Ecuación diofántica

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.} — Encontrar todos los triángulos rectángulos con lados de longitud entera equivale a resolver la ecuación diofántica. $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

En matemáticas , una ecuación diofántica es una ecuación polinómica con coeficientes enteros , para la cual solo interesan soluciones enteras. Una ecuación diofántica lineal iguala la suma de dos o más incógnitas, con coeficientes, a una constante. Una ecuación diofántica exponencial es aquella en la que las incógnitas pueden aparecer en los exponentes .

Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que incógnitas e implican encontrar números enteros que resuelvan todas las ecuaciones simultáneamente. Dado que estos sistemas de ecuaciones definen curvas algebraicas , superficies algebraicas o, más generalmente, conjuntos algebraicos , su estudio forma parte de la geometría algebraica , denominada geometría diofántica .

El término diofántico hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , quien estudió este tipo de ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se conoce actualmente como análisis diofántico .

Si bien las ecuaciones individuales plantean una especie de enigma y han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, la formulación de teorías generales de ecuaciones diofánticas, más allá del caso de las ecuaciones lineales y cuadráticas , fue un logro del siglo XX. Sin embargo, el décimo problema de Hilbert demuestra que no puede existir un algoritmo general capaz de determinar si una ecuación diofántica arbitraria tiene una solución entera (y mucho menos de encontrar o caracterizar todas dichas soluciones).

Ejemplos

En las siguientes ecuaciones diofánticas, $w, x, y$ y $z$ son las incógnitas y las demás letras son constantes dadas:

Ecuaciones diofánticas lineales

Una ecuación

La ecuación diofántica lineal más simple toma la forma $ax+by=c,$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números enteros dados. Las soluciones se describen mediante el siguiente teorema:

Esta ecuación diofántica tiene una solución (donde

x

e

y

son enteros) si y solo si

c

es un múltiplo del máximo común divisor de

a

y

b

. Además, si

(x, y)

es una solución, entonces las otras soluciones tienen la forma

(x + kv, y - ku)

, donde

k

es un entero arbitrario, y

u

y

v

son los cocientes de

a

y

b

(respectivamente) por el máximo común divisor de

a

y

b

.

Demostración: Si $d$ es este máximo común divisor, la identidad de Bézout afirma la existencia de enteros $e$ y $f$ tales que $ae + bf = d$ . Si $c$ es un múltiplo de $d$ , entonces $c = dh$ para algún entero $h$ , y $(eh, fh)$ es una solución. Por otro lado, para cada par de enteros $x$ e $y$ , el máximo común divisor $d$ de $a$ y $b$ divide $ax + por$ . Por lo tanto, si la ecuación tiene una solución, entonces $c$ debe ser un múltiplo de $d$ . Si $a = ud$ y $b = vd$ , entonces para cada solución $(x, y)$ , tenemos ${\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}$ demostrando que $(x + kv, y - ku)$ es otra solución. Finalmente, dadas dos soluciones tales que $ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,$ uno deduce que $u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.$ Como $u$ y $v$ son coprimos , $el$ lema de Euclides muestra que $v$ divide $a x²$ $- x¹,$ y por lo tanto que existe un entero $k$ tal que ambos $x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.$ Por lo tanto, $x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,$ con lo cual se completa la demostración.

Teorema chino del resto

El teorema chino del resto describe una clase importante de sistemas de ecuaciones diofánticas lineales: sea $n_{1},\dots ,n_{k}$ sean $k enteros$ coprimos por pares mayores que uno, $a_{1},\dots ,a_{k}$ sean $k$ enteros arbitrarios y $N$ el producto $n_{1}\cdots n_{k}.$ El teorema chino del resto afirma que el siguiente sistema diofántico lineal tiene exactamente una solución. $(x,x_{1},\dots ,x_{k})$ de tal manera que $0 \leq x < N$ , y que las demás soluciones se obtienen sumando a $x$ un múltiplo de $N$ : ${\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}$

Sistema de ecuaciones diofánticas lineales

De forma más general, todo sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede resolverse calculando la forma normal de Smith de su matriz, de manera similar al uso de la forma escalonada reducida por filas para resolver un sistema de ecuaciones lineales sobre un cuerpo. Utilizando la notación matricial, todo sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede escribirse $AX=C,$ donde $A$ es una matriz de enteros de $m \times n$ , $X$ es una matriz columna de incógnitas de $n \times 1 y$ $C$ es una matriz columna de enteros de $m$ $\times 1 .$

