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átomo de hidrógeno

Representación de un átomo de hidrógeno cuyo diámetro es aproximadamente el doble del radio del modelo de Bohr . (Imagen no a escala) Un átomo de hidrógeno es un átomo del eleme...

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Representación de un átomo de hidrógeno cuyo diámetro es aproximadamente el doble del radio del modelo de Bohr . (Imagen no a escala)

Un átomo de hidrógeno es un átomo del elemento químico hidrógeno . El átomo de hidrógeno , eléctricamente neutro, contiene un único protón con carga positiva en el núcleo y un único electrón con carga negativa unido al núcleo por la fuerza de Coulomb . El hidrógeno atómico constituye aproximadamente el 74 % de la masa bariónica del universo. [ 1 ]

En la vida cotidiana en la Tierra, los átomos de hidrógeno aislados (llamados "hidrógeno atómico") son extremadamente raros. En cambio, un átomo de hidrógeno tiende a combinarse con otros átomos en compuestos, o con otro átomo de hidrógeno para formar hidrógeno gaseoso ordinario ( diatómico ), H₂ . En el lenguaje común, "hidrógeno atómico" y "átomo de hidrógeno" tienen significados que se superponen, pero que son distintos. Por ejemplo, una molécula de agua contiene dos átomos de hidrógeno, pero no contiene hidrógeno atómico (que se referiría a átomos de hidrógeno aislados).

La espectroscopia atómica demuestra que existe un conjunto discreto e infinito de estados en los que puede existir un átomo de hidrógeno (o cualquier otro), contrariamente a las predicciones de la física clásica . Los intentos por desarrollar una comprensión teórica de los estados del átomo de hidrógeno han sido importantes para la historia de la mecánica cuántica , ya que todos los demás átomos pueden comprenderse aproximadamente conociendo en detalle esta estructura atómica tan simple.

isótopos

El isótopo más abundante , el protio ( ¹H ), o hidrógeno ligero, no contiene neutrones y es simplemente un protón y un electrón . El protio es estable y constituye el 99,985 % de los átomos de hidrógeno que se encuentran en la naturaleza. [ 2 ]

El deuterio ( 2H ) contiene un neutrón y un protón en su núcleo. El deuterio es estable, constituye el 0,0156% del hidrógeno que se encuentra en la naturaleza, [ 2 ] y se utiliza en procesos industriales como reactores nucleares y espectroscopia de resonancia magnética nuclear .

El tritio ( ³H ) contiene dos neutrones y un protón en su núcleo y no es estable, desintegrándose con una vida media de 12,32 años. Debido a su corta vida media, el tritio no existe en la naturaleza salvo en cantidades ínfimas.

Los isótopos más pesados ​​del hidrógeno solo se crean artificialmente en aceleradores de partículas y tienen vidas medias del orden de 10⁻²² segundos . Son resonancias no ligadas ubicadas más allá de la línea de goteo de neutrones ; esto da como resultado la emisión inmediata de un neutrón .

Las fórmulas que aparecen a continuación son válidas para los tres isótopos del hidrógeno, pero deben utilizarse valores ligeramente diferentes de la constante de Rydberg (la fórmula de corrección se proporciona más adelante) para cada isótopo de hidrógeno.

Ión de hidrógeno

Los átomos de hidrógeno neutros aislados son raros en condiciones normales. Sin embargo, el hidrógeno neutro es común cuando está unido covalentemente a otro átomo, y los átomos de hidrógeno también pueden existir en formas catiónicas y aniónicas .

Si un átomo de hidrógeno neutro pierde su electrón, se convierte en un catión. El ion resultante, que consiste únicamente en un protón para el isótopo habitual, se escribe como "H + " y a veces se denomina hidrón . Los protones libres son comunes en el medio interestelar y en el viento solar . En el contexto de las soluciones acuosas de ácidos de Brønsted-Lowry clásicos , como el ácido clorhídrico , en realidad se refiere al hidronio , H₃O⁺ . En lugar de formarse un átomo de hidrógeno ionizado literal , el ácido transfiere el hidrógeno al H₂O , formando H₃O⁺ .

Si, en cambio, un átomo de hidrógeno gana un segundo electrón, se convierte en un anión. El anión de hidrógeno se escribe como "H– " y se llama hidruro .

Análisis teórico

El átomo de hidrógeno tiene una importancia especial en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos como un sistema físico simple de dos cuerpos que ha dado lugar a muchas soluciones analíticas simples en forma cerrada.

