Inmersión (matemáticas)

En matemáticas , una inmersión es una función diferenciable entre variedades diferenciables cuyo empuje diferencial es inyectivo en todas partes . ^{[ 1 ]} Explícitamente, f  : M → N es una inmersión si

${\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

es una función inyectiva en cada punto p de M (donde T _p X denota el espacio tangente de una variedad X en un punto p en X y D _p f es la derivada (pushforward) de la aplicación f en el punto p ). Equivalentemente, f es una inmersión si su derivada tiene rango constante igual a la dimensión de M : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.}$

La función f en sí misma no tiene por qué ser inyectiva, solo su derivada debe serlo.

Un concepto relacionado es el de incrustación . Una incrustación suave es una inmersión inyectiva f  : M → N que también es una incrustación topológica , de modo que M es difeomorfa a su imagen en N. Una inmersión es precisamente una incrustación local ; es decir, para cualquier punto x ∈ M existe un entorno U ⊆ M de x tal que f : U → N es una incrustación, y viceversa, una incrustación local es una inmersión. [ ^{3 ] Para} variedades de dimensión infinita, esto a veces se considera la definición de inmersión. ^{[ 4 ]} 

Si M es compacto , una inmersión inyectiva es una incrustación, pero si M no es compacto, entonces las inmersiones inyectivas no tienen por qué ser incrustaciones; compárese con las biyecciones continuas frente a los homeomorfismos .

Una homotopía regular entre dos inmersiones f y g de una variedad M a una variedad N se define como una función diferenciable H  : M × [0,1] → N tal que para todo t en [0, 1] la función H _t  : M → N definida por H _t ( x ) = H ( x , t ) para todo x ∈ M es una inmersión, con H ₀ = f , H ₁ = g . Por lo tanto, una homotopía regular es una homotopía a través de inmersiones.

Hassler Whitney inició el estudio sistemático de inmersiones y homotopías regulares en la década de 1940, demostrando que para 2 m < n + 1 toda aplicación f  : M ^m → N ⁿ de una variedad m -dimensional a una variedad n -dimensional es homotópica a una inmersión, y de hecho a una incrustación para 2 m < n ; estos son el teorema de inmersión de Whitney y el teorema de incrustación de Whitney .

Stephen Smale expresó las clases de homotopía regulares de las inmersiones .${\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$como los grupos de homotopía de una cierta variedad de Stiefel . La eversión de la esfera fue una consecuencia particularmente llamativa.

Morris Hirsch generalizó la expresión de Smale a una descripción de teoría de homotopía de las clases de homotopía regulares de inmersiones de cualquier variedad m- dimensional M ^m en cualquier variedad n -dimensional N ⁿ .

La clasificación de inmersiones de Hirsch-Smale fue generalizada por Mikhail Gromov .

Existencia

El principal obstáculo para la existencia de una inmersión${\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$⁠ es el fibrado normal estable de M , detectado por sus clases características , en particular sus clases de Stiefel-Whitney . Es decir, puesto que ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ es paralelizable , el retroceso de su fibrado tangente a M es trivial; puesto que este retroceso es la suma directa del fibrado tangente (intrínsecamente definido) en M , TM , que tiene dimensión m , y del fibrado normal ν de la inmersión i , que tiene dimensión n − m , para que haya unainmersión de M de codimensión k , debe haber un fibrado vectorial de dimensión k , ξ ^k , que sustituya al fibrado normal ν , tal que ⁠${\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}}$es trivial. Recíprocamente, dado dicho fibrado, una inmersión de M con este fibrado normal es equivalente a una inmersión de codimensión 0 del espacio total de este fibrado, que es una variedad abierta.

El fibrado normal estable es la clase de fibrados normales más fibrados triviales, por lo que si el fibrado normal estable tiene dimensión cohomológica k , no puede provenir de un fibrado normal (inestable) de dimensión menor que k . Por lo tanto, la dimensión cohomológica del fibrado normal estable, detectada por su clase característica no nula más alta, constituye un obstáculo para las inmersiones.

Dado que las clases características se multiplican bajo la suma directa de fibrados vectoriales, esta obstrucción puede enunciarse intrínsecamente en términos del espacio M , su fibrado tangente y su álgebra de cohomología. Esta obstrucción fue enunciada (en términos del fibrado tangente, no del fibrado normal estable) por Whitney.

Por ejemplo, la cinta de Möbius tiene un fibrado tangente no trivial, por lo que no puede sumergirse en codimensión 0 (en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ ), aunque se incrusta en la codimensión 1 (en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠ ).

William S. Massey ( 1960 ) demostró que estas clases características (las clases de Stiefel-Whitney del fibrado normal estable) se anulan por encima del grado n − α ( n ) , donde α ( n ) es el número de dígitos "1" cuando n se escribe en binario; esta cota es precisa, como se realiza en el espacio proyectivo real . Esto dio evidencia a la conjetura de inmersión , a saber, que toda n -variedad podría sumergirse en codimensión n − α ( n ) , es decir, en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-\alpha (n)}.}$Esta conjetura fue demostrada por Ralph Cohen ( 1985 ) . 