El cálculo de la forma normal de Smith de $A$ proporciona dos matrices unimodulares (es decir, matrices invertibles sobre los enteros con determinante ±1) $U$ y $V$ de dimensiones respectivas $m \times m$ y $n \times n$ , de tal manera que la matriz $B=[b_{i,j}]=UAV$ es tal que $b i,i$ no es cero para $i$ no mayor que algún entero $k$ , y todas las demás entradas son cero. El sistema a resolver puede reescribirse como $B(V^{-1}X)=UC.$ Llamando $y i a$ las entradas de $V -1 X$ y $d i$ a las de $D = UC$ , esto conduce al sistema ${\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}$

Este sistema es equivalente al dado en el siguiente sentido: Una matriz columna de enteros x $es$ una solución del sistema dado si y solo si $x = Vy$ para alguna matriz columna de enteros $y$ tal que $By = D.$

De ello se deduce que el sistema tiene solución si y solo si $b i,i$ divide $a d i$ para $i \leq k$ y $d i = 0$ para $i > k$ . Si se cumple esta condición, las soluciones del sistema dado son: $V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,$ donde $h k +1, \dots, h n$ son enteros arbitrarios.

La forma normal de Hermite también puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Sin embargo, la forma normal de Hermite no proporciona directamente las soluciones; para obtenerlas, es necesario resolver sucesivamente varias ecuaciones lineales. No obstante, Richard Zippel escribió que la forma normal de Smith «es algo más compleja de lo necesario para resolver ecuaciones diofánticas lineales. En lugar de reducir la ecuación a una forma diagonal, basta con convertirla en triangular, lo que se conoce como la forma normal de Hermite. Esta forma es considerablemente más fácil de calcular que la forma normal de Smith». ^{[ 6 ]}

La programación lineal entera consiste en encontrar soluciones enteras (óptimas en cierto sentido) de sistemas lineales que incluyen inecuaciones . Por lo tanto, los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales son fundamentales en este contexto, y los libros de texto sobre programación entera suelen tratar este tipo de sistemas. ^{[ 7 ]}

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diofántica homogénea es una ecuación diofántica definida por un polinomio homogéneo . Un ejemplo típico de este tipo de ecuación es la ecuación del último teorema de Fermat.

x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.

Así como un polinomio homogéneo en $n$ indeterminadas define una hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión $n - 1$ , resolver una ecuación diofántica homogénea es lo mismo que encontrar los puntos racionales de una hipersuperficie proyectiva.

Resolver una ecuación diofántica homogénea suele ser un problema muy difícil, incluso en el caso no trivial más sencillo de tres indeterminadas (en el caso de dos indeterminadas, el problema equivale a comprobar si un número racional es la $d$ -ésima potencia de otro número racional). Prueba de la dificultad del problema es el Último Teorema de Fermat (para $d > 2$ , no existe una solución entera de la ecuación anterior), cuya solución requirió más de tres siglos de esfuerzo por parte de los matemáticos.

Para grados superiores a tres, la mayoría de los resultados conocidos son teoremas que afirman que no hay soluciones (por ejemplo, el último teorema de Fermat) o que el número de soluciones es finito (por ejemplo, el teorema de Faltings ).

Para el tercer grado, existen métodos de resolución generales que funcionan en casi todas las ecuaciones que se encuentran en la práctica, pero no se conoce ningún algoritmo que funcione para todas las ecuaciones cúbicas. ^{[ 8 ]}

Segundo grado

Las ecuaciones diofánticas homogéneas de segundo grado son más fáciles de resolver. El método de resolución estándar consta de dos pasos. Primero, se debe encontrar una solución o demostrar que no existe ninguna. Una vez encontrada una solución, se deducen todas las demás.