Descripción clásica fallida

Los experimentos de Ernest Rutherford en 1909 mostraron que la estructura del átomo era un núcleo positivo denso con una tenue nube de carga negativa a su alrededor. Esto planteó inmediatamente interrogantes sobre cómo tal sistema podría ser estable. El electromagnetismo clásico había demostrado que cualquier carga acelerada irradia energía, como lo muestra la fórmula de Larmor . Si se supone que el electrón orbita en un círculo perfecto e irradia energía continuamente, el electrón caería rápidamente en espiral hacia el núcleo con un tiempo de caída de: [ 3 ]tcaer≈a034r02do≈1.6×10−11 s,{\displaystyle t_{\text{fall}}\approx {\frac {{a_{0}}^{3}}{4{r_{0}}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},} dóndea0{\displaystyle a_{0}}es el radio de Bohr yr0{\displaystyle r_{0}}es el radio clásico del electrón . Si esto fuera cierto, todos los átomos colapsarían instantáneamente. Sin embargo, los átomos parecen ser estables. Además, la espiral hacia adentro liberaría una dispersión de frecuencias electromagnéticas a medida que la órbita se hiciera más pequeña. En cambio, se observó que los átomos emitían solo frecuencias discretas de radiación. La solución radicaría en el desarrollo de la mecánica cuántica .

Modelo de Bohr-Sommerfeld

En 1913, Niels Bohr obtuvo los niveles de energía y las frecuencias espectrales del átomo de hidrógeno tras realizar una serie de suposiciones sencillas para corregir el modelo clásico fallido. Dichas suposiciones incluían:

  1. Los electrones solo pueden encontrarse en ciertas órbitas circulares discretas o en estados estacionarios , teniendo así un conjunto discreto de radios y energías posibles.
  2. Los electrones no emiten radiación mientras se encuentran en uno de estos estados estacionarios.
  3. Un electrón puede ganar o perder energía saltando de una órbita discreta a otra.

Bohr supuso que el momento angular del electrón está cuantizado con posibles valores: L=norteℏ{\displaystyle L=n\hbar } dóndenorte=1,2,3,…{\displaystyle n=1,2,3,\ldots } yℏ{\displaystyle \hbar }es la constante de Planck sobre2π{\displaystyle 2\pi }También supuso que la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en su órbita es proporcionada por la fuerza de Coulomb , y que la energía se conserva. Bohr derivó la energía de cada órbita del átomo de hidrógeno como: [ 4 ]minorte=−metromimi42(4πε0)2ℏ21norte2,{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},} dóndemetromi{\displaystyle m_{\text{e}}}es la masa del electrón ,mi{\displaystyle e}es la carga del electrón ,ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad del vacío ynorte{\displaystyle n}es el número cuántico (ahora conocido como el número cuántico principal ). Las predicciones de Bohr coincidieron con los experimentos que medían la serie espectral del hidrógeno en primera aproximación, lo que dio mayor confianza a una teoría que utilizaba valores cuantizados.

Paranorte=1{\displaystyle n=1}, el valor [ 5 ]metromimi42(4πε0)2ℏ2=metromimi48h2ε02=1Ry=13.605693122994(26)eV{\displaystyle {\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}} Se denomina unidad de energía de Rydberg. Está relacionada con la constante de Rydberg.R∞{\displaystyle R_{\infty }}de física atómica por1Ry≡hdoR∞.{\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}

El valor exacto de la constante de Rydberg supone que el núcleo tiene una masa infinita con respecto al electrón. Para el hidrógeno-1, el hidrógeno-2 ( deuterio ) y el hidrógeno-3 ( tritio ), que tienen masa finita, la constante debe modificarse ligeramente para utilizar la masa reducida del sistema, en lugar de simplemente la masa del electrón. Esto incluye la energía cinética del núcleo en el problema, ya que la energía cinética total (electrón más núcleo) es equivalente a la energía cinética de la masa reducida que se mueve con una velocidad igual a la velocidad del electrón con respecto al núcleo. Sin embargo, dado que el núcleo es mucho más pesado que el electrón, la masa del electrón y la masa reducida son prácticamente iguales. La constante de Rydberg R M para un átomo de hidrógeno (un electrón) viene dada por: RMETRO=R∞1+metromi/METRO,{\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},} dóndeMETRO{\displaystyle M}es la masa del núcleo atómico. Para el hidrógeno-1, la cantidadmetromi/METRO,{\displaystyle m_{\text{e}}/M,}es aproximadamente 1/1836 (es decir, la relación de masas electrón-protón). Para el deuterio y el tritio, las relaciones son aproximadamente 1/3670 y 1/5497 respectivamente. Estas cifras, al sumarse a 1 en el denominador, representan correcciones muy pequeñas en el valor de R y, por lo tanto, solo pequeñas correcciones en todos los niveles de energía de los isótopos de hidrógeno correspondientes.

