Filtro prototipo

Los filtros prototipo son diseños de filtros electrónicos que se utilizan como plantilla para producir un diseño de filtro modificado para una aplicación particular. Son un ejemplo de un diseño no dimensionalizado a partir del cual se puede escalar o transformar el filtro deseado . Se observan con mayor frecuencia en relación con filtros electrónicos y, especialmente, filtros pasivos analógicos lineales . Sin embargo, en principio, el método se puede aplicar a cualquier tipo de filtro lineal o procesamiento de señales , incluidos los filtros mecánicos, acústicos y ópticos.

Los filtros deben funcionar en muchas frecuencias , impedancias y anchos de banda diferentes . La utilidad de un filtro prototipo proviene de la propiedad de que todos estos otros filtros pueden derivarse de él aplicando un factor de escala a los componentes del prototipo. Por lo tanto, el diseño del filtro solo debe realizarse una vez en su totalidad, y los demás filtros se obtienen simplemente aplicando un factor de escala.

Especialmente útil es la capacidad de transformar de una forma de banda a otra. En este caso, la transformación es más que un simple factor de escala. La forma de banda aquí pretende indicar la categoría de banda de paso que posee el filtro. Las formas de banda habituales son paso bajo , paso alto , paso de banda y banda supresora , pero son posibles otras. En particular, es posible que un filtro tenga múltiples bandas de paso. De hecho, en algunos tratamientos, el filtro banda supresora se considera un tipo de filtro de banda de paso múltiple que tiene dos bandas de paso. Lo más común es que el filtro prototipo se exprese como un filtro paso bajo, pero son posibles otras técnicas.

Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector de la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y del conocimiento de la representación de señales en el dominio de frecuencia .

El prototipo más común es un filtro de paso bajo con una frecuencia angular de 3 dB ω _c ′ = 1  rad/s . Ocasionalmente, se utiliza la frecuencia f ′ = 1  Hz en lugar de ω _c ′ = 1. Asimismo, la impedancia nominal o característica del filtro se establece en R ′ = 1 Ω.

En principio, cualquier punto de frecuencia distinto de cero en la respuesta del filtro podría utilizarse como referencia para el diseño del prototipo. Por ejemplo, para filtros con rizado en la banda de paso, la frecuencia de corte suele definirse como la frecuencia más alta con rizado máximo en lugar de 3 dB. Otro caso es el de los filtros de parámetros de imagen (un método de diseño más antiguo que los filtros de síntesis de red más modernos ) que utilizan la frecuencia de corte en lugar del punto de 3 dB, ya que el corte es un punto bien definido en este tipo de filtro.

El filtro prototipo sólo se puede utilizar para producir otros filtros de la misma clase ^{[n 1]} y orden. ^{[n 2] Por ejemplo, un prototipo} de filtro Bessel de quinto orden se puede convertir en cualquier otro filtro Bessel de quinto orden, pero no se puede transformar en un filtro Bessel de tercer orden o en un filtro Chebyshev de quinto orden .

Un prototipo de filtro paso bajo pasivo concentrado de quinto orden y topología T podría tener la reactancia :

+1jΩ -0,64jΩ +2jΩ -0,64jΩ +1jΩ (ejemplar)

Para convertirlos a 50 ohmios, multiplique los valores dados por 50. Para obtener el valor de la pieza, convierta a la frecuencia de corte deseada (frecuencia de corte). Ejemplo: la resistencia será de 75 ohmios y la frecuencia de corte será de 2 MHz.

+75jΩ -48jΩ +150jΩ -48jΩ +75jΩ
6μH 1,66 nF 12μH 1,66 nF 6μH

Los tipos de filtros con ondulación ajustable no se pueden tabular fácilmente como tales, ya que dependen de más que solo la impedancia y la frecuencia.

El filtro prototipo se escala a la frecuencia requerida con la siguiente transformación:

${\displaystyle i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\right)i\omega }$

donde ω _c ′ es el valor del parámetro de frecuencia (por ejemplo, frecuencia de corte) para el prototipo y ω _c es el valor deseado. Por lo tanto, si ω _c ′ = 1, la función de transferencia del filtro se transforma en:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)}$

Se puede ver fácilmente que para lograr esto, los componentes no resistivos del filtro deben transformarse mediante:

${\displaystyle L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L}$  y,   ${\displaystyle C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C}$

El escalado de impedancia es invariablemente un escalado a una resistencia fija. Esto se debe a que las terminaciones del filtro, al menos nominalmente, se consideran una resistencia fija. Para llevar a cabo este escalado a una impedancia nominal R , cada elemento de impedancia del filtro se transforma mediante:

${\displaystyle Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z}$

Puede ser más conveniente en algunos elementos escalar la admitancia:

${\displaystyle Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y}$

Se puede ver fácilmente que para lograr esto, los componentes no resistivos del filtro deben escalarse como:

${\displaystyle L\to {\frac {R}{R'}}\,L}$    y,    ${\displaystyle C\to {\frac {R'}{R}}\,C}$

El escalado de impedancia por sí solo no tiene efecto sobre la función de transferencia del filtro (siempre que se aplique el mismo escalado a las impedancias de terminación). Sin embargo, es habitual combinar el escalado de frecuencia e impedancia en un solo paso: ^[1]

${\displaystyle L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L}$  y,   ${\displaystyle C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C}$

En general, la forma de banda de un filtro se transforma reemplazando iω donde aparece en la función de transferencia con una función de iω . Esto, a su vez, conduce a la transformación de los componentes de impedancia del filtro en algún otro componente. El escalado de frecuencia anterior es un caso trivial de transformación de forma de banda correspondiente a una transformación de paso bajo a paso bajo.

