Polinomios de Gegenbauer

En matemáticas , los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultrasféricos C ^(α) _n ( x ) son polinomios ortogonales en el intervalo [ −1,1 ] con respecto a la función de peso (1 − x² ) ^{α⁻¹ /² .} Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev , y son casos especiales de los polinomios de Jacobi . Reciben su nombre de Leopold Gegenbauer .  

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  Representación gráfica del polinomio de Gegenbauer C n^(m)(x) con n=10 y m=1 en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1.
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  Polinomios de Gegenbauer con α =1
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  Polinomios de Gegenbauer con α =2
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  Polinomios de Gegenbauer con α =3
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  Una animación que muestra los polinomios en el plano xα para los primeros 4 valores de n .

Existe una variedad de caracterizaciones disponibles de los polinomios de Gegenbauer.

• Los polinomios se pueden definir en términos de su función generadora : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• Los polinomios satisfacen la relación de recurrencia : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

Cuando α  =  1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre .

Cuando α  =  1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshev , y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshev de segundo tipo. ^{[ 3 ]}

• Se presentan como series hipergeométricas gaussianas en ciertos casos donde la serie es finita:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

^{[ 4 ]} Aquí (2α)_nes elfactorial creciente. Explícitamente,

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

A partir de esto también es fácil obtener el valor en el argumento unitario:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• Son casos especiales de los polinomios de Jacobi : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

en el cual${\displaystyle (\theta )_{n}}$representa el factorial ascendente de${\displaystyle \theta }$.

Por lo tanto, también se tiene la fórmula de Rodrigues.

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

• Conjuntos de normalización alternativos${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)=1}$. Suponiendo esta normalización alternativa, las derivadas de Gegenbauer se expresan en términos de Gegenbauer: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}C_{q+2j+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {2^{q}(q+2j+1)!}{(q-1)!\Gamma (q+2j+2\alpha +1)}}&\sum _{i=0}^{j}{\frac {(2i+\alpha +1)\Gamma (2i+2\alpha +1)}{(2i+1)!(j-i)!}}\\&\times {\frac {\Gamma (q+j+i+\alpha +1)}{\Gamma (j+i+\alpha +2)}}(q+j-i-1)!C_{2i+1}^{(\alpha )}(x)\end{aligned}}}$$

Para un α > -1/2 fijo , los polinomios son ortogonales en [ − 1,  1] con respecto a la función de ponderación ^{[ 6 ].}

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

Es decir, para n  ≠ m , 

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

Son normalizados por

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y el análisis armónico . El potencial newtoniano en R ⁿ tiene la expansión, válida con α  =  ( n − 2)/2,  

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}$

Cuando n  =  3, esto da la expansión en polinomios de Legendre del potencial gravitatorio . Se dispone de expresiones similares para la expansión del núcleo de Poisson en una bola. ^{[ 7 ]}

De ello se deduce que las cantidades${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$son armónicos esféricos , cuando se consideran como una función solo de x . Son, de hecho, exactamente los armónicos esféricos zonales , salvo una constante de normalización .

Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas .

La desigualdad de Askey-Gasper se lee así:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

En los métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales , si una función se expande en la base de polinomios de Chebyshev y su derivada se representa en una base de Gegenbauer/ultrasférica, entonces el operador de derivada se convierte en una matriz diagonal , lo que da lugar a métodos de matriz de banda rápidos para problemas grandes. ^{[ 8 ]}

Representación integral de tipo Dirichlet-Mehler : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\cos \theta \right)}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(1\right)}}={\frac {C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(\cos \theta \right)}{C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(1\right)}}={\frac {2^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\Gamma \left(\alpha +1\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}(\sin \theta )^{-2\alpha }\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos \left((n+\alpha +{\tfrac {1}{2}})\phi \right)}{(\cos \phi -\cos \theta )^{-\alpha +{\frac {1}{2}}}}}\,\mathrm {d} \phi ,}$$Representación integral de tipo Laplace$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(\cos \theta )}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(1)}}&={\frac {C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(\cos \theta )}{C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(1)}}\\&={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta +i\sin \theta \cos \phi )^{n}(\sin \phi )^{2\alpha }\mathrm {~d} \phi \end{aligned}}}$$Fórmula de adición : ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{n}^{\lambda }\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \phi \right)\\&\quad =\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}^{\lambda }\left(\sin \theta _{1}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{1}\right)\left(\sin \theta _{2}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{2}\right)\\&\quad \cdot C_{k}^{\lambda -1/2}(\cos \phi ),\quad a_{n,k}^{\lambda }{\text{ constants }}\end{aligned}}}$$

Dado fijo${\displaystyle \lambda \in (0,1),M\in \{1,2,\dots \},\delta \in (0,\pi /2)}$, de forma uniforme para todos${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$, para${\displaystyle n\to \infty }$, ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}\left(\cos \theta \right)={\frac {2^{2\lambda }\Gamma \left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\lambda +1\right)}}{\frac {\left(2\lambda \right)_{n}}{\left(\lambda +1\right)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {{\left(\lambda \right)_{m}}{\left(1-\lambda \right)_{m}}}{m!\,{\left(n+\lambda +1\right)_{m}}}}{\dfrac {\cos \theta _{n,m}}{(2\sin \theta )^{m+\lambda }}}+R_{M}(\theta )\right)}$$

dónde${\displaystyle (\cdot )_{m}}$es el símbolo de Pochhammer y$${\displaystyle \theta _{n,m}=(n+m+\lambda )\theta -{\tfrac {1}{2}}(m+\lambda )\pi }$$El resto${\displaystyle R_{M}=O\left({\frac {1}{n^{M}}}\right)}$tiene un límite superior explícito:$${\displaystyle |R_{M}(\theta )|\leq (2/\pi )\sin(\lambda \pi ){\frac {\Gamma (n+2\lambda )}{\Gamma (\lambda )}}{\frac {\Gamma (M+\lambda )\Gamma (M-\lambda +1)}{M!\Gamma (n+M+\lambda +1)}}{\frac {\max \left(|\cos \theta |^{-1},2\sin \theta \right)}{(2\sin \theta )^{M+\lambda }}}}$$dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función Gamma .

Se pueden obtener otras fórmulas asintóticas como casos especiales de fórmulas asintóticas para los polinomios de Jacobi más generales.

• Polinomios de Rogers , el análogo q de los polinomios de Gegenbauer.
• polinomios de Chebyshev
• Polinomios de Romanovski

• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Szegő, G. (1975). Polinomios ortogonales . Publicaciones del Coloquio. Vol.  XXIII (4.ª  ed.). Providence, RI: American Mathematical Society .