El modelo de Bohr aún presentaba problemas:

  1. No logró predecir otros detalles espectrales, como la estructura fina y la estructura hiperfina.
  2. Solo podía predecir los niveles de energía con cierta precisión para átomos de un solo electrón (átomos similares al hidrógeno).
  3. Los valores predichos solo fueron correctos paraα2≈10−5{\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}, dóndeα{\displaystyle \alpha }es la constante de estructura fina .

La mayoría de estas deficiencias se resolvieron con la modificación del modelo de Bohr realizada por Arnold Sommerfeld . Sommerfeld introdujo dos grados de libertad adicionales, permitiendo que un electrón se moviera en una órbita elíptica caracterizada por su excentricidad y declinación con respecto a un eje elegido. Esto introdujo dos números cuánticos adicionales, que corresponden al momento angular orbital y su proyección sobre el eje elegido. De este modo, se encontró la multiplicidad correcta de estados (excepto por el factor 2 que representa el espín del electrón, aún desconocido). Además, al aplicar la relatividad especial a las órbitas elípticas, Sommerfeld logró derivar la expresión correcta para la estructura fina de los espectros de hidrógeno (que resulta ser exactamente la misma que en la teoría de Dirac más elaborada). Sin embargo, algunos fenómenos observados, como el efecto Zeeman anómalo , permanecieron sin explicación. Estos problemas se resolvieron con el desarrollo completo de la mecánica cuántica y la ecuación de Dirac . A menudo se afirma que la ecuación de Schrödinger es superior a la teoría de Bohr-Sommerfeld para describir el átomo de hidrógeno. Este no es el caso, ya que la mayoría de los resultados de ambos enfoques coinciden o son muy similares (una excepción notable es el problema del átomo de hidrógeno en campos eléctricos y magnéticos cruzados, que no puede resolverse de forma autoconsistente en el marco de la teoría de Bohr-Sommerfeld), y en ambas teorías las principales deficiencias se derivan de la ausencia del espín electrónico. Fue el fracaso total de la teoría de Bohr-Sommerfeld para explicar sistemas de muchos electrones (como el átomo de helio o la molécula de hidrógeno) lo que demostró su insuficiencia para describir fenómenos cuánticos.

ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger es el modelo estándar de la mecánica cuántica; permite calcular los estados estacionarios y la evolución temporal de los sistemas cuánticos. Existen respuestas analíticas exactas para el átomo de hidrógeno no relativista. Antes de presentar una explicación formal, ofrecemos aquí una introducción básica.

Dado que el átomo de hidrógeno contiene un núcleo y un electrón, la mecánica cuántica permite predecir la probabilidad de encontrar el electrón a cualquier distancia radial dada.r{\displaystyle r}Está dada por el cuadrado de una función matemática conocida como la " función de onda ", que es una solución de la ecuación de Schrödinger. El estado de equilibrio de energía más bajo del átomo de hidrógeno se conoce como el estado fundamental. La función de onda del estado fundamental se conoce como la1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }función de onda. Se escribe como: ψ1s(r)=1πa03/2mi−r/a0.{\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-r/a_{0}}.}

Aquí,a0{\displaystyle a_{0}}es el valor numérico del radio de Bohr. La densidad de probabilidad de encontrar el electrón a una distanciar{\displaystyle r}en cualquier dirección radial es el valor al cuadrado de la función de onda: |ψ1s(r)|2=1πa03mi−2r/a0.{\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}\mathrm {e} ^{-2r/a_{0}}.}

El1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }La función de onda es esféricamente simétrica y el área de la superficie de una capa a distanciar{\displaystyle r}es4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}, por lo tanto, la probabilidad totalPAG(r)dr{\displaystyle P(r)\,dr}del electrón estando en una capa a distanciar{\displaystyle r}y espesordr{\displaystyle dr}es PAG(r)dr=4πr2|ψ1s(r)|2dr.{\displaystyle P(r)\,\mathrm {d} r=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,\mathrm {d} r.}

Resulta que este es un máximo enr=a0{\displaystyle r=a_{0}}. Es decir, la imagen de Bohr de un electrón orbitando el núcleo a un radioa0{\displaystyle a_{0}}corresponde al radio más probable. En realidad, existe una probabilidad finita de que el electrón se encuentre en cualquier radio.r{\displaystyle r}, con la probabilidad indicada por el cuadrado de la función de onda. Dado que la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar de todo el volumen es la unidad, la integral dePAG(r)dr{\displaystyle P(r)\,\mathrm {d} r}es la unidad. Entonces decimos que la función de onda está correctamente normalizada.

