflections across the sides of a single fundamental triangle with the angles π/2, π/3 and π/7. Since a reflection flips the triangle and changes the orientation, we can join the triangles in pairs and obtain an orientation-preserving tiling polygon. A Hurwitz surface is obtained by 'closing up' a part of this infinite tiling of the hyperbolic plane to a compact Riemann surface of genus g. This will necessarily involve exactly 84(g − 1) double triangle tiles.

The following two regular tilings have the desired symmetry group; the rotational group corresponds to rotation about an edge, a vertex, and a face, while the full symmetry group would also include a reflection. The polygons in the tiling are not fundamental domains – the tiling by (2,3,7) triangles refines both of these and is not regular.

Wythoff constructions yields further uniform tilings, yielding eight uniform tilings, including the two regular ones given here. These all descend to Hurwitz surfaces, yielding tilings of the surfaces (triangulation, tiling by heptagons, etc.).

From the arguments above it can be inferred that a Hurwitz group G is characterized by the property that it is a finite quotient of the group with two generators a and b and three relations

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

thus G is a finite group generated by two elements of orders two and three, whose product is of order seven. More precisely, any Hurwitz surface, that is, a hyperbolic surface that realizes the maximum order of the automorphism group for the surfaces of a given genus, can be obtained by the construction given. This is the last part of the theorem of Hurwitz.

The smallest Hurwitz group is the projective special linear group PSL(2,7), of order 168, and the corresponding curve is the Klein quartic curve. This group is also isomorphic to PSL(3,2).

A continuación se encuentra la curva de Macbeath , con un grupo de automorfismos PSL(2,8) de orden 504. Muchos más grupos simples finitos son grupos de Hurwitz; por ejemplo, todos menos 64 de los grupos alternantes son grupos de Hurwitz, siendo el ejemplo no-Hurwitz más grande de grado 167. El grupo alternante más pequeño que es un grupo de Hurwitz es A ₁₅ .

La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de gran rango son grupos de Hurwitz, ( Lucchini, Tamburini y Wilson 2000 ) . Para rangos más bajos, hay menos grupos de Hurwitz. Para n _p el orden de p módulo 7, se tiene que PSL(2, q ) es Hurwitz si y solo si q =7 o q = p ^{n _p} . De hecho, PSL(3, q ) es Hurwitz si y solo si q = 2, PSL(4, q ) nunca es Hurwitz, y PSL(5, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 ⁴ o q = p ^{n _p} , ( Tamburini y Vsemirnov 2006 ) .

De manera similar, muchos grupos de tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de rango alto son Hurwitz ( Lucchini y Tamburini, 1999 ) . Los grupos de Lie excepcionales de tipo G2 y los grupos de Ree de tipo 2G2 son casi siempre Hurwitz ( Malle, 1990 ) . Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de rango bajo se muestran como Hurwitz en ( Malle, 1995 ) .

Hay 12 grupos esporádicos que pueden generarse como grupos de Hurwitz: los grupos de Janko J ₁ , J ₂ y J ₄ , los grupos de Fischer Fi ₂₂ y Fi' ₂₄ , el grupo de Rudvalis , el grupo de Held , el grupo de Thompson , el grupo de Harada-Norton , el tercer grupo de Conway Co ₃ , el grupo de Lyons y el Monster , ( Wilson 2001 ) .

El mayor |Aut( X )| (secuencia A346293 en el OEIS ) que puede obtener una superficie de Riemann X de género g se muestra a continuación, para 2 ≤ g ≤ 10, junto con una superficie X ₀ con |Aut( X ₀ )| máximo.

En este rango, solo existe una curva de Hurwitz en el género g = 3 y g = 7 (secuencia A179982 en el OEIS ) .

El concepto de superficie de Hurwitz puede generalizarse de varias maneras hasta obtener una definición con ejemplos en casi todos los géneros. Quizás la más natural sea una superficie "máximamente simétrica": aquella que no puede modificarse continuamente mediante superficies igualmente simétricas hasta llegar a una superficie cuya simetría contenga propiamente la de la superficie original. Esto es posible para todos los géneros compactos orientables (véase la sección anterior "Grupos de automorfismos en géneros bajos").

• grupo triangular (2,3,7)