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II 25,1

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En matemáticas, II 25,1 es la red unimodular lorentziana par de 26 dimensiones . Posee varias propiedades inusuales, derivadas del descubrimiento de Conway de que tiene un vector de Weyl de norma cero . En particular, está estrechamente relacionada con la red de Leech Λ, y tiene el grupo de Conway Co1 en la cúspide de su grupo de automorfismos .

Construcción

Escriba R m , n para el espacio vectorial de dimensión m + n R m + n con el producto interno de ( a 1 ,..., a m + n ) y ( b 1 ,..., b m + n ) dado por

a 1 b 1 +...+ a m b m − a m +1 b m +1 − ... − a m + n b m + n .

La red II 25,1 está dada por todos los vectores ( a 1 ,..., a 26 ) en R 25,1 tales que todos los a i son enteros o todos son enteros más 1/2, y su suma es par.

Grupo de reflexión

La red II 25,1 es isomorfa a Λ⊕H donde:

  • Λ es la red de Leech ,
  • H es la red lorentziana par bidimensional, generada por vectores z y w de norma 0 con producto interno –1,

y los dos sumandos son ortogonales. Por lo tanto, podemos escribir vectores de II 25,1 como (λ, m , n ) = λ+ mz + nw con λ en Λ y m , n enteros, donde (λ, m , n ) tiene norma λ 2 –2 mn . Para dar explícitamente el isomorfismo, seaw=(0,1,2,3,…,22,23,24;70){\displaystyle w=(0,1,2,3,\puntos,22,23,24;70)}, yz=(1,0,2,3,…,22,23,24;70){\displaystyle z=(1,0,2,3,\puntos,22,23,24;70)}, de modo que el subespacioH{\displaystyle H}generado porw{\displaystyle w}yz{\displaystyle z}es la red lorentziana par bidimensional. EntoncesH⊥{\displaystyle H^{\perp }}es isomorfo aw⊥/w{\displaystyle w^{\perp }/w}y recuperamos una de las definiciones de Λ.

Conway demostró que las raíces (vectores de norma 2) con producto interno –1 y w = (0,0,1) son las raíces simples del grupo de reflexión . Estos son los vectores (λ,1,λ² / 2–1) para λ en la red de Leech. En otras palabras, las raíces simples pueden identificarse con los puntos de la red de Leech, y además, esto constituye una isometría del conjunto de raíces simples a la red de Leech.

El grupo de reflexión es un grupo de reflexión hiperbólico que actúa sobre un espacio hiperbólico de 25 dimensiones . El dominio fundamental del grupo de reflexión tiene 1+23+284 órbitas de vértices como sigue:

  • Un vértice en el infinito que corresponde al vector de Weyl de norma 0.
  • 23 órbitas de vértices en el infinito que intersectan un número finito de caras del dominio fundamental. Estos vértices corresponden a los agujeros profundos de la red de Leech, y existen 23 órbitas de estos que corresponden a las 23 redes de Niemeier distintas de la red de Leech. Las raíces simples que intersectan uno de estos vértices forman un diagrama de Dynkin afín de rango 24.
  • 284 órbitas de vértices en el espacio hiperbólico. Estas corresponden a las 284 órbitas de agujeros poco profundos de la red de Leech. Las raíces simples que convergen en cualquiera de estos vértices forman un diagrama de Dynkin esférico de rango 25.

Grupo de automorfismos

Conway (1983) describió el grupo de automorfismos Aut(II 25,1 ) de II 25,1 de la siguiente manera.

  • En primer lugar, Aut(II 25,1 ) es el producto de un grupo de orden 2 generado por –1 por el subgrupo de índice 2 Aut + (II 25,1 ) de automorfismos que preservan la dirección del tiempo.
  • El grupo Aut + (II 25,1 ) tiene un subgrupo normal Ref generado por sus reflexiones, cuyas raíces simples corresponden a los vectores de la red de Leech.
  • El grupo Aut + (II 25,1 )/Ref es isomorfo al grupo de automorfismos afines de la red de Leech Λ, y por lo tanto tiene un subgrupo normal de traslaciones isomorfo a Λ= Z 24 , y el cociente es isomorfo al grupo de todos los automorfismos de la red de Leech, que es un recubrimiento doble del grupo de Conway Co 1 , un grupo simple esporádico.

Vectores

Cada vector distinto de cero de II 25,1 se puede escribir de forma única como un múltiplo entero positivo de un vector primitivo, por lo que para clasificar todos los vectores es suficiente clasificar los vectores primitivos.

vectores de norma positiva

Dos vectores primitivos cualesquiera de norma positiva con la misma norma son conjugados bajo el grupo de automorfismos.

Vectores de norma cero

Existen 24 órbitas de vectores primitivos de norma 0, que corresponden a las 24 redes de Niemeier . La correspondencia se establece de la siguiente manera: si z es un vector de norma 0, entonces la red z ⊥ / z es una red unimodular par de 24 dimensiones y, por lo tanto, es una de las redes de Niemeier.

La red de Niemeier correspondiente al vector de Weyl de norma 0 del grupo de reflexión de II 25,1 es la red de Leech.

Norma –2 vectores

Hay 121 órbitas de vectores v de norma –2, que corresponden a las 121 clases de isomorfismo de retículos pares de 25 dimensiones L de determinante 2. En esta correspondencia, el retículo L es isomorfo al complemento ortogonal del vector v .

Norma –4 vectores

Hay 665 órbitas de vectores v de norma –4, que corresponden a las 665 clases de isomorfismo de retículos unimodulares L de 25 dimensiones . En esta correspondencia, el subretículo de índice 2 de los vectores pares del retículo L es isomorfo al complemento ortogonal del vector v .

Otros vectores

Hay descripciones similares pero cada vez más complicadas de los vectores de norma –2 n para n =3, 4, 5, ..., y el número de órbitas de dichos vectores aumenta bastante rápido.

Referencias