Como se explica a continuación, el estado fundamental1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }También se indica mediante los números cuánticos.(norte=1,ℓ=0,metro=0){\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}Los segundos estados de energía más bajos, justo por encima del estado fundamental, están dados por los números cuánticos.(2,0,0){\displaystyle (2,0,0)},(2,1,0){\displaystyle (2,1,0)}, y(2,1,±1){\displaystyle (2,1,\pm 1)}. Estosnorte=2{\displaystyle n=2}Todos los estados tienen la misma energía y se conocen como los2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }y2pag{\displaystyle 2\mathrm {p} }estados. Hay uno2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }estado: ψ2,0,0=142πa03/2(2−ra0)mi−r/2a0,{\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}},} y hay tres2pag{\displaystyle 2\mathrm {p} }estados: ψ2,1,0=142πa03/2ra0mi−r/2a0porque⁡θ,{\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}ψ2,1,±1=∓18πa03/2ra0mi−r/2a0pecado⁡θ mi±iφ.{\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} \varphi }.}

Un electrón en el2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }o2pag{\displaystyle 2\mathrm {p} }Lo más probable es que el estado se encuentre en la segunda órbita de Bohr con una energía dada por la fórmula de Bohr.

función de onda

El hamiltoniano del átomo de hidrógeno es el operador de energía cinética radial más la energía potencial electrostática de Coulomb entre el protón positivo y el electrón negativo. Utilizando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ignorando todas las interacciones de acoplamiento de espín y utilizando la masa reducida.μ=metromiMETRO/(metromi+METRO){\displaystyle \mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)}La ecuación se escribe como: (−ℏ22μ∇2−mi24πε0r)ψ(r,θ,φ)=miψ(r,θ,φ){\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}

Desarrollando el laplaciano en coordenadas esféricas: −ℏ22μ[1r2∂∂r(r2∂ψ∂r)+1r2pecado⁡θ∂∂θ(pecado⁡θ∂ψ∂θ)+1r2pecado2⁡θ∂2ψ∂φ2]−mi24πε0rψ=miψ{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }

Esta es una ecuación diferencial parcial separable que se puede resolver en términos de funciones especiales. Cuando la función de onda se separa como un producto de funcionesR(r){\displaystyle R(r)},Θ(θ){\displaystyle \Theta (\theta )}, yΦ(φ){\displaystyle \Phi (\varphi )}Aparecen tres funciones diferenciales independientes [ 6 ] donde A y B son las constantes de separación:

  • radial:ddr(r2dRdr)+2μr2ℏ2(mi+mi24πε0r)R−AR=0{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}
  • polar:pecado⁡θΘddθ(pecado⁡θdΘdθ)+Apecado2⁡θ−B=0{\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}
  • azimut:1Φd2Φdφ2+B=0.{\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.}

Las funciones de onda de posición normalizadas , dadas en coordenadas esféricas, son: ψnorteℓmetro(r,θ,φ)=(2nortea0∗)3(norte−ℓ−1)¡2norte(norte+ℓ)¡mi−ρ/2ρℓLnorte−ℓ−12ℓ+1(ρ)Yℓmetro(θ,φ){\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}\mathrm {e} ^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}

Ilustración 3D del autoestadoψ4,3,1{\displaystyle \psi _{4,3,1}}Existe un 45% de probabilidad de encontrar electrones en este estado dentro del cuerpo sólido mostrado.

dónde:

  • ρ=2rnortea0∗{\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}},
  • a0∗{\displaystyle a_{0}^{*}}es el radio de Bohr reducido ,a0∗=4πε0ℏ2μmi2{\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}},
  • ℓ{\displaystyle \ell }reemplaza la constante de separaciónA{\displaystyle A}conℓ(ℓ+1)=A{\displaystyle \ell (\ell +1)=A},
  • metro{\displaystyle m}reemplaza la constante de separaciónB{\displaystyle B}conmetro2=B{\displaystyle m^{2}=B},
  • Lnorte−ℓ−12ℓ+1(ρ){\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}es un polinomio de Laguerre generalizado de gradonorte−ℓ−1{\displaystyle n-\ell -1}, y
  • Yℓmetro(θ,φ){\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}es una función armónica esférica de gradoℓ{\displaystyle \ell }y ordenmetro{\displaystyle m}.

