Idempotencia

En el monoide${\displaystyle (E^{E},\circ)}$de las funciones de un conjunto${\displaystyle E}$a sí mismo (véase exponenciación de conjuntos ) con composición de funciones${\displaystyle \circ }$Los elementos idempotentes son las funciones${\displaystyle f\colon E\to E}$de tal manera que${\displaystyle f\circ f=f}$, ^{[ a ]} ​​que es tal que${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in E}$(en otras palabras, la imagen${\displaystyle f(x)}$de cada elemento${\displaystyle x\in E}$es un punto fijo de${\displaystyle f}$). Por ejemplo:

• El valor absoluto es idempotente. En efecto,${\displaystyle \operatorname {abs} \circ \operatorname {abs} =\operatorname {abs} }$, eso es${\displaystyle \operatorname {abs} (\operatorname {abs} (x))=\operatorname {abs} (x)}$a pesar de${\displaystyle x}$;
• Las funciones constantes son idempotentes;
• La función identidad es idempotente;
• Las funciones de piso , techo y parte fraccionaria son idempotentes;
• la función de la parte real${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$de un número complejo , es idempotente.
• Para la mayoría de los tipos de promedio , tomar el promedio de un conjunto y colocarlo en un conjunto unitario es idempotente:${\displaystyle \{\operatorname {avg} \{\operatorname {avg} \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\}\}=\{\operatorname {avg} \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\}}$
• La función generada por el subgrupo a partir del conjunto potencia de un grupo sobre sí mismo es idempotente;
• La función de envoltura convexa del conjunto potencia de un espacio afín sobre los números reales a sí mismo es idempotente;
• Las funciones de cierre e interior del conjunto potencia de un espacio topológico sobre sí mismo son idempotentes;
• Las funciones estrella de Kleene y Kleene plus del conjunto de potencias de un monoide sobre sí mismo son idempotentes;
• Los endomorfismos idempotentes de un espacio vectorial son sus proyecciones .

Si el conjunto${\displaystyle E}$tiene${\displaystyle n}$elementos, podemos dividirlo en${\displaystyle k}$puntos fijos elegidos y${\displaystyle n-k}$puntos no fijos bajo${\displaystyle f}$, y luego${\displaystyle k^{n-k}}$es el número de funciones idempotentes diferentes. Por lo tanto, teniendo en cuenta todas las particiones posibles,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}k^{n-k}}$

es el número total de posibles funciones idempotentes en el conjunto. La secuencia entera del número de funciones idempotentes dada por la suma anterior para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... comienza con 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, ... (secuencia A000248 en el OEIS ) .

Ni la idempotencia ni la no idempotencia se conservan bajo la composición de funciones. ^{[ b ]} Como ejemplo de lo primero,${\displaystyle f(x)=x}$módulo 3 y${\displaystyle g(x)=\max(x,5)}$ambos son idempotentes, pero${\displaystyle f\circ g}$no lo es, ^{[ c ]} aunque${\displaystyle g\circ f}$sucede que. ^{[ d ]} Como ejemplo de esto último, la función de negación${\displaystyle \neg }$en el dominio booleano no es idempotente, pero${\displaystyle \neg \circ \neg }$es. De manera similar, negación unaria${\displaystyle -(\cdot )}$de los números reales no es idempotente, pero ${\displaystyle -(\cdot )\circ -(\cdot )}$En ambos casos, la composición es simplemente la función identidad , que es idempotente.

Un morfismo${\displaystyle f:x\to x}$en una categoría se denomina idempotente si${\displaystyle f\circ f=f}$. ^{[ 10 ]} Se dice que un idempotente se divide si se puede escribir como${\displaystyle f=h\circ g}$para algunos${\displaystyle g:x\to y,\,h:y\to x}$con${\displaystyle g\circ h=\operatorname {id} }$.

Se dice que una categoría es idempotente completa si todo idempotente se divide. Por ejemplo,${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$es idempotente completo. ^{[ 11 ]}

Una función que consulta el nombre y la dirección de un cliente en una base de datos suele ser idempotente, ya que no modifica la base de datos. Del mismo modo, una solicitud para cambiar la dirección de un cliente a XYZ también suele ser idempotente, puesto que la dirección final será la misma independientemente de cuántas veces se envíe la solicitud. Sin embargo, una solicitud de un cliente para realizar un pedido no suele ser idempotente, ya que varias solicitudes darán lugar a varios pedidos. Una solicitud para cancelar un pedido en particular sí es idempotente, porque, independientemente de cuántas solicitudes se realicen, el pedido permanece cancelado.