Para demostrar que no hay solución, se puede reducir la ecuación módulo $p$ . Por ejemplo, la ecuación diofántica.

x^{2}+y^{2}=3z^{2},

no tiene otra solución que la solución trivial $(0, 0, 0)$ . De hecho, al dividir $x, y$ y $z$ por su máximo común divisor , se puede suponer que son coprimos . Los cuadrados módulo 4 son congruentes con 0 y 1. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es congruente con 0, 1 o 2, y el lado derecho es congruente con 0 o 3. Así, la igualdad se puede obtener solo si $x, y$ y $z$ son todos pares y, por lo tanto, no son coprimos. Por lo tanto, la única solución es la solución trivial $(0, 0, 0)$ . Esto demuestra que no hay ningún punto racional en un círculo de radio ${\sqrt {3}}$ , centrado en el origen.

En términos más generales, el principio de Hasse permite decidir si una ecuación diofántica homogénea de grado dos tiene una solución entera y calcular una solución si existe.

Si se conoce una solución entera no trivial, se pueden obtener todas las demás soluciones de la siguiente manera.

Interpretación geométrica

Dejar

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

sea una ecuación diofántica homogénea, donde $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ es una forma cuadrática (es decir, un polinomio homogéneo de grado 2), con coeficientes enteros. La solución trivial es la solución donde todos $x_{i}$ son cero. Si $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ es una solución entera no trivial de esta ecuación, entonces $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ son las coordenadas homogéneas de un punto racional de la hipersuperficie definida por $Q.$ Recíprocamente, si ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ son coordenadas homogéneas de un punto racional de esta hipersuperficie, donde $q,p_{1},\ldots ,p_{n}$ son números enteros, entonces $\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$ es una solución entera de la ecuación diofántica. Además, las soluciones enteras que definen un punto racional dado son todas secuencias de la forma

\left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),

donde $k$ es cualquier número entero y $d$ es el máximo común divisor de la matriz. $p_{i}.$

De ello se deduce que resolver la ecuación diofántica $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ se reduce completamente a encontrar los puntos racionales de la hipersuperficie proyectiva correspondiente.

Parametrización

Dejemos que ahora $A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ ser una solución entera de la ecuación $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ Como $Q$ es un polinomio de segundo grado, una recta que pasa por $A$ cruza la hipersuperficie en un único punto, que es racional si y solo si la recta es racional (es decir, si la recta está definida por parámetros racionales). Esto permite parametrizar la hipersuperficie mediante las rectas que pasan por $A$ , y los puntos racionales son aquellos que se obtienen a partir de rectas racionales, es decir, aquellos que corresponden a valores racionales de los parámetros.

Más precisamente, se puede proceder de la siguiente manera.

Al permutar los índices, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que $a_{n}\neq 0.$ Entonces se puede pasar al caso afín considerando la hipersuperficie afín definida por

q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),

lo cual tiene el punto racional

R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).

Si este punto racional es un punto singular , es decir, si todas las derivadas parciales son cero en $R$ , todas las líneas que pasan por $R$ están contenidas en la hipersuperficie, y se tiene un cono . El cambio de variables

y_{i}=x_{i}-r_{i}

No altera los puntos racionales y transforma $q$ en un polinomio homogéneo de $n - 1$ variables. En este caso, el problema puede resolverse aplicando el método a una ecuación con menos variables.

Si el polinomio $q$ es un producto de polinomios lineales (posiblemente con coeficientes no racionales), entonces define dos hiperplanos . La intersección de estos hiperplanos es un plano racional y contiene puntos singulares racionales. Este caso es, por lo tanto, una instancia especial del caso anterior.

En el caso general, consideremos la ecuación paramétrica de una recta que pasa por $R$ :

{\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}

Sustituyendo esto en $q$ , se obtiene un polinomio de grado dos en $x 1$ , que es cero para $x 1 = r 1$ . Por lo tanto, es divisible por $x 1 - r 1$ . El cociente es lineal en $x 1$ , y se puede resolver para expresar $x 1$ como un cociente de dos polinomios de grado como máximo dos en $t_{2},\ldots ,t_{n-1},$ con coeficientes enteros:

x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.

Sustituyendo esto en las expresiones para $x_{2},\ldots ,x_{n-1},$ se obtiene, para $i = 1, \dots, n - 1$ ,

x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},

dónde $f_{1},\ldots ,f_{n}$ son polinomios de grado como máximo dos con coeficientes enteros.