Nótese que los polinomios de Laguerre generalizados se definen de manera diferente por distintos autores. El uso aquí es consistente con las definiciones utilizadas por Messiah, [ 7 ] y Mathematica. [ 8 ] En otros lugares, el polinomio de Laguerre incluye un factor de(norte+ℓ)¡{\displaystyle (n+\ell )!}, [ 9 ] o el polinomio de Laguerre generalizado que aparece en la función de onda del hidrógeno esLnorte+ℓ2ℓ+1(ρ){\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}en cambio. [ 10 ]

Los números cuánticos pueden tomar los siguientes valores:

Además, estas funciones de onda están normalizadas (es decir, la integral del cuadrado de su módulo es igual a 1) y son ortogonales : ∫0∞r2dr∫0πpecado⁡θdθ∫02πdφψnorteℓmetro∗(r,θ,φ)ψnorte′ℓ′metro′(r,θ,φ)=⟨norte,ℓ,metro|norte′,ℓ′,metro′⟩=δnortenorte′δℓℓ′δmetrometro′,{\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},} dónde|norte,ℓ,metro⟩{\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }es el estado representado por la función de ondaψnorteℓmetro{\displaystyle \psi _{n\ell m}}en notación de Dirac yδ{\displaystyle \delta }es la función delta de Kronecker . [ 11 ]

Las funciones de onda en el espacio de momentos están relacionadas con las funciones de onda en el espacio de posiciones mediante una transformada de Fourier. φ(pag,θpag,φpag)=(2πℏ)−3/2∫mi−ipag→⋅r→/ℏψ(r,θ,φ)dV,{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int \mathrm {e} ^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,} lo cual, para los estados ligados, resulta en [ 12 ]φ(pag,θpag,φpag)=2π(norte−ℓ−1)¡(norte+ℓ)¡norte222ℓ+2ℓ¡norteℓpagℓ(norte2pag2+1)ℓ+2donorte−ℓ−1ℓ+1(norte2pag2−1norte2pag2+1)Yℓmetro(θpag,φpag),{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),} dondedonorteα(incógnita){\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}denota un polinomio de Gegenbauer ypag{\displaystyle p}está en unidades deℏ/a0∗{\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}.

Las soluciones a la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno son analíticas , proporcionando una expresión sencilla para los niveles de energía del hidrógeno y, por lo tanto, para las frecuencias de las líneas espectrales del hidrógeno . Reproducen completamente el modelo de Bohr e incluso lo superan. Además, proporcionan otros dos números cuánticos y la forma de la función de onda del electrón ("orbital") para los diversos estados cuántico-mecánicos posibles, explicando así el carácter anisotrópico de los enlaces atómicos.

La ecuación de Schrödinger también se aplica a átomos y moléculas más complejos . Cuando hay más de un electrón o núcleo, la solución no es analítica y se requieren cálculos computacionales o suposiciones simplificadoras.

Dado que la ecuación de Schrödinger solo es válida para la mecánica cuántica no relativista, las soluciones que proporciona para el átomo de hidrógeno no son del todo correctas. La ecuación de Dirac de la teoría cuántica relativista mejora estas soluciones (véase más adelante).

Resultados de la ecuación de Schrödinger

La solución de la ecuación de Schrödinger (ecuación de onda) para el átomo de hidrógeno utiliza el hecho de que el potencial de Coulomb producido por el núcleo es isotrópico (es radialmente simétrico en el espacio y solo depende de la distancia al núcleo). Aunque las funciones propias de energía resultantes (los orbitales ) no son necesariamente isotrópicas en sí mismas, su dependencia de las coordenadas angulares se deriva completamente en general de esta isotropía del potencial subyacente: los autoestados del hamiltoniano (es decir, los autoestados de energía) pueden elegirse como autoestados simultáneos del operador de momento angular . Esto corresponde al hecho de que el momento angular se conserva en el movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo. Por lo tanto, los autoestados de energía pueden clasificarse mediante dos números cuánticos de momento angular ,ℓ{\displaystyle \ell }ymetro{\displaystyle m}(ambos son números enteros). El número cuántico de momento angularℓ=0,1,2,…{\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }determina la magnitud del momento angular. El número cuántico magnéticometro=−ℓ,…,+ℓ{\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }determina la proyección del momento angular sobre el (elegido arbitrariamente)z{\displaystyle z}-eje.

Además de las expresiones matemáticas para el momento angular total y la proyección del momento angular de las funciones de onda, se debe encontrar una expresión para la dependencia radial de las funciones de onda. Es solo aquí donde se detallan las1/r{\displaystyle 1/r}potencial de Coulomb entra (conduciendo a polinomios de Laguerre enr{\displaystyle r}). Esto conduce a un tercer número cuántico, el número cuántico principal.norte=1,2,3,…{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }El número cuántico principal del hidrógeno está relacionado con la energía total del átomo.