Un punto k -tupla (doble, triple, etc.) de una inmersión f  : M → N es un conjunto no ordenado { x ₁ , ..., x _k } de puntos distintos x _i ∈ M con la misma imagen f ( x _i ) ∈ N . Si M es una variedad m -dimensional y N es una variedad n- dimensional, entonces para una inmersión f  : M → N en posición general el conjunto de puntos k -tupla es una variedad ( n − k ( n − m )) -dimensional. Toda incrustación es una inmersión sin puntos múltiples (donde k > 1 ). Sin embargo, tenga en cuenta que lo contrario es falso: existen inmersiones inyectivas que no son incrustaciones.

La naturaleza de los múltiples puntos clasifica las inmersiones; por ejemplo, las inmersiones de un círculo en el plano se clasifican, salvo homotopía regular, por el número de puntos dobles.

En un punto clave de la teoría quirúrgica es necesario decidir si una inmersión${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{m}\to N^{2m}}$⁠ de una m -esfera en una variedad 2 m -dimensional es homotópica regular a una incrustación, en cuyo caso puede ser eliminada mediante cirugía. Pared asociada a f un invariante μ ( f ) en un cociente delanillo del grupo fundamental ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _ {1}(N)]}$que cuenta los puntos dobles de f en la cubierta universal de N. Para m > 2 , f es homotópica regular a una incrustación si y solo si μ ( f ) = 0 por el truco de Whitney .

Se pueden estudiar las incrustaciones como "inmersiones sin puntos múltiples", ya que las inmersiones son más fáciles de clasificar. Por lo tanto, se puede partir de las inmersiones e intentar eliminar los puntos múltiples, viendo si se puede hacer esto sin introducir otras singularidades, estudiando "disyunciones múltiples". Esto fue hecho por primera vez por André Haefliger , y este enfoque es fructífero en codimensión 3 o más; desde el punto de vista de la teoría de la cirugía, esta es "alta (co)dimensión", a diferencia de la codimensión 2 que es la dimensión de anudamiento, como en la teoría de nudos . Es estudiado categóricamente a través del " cálculo de functores " por Thomas Goodwillie Archivado el 28-11-2009 en Wayback Machine , John Klein y Michael S. Weiss .

• Una rosa matemática con k pétalos es una inmersión del círculo en el plano con un único punto k -tupla; k puede ser cualquier número impar, pero si es par debe ser un múltiplo de 4, por lo que la figura 8, con k = 2 , no es una rosa.
• La botella de Klein , y todas las demás superficies cerradas no orientables, pueden sumergirse en el espacio tridimensional, pero no incrustarse.
• Según el teorema de Whitney-Graustein , las clases de homotopía regulares de inmersiones del círculo en el plano se clasifican por el número de vueltas , que también es el número de puntos dobles contados algebraicamente (es decir, con signos).
• La esfera se puede voltear del revés : la incrustación estándar${\displaystyle f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$está relacionado con${\displaystyle f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$mediante una homotopía regular de inmersiones${\displaystyle f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.}$⁠
• La superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional; por lo tanto, también una inmersión de la esfera en una proporción de 2 a 1.
• La superficie de Morin es una inmersión de la esfera; tanto esta como la superficie de Boy surgen como modelos intermedios en la eversión de la esfera.

• 
  Superficie del niño
• 
  La superficie de Morin

Curvas planas inmersas

Las curvas planas inmersas poseen un número de giro bien definido , que se puede calcular como la curvatura total dividida por  2π . Este valor es invariante bajo homotopía regular, según el teorema de Whitney-Graustein ; topológicamente, es el grado de la aplicación de Gauss , o equivalentemente, el número de vueltas de la tangente unitaria (que no se anula) alrededor del origen. Además, este es un conjunto completo de invariantes : cualesquiera dos curvas planas con el mismo número de giro son homotópicas regulares.

Cada curva plana inmersa se transforma en una curva espacial incrustada al separar los puntos de intersección, lo cual no ocurre en dimensiones superiores. Con la adición de datos (qué hebra está arriba), las curvas planas inmersas generan diagramas de nudos , de gran interés en la teoría de nudos . Mientras que las curvas planas inmersas, salvo homotopía regular, están determinadas por su número de giros, los nudos poseen una estructura muy rica y compleja.

Una generalización de gran alcance de la teoría de inmersión es el principio de homotopía : se puede considerar la condición de inmersión (el rango de la derivada es siempre k ) como una relación diferencial parcial (RDP), ya que se puede expresar en términos de las derivadas parciales de la función. Entonces, la teoría de inmersión de Smale-Hirsch es el resultado de que esto se reduce a la teoría de homotopía, y el principio de homotopía proporciona condiciones generales y razones para que las RDP se reduzcan a la teoría de homotopía.

• Subcolector sumergido
• Inmersión isométrica
• Sumersión

• Inmersión archivada el 9 de agosto de 2020 en la Wayback Machine del Manifold Atlas.
• Inmersión de una variedad en la Enciclopedia de Matemáticas