Una secuencia de subrutinas idempotentes, donde al menos una subrutina es diferente de las demás, no es necesariamente idempotente si una subrutina posterior modifica un valor del que depende una subrutina anterior; la idempotencia no se cumple bajo la composición secuencial . Por ejemplo, supongamos que el valor inicial de una variable es 3 y existe una secuencia de subrutinas que lee la variable, la cambia a 5 y luego la vuelve a leer. Cada paso de la secuencia es idempotente: ambos pasos que leen la variable no tienen efectos secundarios y el paso que la cambia a 5 siempre tendrá el mismo efecto, independientemente de cuántas veces se ejecute. Sin embargo, ejecutar la secuencia completa una vez produce la salida (3, 5), pero ejecutarla una segunda vez produce la salida (5, 5), por lo que la secuencia no es idempotente.

int x = 3 ; void inspect () { printf ( "%d \n " , x ); } void change () { x = 5 ; } void sequence () { inspect (); change (); inspect (); }int main () { sequence (); // imprime "3\n5\n" sequence (); // imprime "5\n5\n" return 0 ; }

En el Protocolo de Transferencia de Hipertexto (HTTP), la idempotencia y la seguridad son los principales atributos que distinguen los métodos HTTP . De los principales métodos HTTP, GET, PUT y DELETE deben implementarse de manera idempotente según el estándar, pero POST no necesita serlo. ^{[ 12 ]} GET recupera el estado de un recurso; PUT actualiza el estado de un recurso; y DELETE elimina un recurso. Como en el ejemplo anterior, la lectura de datos generalmente no tiene efectos secundarios, por lo que es idempotente (de hecho, nulipotente ). La actualización y la eliminación de un dato dado suelen ser idempotentes siempre que la solicitud identifique de forma única el recurso y solo ese recurso en el futuro. PUT y DELETE con identificadores únicos se reducen al caso simple de asignación a una variable de un valor o del valor nulo, respectivamente, y son idempotentes por la misma razón; el resultado final siempre es el mismo que el resultado de la ejecución inicial, incluso si la respuesta difiere. ^{[ 13 ]}

La violación del requisito de identificación única en el almacenamiento o la eliminación suele provocar una violación de la idempotencia. Por ejemplo, al almacenar o eliminar un conjunto de contenido sin especificar un identificador único, las solicitudes POST, que no requieren idempotencia, a menudo no contienen identificadores únicos, por lo que la creación del identificador se delega al sistema receptor, que luego crea un nuevo registro correspondiente. De manera similar, las solicitudes PUT y DELETE con criterios no específicos pueden generar resultados diferentes según el estado del sistema; por ejemplo, una solicitud para eliminar el registro más reciente. En cada caso, las ejecuciones posteriores modificarán aún más el estado del sistema, por lo que no son idempotentes.

En el procesamiento de flujos de eventos , la idempotencia se refiere a la capacidad de un sistema para producir el mismo resultado, incluso si se recibe el mismo archivo, evento o mensaje más de una vez.

En una arquitectura de carga y almacenamiento , las instrucciones que podrían causar un fallo de página son idempotentes. Por lo tanto, si se produce un fallo de página, el sistema operativo puede cargar la página desde el disco y luego simplemente volver a ejecutar la instrucción que falló. En un procesador donde dichas instrucciones no son idempotentes, el manejo de fallos de página es mucho más complejo. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Al reformatear la salida, se espera que el formateo sea idempotente. En otras palabras, si la salida ya está formateada, el formateador no debería tener que hacer nada.

En la arquitectura orientada a servicios (SOA), un proceso de orquestación de múltiples pasos, compuesto enteramente por pasos idempotentes, puede reproducirse sin efectos secundarios si falla alguna parte de dicho proceso.

Muchas operaciones idempotentes suelen tener maneras de reanudar un proceso si se interrumpe , métodos que finalizan mucho más rápido que si se reiniciara desde el principio. Por ejemplo, reanudar una transferencia de archivos , sincronizar archivos , crear una compilación de software , instalar una aplicación y todas sus dependencias con un gestor de paquetes , etc.