Tenga en cuenta que el valor máximo del número cuántico de momento angular está limitado por el número cuántico principal: solo puede llegar hastanorte−1{\displaystyle n-1}, es decir,ℓ=0,1,…,norte−1{\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}.

Debido a la conservación del momento angular, los estados del mismoℓ{\displaystyle \ell }pero diferentemetro{\displaystyle m}tienen la misma energía (esto se cumple para todos los problemas con simetría rotacional ). Además, para el átomo de hidrógeno, los estados de la mismanorte{\displaystyle n}pero diferenteℓ{\displaystyle \ell }También son degenerados (es decir, tienen la misma energía). Sin embargo, esta es una propiedad específica del hidrógeno y ya no es cierta para átomos más complejos que tienen un potencial (efectivo) diferente de la forma1/r{\displaystyle 1/r}(debido a la presencia de los electrones internos que apantallan el potencial del núcleo).

Teniendo en cuenta el espín del electrón se añade un último número cuántico, la proyección del momento angular de espín del electrón a lo largo delz{\displaystyle z}eje, que puede tomar dos valores. Por lo tanto, cualquier autoestado del electrón en el átomo de hidrógeno se describe completamente mediante cuatro números cuánticos. Según las reglas habituales de la mecánica cuántica, el estado real del electrón puede ser cualquier superposición de estos estados. Esto también explica por qué la elección dez{\displaystyle z}El eje -para la cuantización direccional del vector de momento angular es irrelevante: un orbital de dadoℓ{\displaystyle \ell }ymetro′{\displaystyle m'}obtenido para otro eje preferidoz′{\displaystyle z'}siempre se puede representar como una superposición adecuada de los diversos estados de diferentesmetro{\displaystyle m}(pero lo mismo)ℓ{\displaystyle \ell }) que se han obtenido paraz{\displaystyle z}.

Resumen matemático de los autoestados del átomo de hidrógeno

En 1928, Paul Dirac halló una ecuación totalmente compatible con la relatividad especial y, como consecuencia, convirtió la función de onda en un " espinor de Dirac " de cuatro componentes, que incluía componentes de espín "hacia arriba" y "hacia abajo", con energía tanto positiva como "negativa" (o materia y antimateria). La solución a esta ecuación arrojó los siguientes resultados, más precisos que la solución de Schrödinger.

Niveles de energía

Los niveles de energía del hidrógeno, incluyendo la estructura fina (excluyendo el desplazamiento de Lamb y la estructura hiperfina ), vienen dados por la expresión de estructura fina de Sommerfeld : [ 13 ]mijnorte=−μdo2[1−(1+[αnorte−j−12+(j+12)2−α2]2)−1/2]≈−μdo2α22norte2[1+α2norte2(nortej+12−34)],{\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}} dóndeα{\displaystyle \alpha }es la constante de estructura fina yj{\displaystyle j}es el número cuántico de momento angular total , que es igual a|ℓ±12|{\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}, dependiendo de la orientación del espín del electrón con respecto al momento angular orbital. [ 14 ] Esta fórmula representa una pequeña corrección a la energía obtenida por Bohr y Schrödinger como se indicó anteriormente. El factor entre corchetes en la última expresión es casi uno; el término adicional surge de efectos relativistas (para más detalles, véase #Características que van más allá de la solución de Schrödinger ). Cabe destacar que esta expresión fue obtenida por primera vez por A. Sommerfeld en 1916 basándose en la versión relativista de la antigua teoría de Bohr . Sin embargo, Sommerfeld utilizó una notación diferente para los números cuánticos.

Visualización de los orbitales electrónicos del hidrógeno

Densidades de probabilidad a través del plano xz para el electrón en diferentes números cuánticos ( ℓ , en la parte superior; n , en la parte inferior; m = 0)

La imagen de la derecha muestra los primeros orbitales del átomo de hidrógeno (autofunciones de energía). Se trata de secciones transversales de la densidad de probabilidad codificadas por colores (el negro representa la densidad cero y el blanco la densidad máxima). El número cuántico de momento angular (orbital) ℓ se indica en cada columna, utilizando el código de letras espectroscópico habitual ( s significa ℓ  =  0, p significa ℓ  =  1, d significa ℓ  =  2). El número cuántico principal n (= 1, 2, 3, ...) se marca a la derecha de cada fila. En todas las imágenes, el número cuántico magnético m se ha establecido en 0, y el plano de la sección transversal es el plano xz ( z es el eje vertical). La densidad de probabilidad en el espacio tridimensional se obtiene rotando la mostrada aquí alrededor del eje z .