La transformación de frecuencia requerida en este caso es: ^[2]

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to {\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}}$

donde ω _c es el punto del filtro de paso alto correspondiente a ω _c ′ en el prototipo. La función de transferencia se transforma entonces en:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\right)}$

Los inductores se transforman en condensadores según,

${\displaystyle L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,L'}}}$

y los condensadores se transforman en inductores,

${\displaystyle C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,C'}}}$

Las cantidades cebadas son el valor del componente en el prototipo.

En este caso, la transformación de frecuencia requerida es: ^[3]

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

donde Q es el factor Q y es igual al inverso del ancho de banda fraccionario: ^[4]

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}}$

Si ω ₁ y ω ₂ son los puntos de frecuencia inferior y superior (respectivamente) de la respuesta de paso de banda correspondiente a ω _c ′ del prototipo, entonces,

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _ {2}-\ omega _ {1}\,}$   y    ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}}$

Δ ω es el ancho de banda absoluto y ω ₀ es la frecuencia de resonancia de los resonadores en el filtro. Tenga en cuenta que el escalado de frecuencia del prototipo antes de la transformación de paso bajo a paso de banda no afecta la frecuencia de resonancia, sino el ancho de banda final del filtro.

La función de transferencia del filtro se transforma según:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)}$

Los inductores se transforman en resonadores en serie ,

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{L'}}}$

y los condensadores se transforman en resonadores paralelos,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C'}}}$

La transformación de frecuencia requerida para el paso bajo a eliminación de banda es: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

Los inductores se transforman en resonadores paralelos,

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{L'}}}$

y los condensadores se transforman en resonadores en serie,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{C'}}}$

Se pueden obtener filtros con múltiples bandas de paso aplicando la transformación general:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

El número de resonadores en la expresión corresponde al número de bandas de paso requeridas. Los filtros de paso bajo y paso alto pueden considerarse como casos especiales de la expresión del resonador, con uno u otro de los términos convirtiéndose en cero según corresponda. Los filtros de supresión de banda pueden considerarse como una combinación de un filtro de paso bajo y un filtro de paso alto. Los filtros de supresión de banda múltiples siempre pueden expresarse en términos de un filtro de paso de banda múltiple. De esta manera, se puede ver que esta transformación representa el caso general para cualquier forma de banda, y todas las demás transformaciones deben considerarse como casos especiales de la misma.

La misma respuesta se puede obtener de forma equivalente, a veces con una topología de componentes más conveniente, mediante la transformación a múltiples bandas de rechazo en lugar de múltiples bandas de paso. La transformación requerida en esos casos es:

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

En su tratamiento de los filtros de imagen , Zobel proporcionó una base alternativa para construir un prototipo que no se basa en el dominio de la frecuencia . ^[6] Por lo tanto, los prototipos de Zobel no corresponden a ninguna forma de banda en particular, pero pueden transformarse en cualquiera de ellas. No dar un significado especial a ninguna forma de banda en particular hace que el método sea matemáticamente más agradable; sin embargo, no es de uso común.

El prototipo de Zobel considera secciones de filtro, en lugar de componentes. Es decir, la transformación se lleva a cabo en una red de dos puertos en lugar de un inductor o condensador de dos terminales. La función de transferencia se expresa en términos del producto de la impedancia en serie , Z, y la admitancia en derivación Y de una semisección de filtro. Consulte el artículo Impedancia de imagen para obtener una descripción de las semisecciones. Esta cantidad es adimensional , lo que se suma a la generalidad del prototipo. En general, ZY es una cantidad compleja,

${\displaystyle ZY=U+iV\,\!}$y como U y V son ambas, en general, funciones de ω deberíamos escribir correctamente,

${\displaystyle ZY=U(\omega )+iV(\omega )}$

Con los filtros de imagen, es posible obtener filtros de diferentes clases a partir del prototipo de filtro k constante mediante un tipo diferente de transformación (ver filtro de imagen compuesto ), siendo k constante aquellos filtros para los que Z/Y es una constante. Por esta razón, los filtros de todas las clases se dan en términos de U(ω) para una constante k, que se denota como,

${\displaystyle ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )}$

En el caso de redes sin disipación, es decir, sin resistencias, la cantidad V ( ω ) es cero y solo se debe considerar U ( ω ). U _k ( ω ) varía de 0 en el centro de la banda de paso a −1 en la frecuencia de corte y luego continúa aumentando negativamente en la banda de rechazo independientemente de la forma de banda del filtro que se esté diseñando. Para obtener la forma de banda requerida, se utilizan las siguientes transformadas:

Para un prototipo de paso bajo constante k que se escala:

${\displaystyle R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1}$

La variable independiente del gráfico de respuesta es,

${\displaystyle U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!}$

Las transformaciones de forma de banda de este prototipo son,

para paso bajo,${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{2}}$

para paso alto,${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}\right)^{2}}$

y para el paso de banda,${\displaystyle U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}}$

• Topología de filtro electrónico
• Filtro electrónico
• Filtro lineal
• Filtro de imagen compuesta

• Zobel, OJ, "Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos", Bell System Technical Journal , vol. 2 (1923), págs. 1–46.
• Zobel, OJ, "Filtros de ondas eléctricas", patente estadounidense 1 850 146, presentada el 25 de noviembre de 1930, emitida el 22 de marzo de 1932. Proporciona muchas fórmulas útiles y una base de dominio no frecuencial para definir prototipos.
• Matthaei, Young, Jones Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964.
• Farago, PS, Introducción al análisis de redes lineales , English Universities Press, 1961.