Método de Euler hacia atrás

En análisis numérico y computación científica , el método de Euler hacia atrás (o método de Euler implícito ) es uno de los métodos numéricos más básicos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias . Es similar al método de Euler (estándar) , pero se diferencia en que es un método implícito . El método de Euler hacia atrás tiene un error de orden uno en el tiempo.

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria.$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$$ con valor inicial${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$Aquí la función${\displaystyle f}$y los datos iniciales${\displaystyle t_{0}}$y${\displaystyle y_{0}}$son conocidos; la función${\displaystyle y}$depende de la variable real${\displaystyle t}$y es desconocido. Un método numérico produce una secuencia${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$de tal manera que${\displaystyle y_{k}}$aproximaciones${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$, dónde${\displaystyle h}$Se denomina tamaño del paso.

El método de Euler hacia atrás calcula las aproximaciones utilizando ^{[ 1 ]}$${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$$ Esto difiere del método de Euler (hacia adelante) en que el método hacia adelante utiliza${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$en lugar de${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$.

El método de Euler hacia atrás es un método implícito: la nueva aproximación${\displaystyle y_{k+1}}$aparece en ambos lados de la ecuación, por lo que el método necesita resolver una ecuación algebraica para la incógnita.${\displaystyle y_{k+1}}$Para problemas no rígidos , esto se puede hacer con iteración de punto fijo : $${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$$ Si esta secuencia converge (dentro de una tolerancia dada), entonces el método toma su límite como la nueva aproximación.${\displaystyle y_{k+1}}$. ^{[ 2 ]}

Como alternativa, se puede utilizar (alguna modificación del) método de Newton-Raphson para resolver la ecuación algebraica.

Para una ecuación diferencial lineal,${\displaystyle f(y,t)=p(t)y(t)+q(t)}$, el paso de actualización se puede escribir explícitamente como $${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}+hq(t_{k+1})}{1-hp(t_{k+1})}}.}$$

Integrando la ecuación diferencial${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$de${\displaystyle t_{n}}$a${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$rendimientos $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$$Ahora aproxime la integral de la derecha mediante el método del rectángulo de la derecha (con un solo rectángulo): $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$$ Finalmente, utilice eso${\displaystyle y_{n}}$se supone que debe aproximarse${\displaystyle y(t_{n})}$y la fórmula para el método de Euler hacia atrás sigue. ^{[ 3 ]}

El mismo razonamiento conduce al método de Euler (estándar) si se utiliza la regla del rectángulo de la izquierda en lugar de la de la derecha.

El error de truncamiento local (definido como el error cometido en un paso) del método de Euler hacia atrás es${\displaystyle O(h^{2})}$, utilizando la notación de la gran O. El error en un momento específico${\displaystyle t}$es${\displaystyle O(h^{2})}$. Significa que este método tiene orden uno . En general, un método con${\displaystyle O(h^{k+1})}$Se dice que el LTE (error de truncamiento local) es de orden k .

La región de estabilidad absoluta para el método de Euler hacia atrás es el complemento en el plano complejo del disco con radio 1 centrado en 1, representado en la figura. ^{[ 4 ]} Esto incluye toda la mitad izquierda del plano complejo, lo que lo hace adecuado para la solución de ecuaciones rígidas . ^{[ 5 ]} De hecho, el método de Euler hacia atrás es incluso L-estable .

La región para un sistema discreto estable mediante el método de Euler hacia atrás es un círculo con radio 0,5 que se encuentra en (0,5, 0) en el plano z. ^{[ 6 ]}

El método de Euler hacia atrás es una variante del método de Euler (hacia adelante) . Otras variantes son el método de Euler semiimplícito y el método de Euler exponencial .

El método de Euler hacia atrás puede considerarse como un método de Runge-Kutta con una etapa, descrito por el cuadro de Butcher: $${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$$

El método también puede considerarse un método lineal de varios pasos con un solo paso. Es el primer método de la familia de métodos de Adams-Moulton , y también de la familia de fórmulas de diferenciación hacia atrás .

• Método de Crank-Nicolson