El " estado fundamental ", es decir, el estado de energía más baja en el que se suele encontrar el electrón, es el primero, el estado 1s ( nivel cuántico principal n = 1, ℓ = 0).

En todos los orbitales, excepto en el primero, aparecen líneas negras: estos son los nodos de la función de onda, es decir, donde la densidad de probabilidad es cero. (Más precisamente, los nodos son armónicos esféricos que aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas).

Los números cuánticos determinan la disposición de estos nodos. Hay:

  • norte−1{\displaystyle n-1}nodos totales,
  • ℓ{\displaystyle \ell }de los cuales son nodos angulares:
    • metro{\displaystyle m}Los nodos angulares rodean elφ{\displaystyle \varphi }eje (en el plano xy ). (La figura anterior no muestra estos nodos, ya que representa secciones transversales a través del plano xz ).
    • ℓ−metro{\displaystyle \ell -m}(los nodos angulares restantes) ocurren en elθ{\displaystyle \theta }eje (vertical).
  • norte−ℓ−1{\displaystyle n-\ell -1}(los nodos no angulares restantes) son nodos radiales.

Oscilación de orbitales

La oscilación de dos orbitales con el mismo valor de m

La frecuencia de un estado en el nivel n esωnorte=minorte/ℏ{\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }, por lo que en caso de superposición de múltiples orbitales, oscilarían debido a la diferencia de frecuencia. Por ejemplo, dos estados, ψ 1 y ψ 2 : La función de onda viene dada porψ=ψ1miiω1t+ψ2miiω2t{\displaystyle \psi =\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t}}y la función de probabilidad es PAG(t)=|ψ|2=(ψ1miiω1t+ψ2miiω2t)(ψ1∗mi−iω1t+ψ2∗mi−iω2t){\displaystyle P(t)=|\psi |^{2}=(\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})(\psi _{1}^{*}e^{-i\omega _{1}t}+\psi _{2}^{*}e^{-i\omega _{2}t})}∝|ψ1ψ2|porque⁡[(ω1−ω2)t]{\displaystyle \propto |\psi _{1}\psi _{2}|\cos {[(\omega _{1}-\omega _{2})t]}}

La oscilación de dos orbitales con diferentes números de momento angular.

El resultado es una función de onda giratoria. El movimiento de los electrones y el cambio de los estados cuánticos emiten luz a una frecuencia del coseno.

Funcionalidades que van más allá de la solución de Schrödinger

Existen varios efectos importantes que la ecuación de Schrödinger no tiene en cuenta y que son responsables de ciertas desviaciones pequeñas pero medibles de las líneas espectrales reales con respecto a las predichas:

  • Aunque la velocidad media del electrón en el hidrógeno es solo 1/137 de la velocidad de la luz , muchos experimentos modernos son lo suficientemente precisos como para que una explicación teórica completa requiera un tratamiento totalmente relativista del problema. Un tratamiento relativista resulta en un aumento del momento de aproximadamente 1 parte en37 000 para el electrón. Dado que la longitud de onda del electrón está determinada por su momento, los orbitales que contienen electrones de mayor velocidad muestran una contracción debido a longitudes de onda más pequeñas.
  • Incluso en ausencia de un campo magnético externo , en el sistema de referencia inercial del electrón en movimiento, el campo electromagnético del núcleo posee un componente magnético. El espín del electrón tiene un momento magnético asociado que interactúa con este campo magnético. Este efecto también se explica mediante la relatividad especial y da lugar al acoplamiento espín-órbita , es decir, una interacción entre el movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo y su espín .

Ambas características (y más) se incorporan en la ecuación de Dirac relativista , con predicciones que se acercan aún más al experimento. Nuevamente, la ecuación de Dirac puede resolverse analíticamente en el caso especial de un sistema de dos cuerpos, como el átomo de hidrógeno. Los estados cuánticos de la solución resultante ahora deben clasificarse por el número de momento angular total j (que surge a través del acoplamiento entre el espín del electrón y el momento angular orbital ). Los estados con el mismo j y el mismo n siguen siendo degenerados. Por lo tanto, la solución analítica directa de la ecuación de Dirac predice que los niveles 2S( ⁠ 1 / 2 ⁠ ) y 2P( ⁠ 1 / 2 ⁠ ) del hidrógeno tienen exactamente la misma energía, lo cual está en contradicción con las observaciones ( experimento de Lamb-Retherford ).

Para que estos avances fueran posibles, era fundamental que la solución de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno pudiera calcularse con exactitud, de modo que cualquier desviación observada experimentalmente debía tomarse en serio como una señal de fallo de la teoría.

Alternativas a la teoría de Schrödinger

En el lenguaje de la mecánica matricial de Heisenberg , el átomo de hidrógeno fue resuelto por primera vez por Wolfgang Pauli [ 15 ] utilizando una simetría rotacional en cuatro dimensiones [simetría O(4)] generada por el momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz . Al extender el grupo de simetría O(4) al grupo dinámico O(4,2), todo el espectro y todas las transiciones quedaron integrados en una única representación de grupo irreducible. [ 16 ]

En 1979 , Duru y Kleinert resolvieron por primera vez el átomo de hidrógeno (no relativista) dentro de la formulación de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica . [ 17 ] [ 18 ] Este trabajo amplió enormemente el rango de aplicabilidad del método de Feynman .

Otros modelos alternativos son la mecánica de Bohm y la formulación compleja de Hamilton-Jacobi de la mecánica cuántica .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Palmer, D. (13 de septiembre de 1997). "Hidrógeno en el Universo" . NASA . Archivado del original el 29 de octubre de 2014. Recuperado el 23 de febrero de 2017 .
  2. 1 2 Housecroft, Catherine E.; Sharpe, Alan G. (2005). Química inorgánica (2.ª ed.). Pearson Prentice-Hall. pág. 237. ISBN   0130-39913-2.
  3. ↑ Olsen, James; McDonald, Kirk (7 de marzo de 2005). "Vida útil clásica de un átomo de Bohr" (PDF) . Laboratorios Joseph Henry, Universidad de Princeton. Archivado del original (PDF) el 9 de septiembre de 2019. Recuperado el 11 de diciembre de 2015 .
  4. ↑ "Derivación de las ecuaciones de Bohr para el átomo de un electrón" (PDF) . Universidad de Massachusetts Boston.
  5. ↑ Eite Tiesinga, Peter J. Mohr, David B. Newell y Barry N. Taylor (2019), «Valores recomendados de CODATA de 2018 para las constantes físicas fundamentales» (Versión web 8.0). Base de datos desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova . Disponible en http://physics.nist.gov/constants , Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899. Enlace a R ∞ , Enlace a hcR ∞
  6. ↑ "Resolviendo la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno :: Física Atómica :: Espacio web de Rudi Winter" . users.aber.ac.uk . Consultado el 30 de noviembre de 2020 .  
  7. ↑ Messiah, Albert (1999). Mecánica cuántica . Nueva York: Dover. pág. 1136. ISBN  0-486-40924-4.
  8. ↑ LaguerreL . Página de Wolfram Mathematica
  9. ↑ Griffiths, pág. 152
  10. ↑ Condon y Shortley (1963). La teoría de los espectros atómicos . Londres: Cambridge. pág. 441. 
  11. ↑ Griffiths, Cap. 4, pág. 89
  12. ↑ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman . p. Apéndice 5. ISBN  0-582-44401-2.
  13. ^ Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien [ Estructura atómica y líneas espectrales ] . Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7.{{cite book}}: ISBN / Incompatibilidad de fechas ( ayuda ) Alemán Inglés
  14. ↑ Atkins, Peter; de Paula, Julio (2006). Química física (8.ª ed.). WH Freeman. pág . 349. ISBN   0-7167-8759-8.
  15. ^ Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336– 363. Bibcode : 1926ZPhy...36..336P . doi : 10.1007/BF01450175 . S2CID 128132824 . 
  16. ↑ Kleinert H. (1968). "Dinámica de grupos del átomo de hidrógeno" (PDF) . Lecciones de física teórica, editado por WE Brittin y AO Barut, Gordon and Breach, NY 1968 : 427–482 .
  17. ↑ Duru IH, Kleinert H. (1979). "Solución de la integral de trayectoria para el átomo de H" (PDF) . Physics Letters B. 84 ( 2): 185– 188. Bibcode : 1979PhLB...84..185D . doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .
  18. ^ Duru IH, Kleinert H. (1982). "Mecánica cuántica del átomo de H a partir de integrales de ruta" (PDF) . Fortschr. Física . 30 (2): 401– 435. Bibcode : 1982ForPh..30..401D . doi : 10.1002/prop.19820300802 .

Libros

  • Griffiths, David J. (1995). Introducción a la mecánica cuántica . Prentice Hall . ISBN 0-13-111892-7.La sección 4.2 trata específicamente sobre el átomo de hidrógeno, pero todo el capítulo 4 es relevante.
  • Kleinert, H. (2009). Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , 4.ª edición, Worldscibooks.com , World Scientific, Singapur (también disponible en línea en physik.fu-berlin.de ).
  • El átomo de hidrógeno y la tabla periódica: las conferencias de física de Feynman
  • Física del átomo de hidrógeno en Scienceworld