Entonces, se puede volver al caso homogéneo. Sea, para $i = 1, \dots, n$ ,

F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),

ser la homogeneización de $f_{i}.$ Estos polinomios cuadráticos con coeficientes enteros forman una parametrización de la hipersuperficie proyectiva definida por $Q$ :

{\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}

Un punto de la hipersuperficie proyectiva definida por $Q$ es racional si y solo si puede obtenerse a partir de valores racionales de $t_{1},\ldots ,t_{n-1}.$ Como $F_{1},\ldots ,F_{n}$ son polinomios homogéneos, el punto no cambia si todos $los t i$ se multiplican por el mismo número racional. Por lo tanto, se puede suponer que $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ son enteros coprimos . De ello se deduce que las soluciones enteras de la ecuación diofántica son exactamente las secuencias $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ donde, para $i = 1, ..., n$ ,

x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},

donde $k$ es un número entero, $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ son enteros coprimos, y $d$ es el máximo común divisor de los $n$ enteros. $F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).$

Cabría esperar que la coprimalidad de los $t i$ implicara que $d = 1.$ Desafortunadamente, este no es el caso, como se muestra en la siguiente sección.

Ejemplo de ternas pitagóricas

La ecuación

x^{2}+y^{2}-z^{2}=0

Es probablemente la primera ecuación diofántica homogénea de segundo grado que se ha estudiado. Sus soluciones son las ternas pitagóricas . Esta es también la ecuación homogénea del círculo unitario . En esta sección, mostramos cómo el método anterior permite recuperar la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas.

Para recuperar con exactitud la fórmula de Euclides, partimos de la solución $(-1, 0, 1)$ , que corresponde al punto $(-1, 0)$ del círculo unitario. Una recta que pasa por este punto puede parametrizarse por su pendiente:

y=t(x+1).

Sustituyendo esto en la ecuación del círculo

x^{2}+y^{2}-1=0,

uno consigue

x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.

Dividiendo por $x + 1$ , el resultado es

x-1+t^{2}(x+1)=0,

lo cual es fácil de resolver en $x$ :

x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.

A continuación

y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.

Al homogeneizar como se describió anteriormente, se obtienen todas las soluciones como

{\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}

donde $k$ es cualquier número entero, $s$ y $t$ son números enteros coprimos, y $d$ es el máximo común divisor de los tres numeradores. De hecho, $d = 2$ si $s$ y $t$ son ambos impares, y $d = 1$ si uno es impar y el otro par.

Las tripletas primitivas son las soluciones donde $k = 1$ y $s > t > 0$ .

Esta descripción de las soluciones difiere ligeramente de la fórmula de Euclides porque la fórmula de Euclides considera solo las soluciones tales que $x, y$ y $z$ son todos positivos, y no distingue entre dos ternas que difieren por el intercambio de $x$ e $y$ ,

Análisis diofántico

Preguntas típicas

Las preguntas que se plantean en el análisis diofántico incluyen:

¿Existen soluciones?
¿Existen soluciones más allá de las que se pueden encontrar fácilmente mediante la inspección ?
¿Existen soluciones finitas o infinitas?
¿Se pueden encontrar todas las soluciones en la teoría?
¿Es posible calcular en la práctica una lista completa de soluciones?

Estos problemas tradicionales a menudo permanecieron sin resolver durante siglos, y los matemáticos fueron comprendiendo gradualmente su complejidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como simples acertijos.

Rompecabezas típico

La edad del padre, escrita en dígitos AB, es el inverso de la edad del hijo, BA . Además, la edad del padre es 1 menos que el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tienen? Estas condiciones conducen a la ecuación 10 A + B = 2(10 B + A ) – 1, por lo que 19 B – 8 A = 1. Un método general para este tipo de ecuaciones lineales se presenta más arriba, pero una simple inspección nos da A = 7, B = 3, de modo que AB = 73 años y BA = 37 años. Se puede demostrar fácilmente que esta es la única solución donde A y B son dígitos enteros entre 0 y 9.

Muchos acertijos conocidos en matemáticas recreativas conducen a ecuaciones diofánticas, como el problema de la bala de cañón , el problema del ganado de Arquímedes y el mono y los cocos .

siglos XVII y XVIII

En 1637, Pierre de Fermat garabateó en el margen de su ejemplar de Aritmética : «Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias iguales». Dicho en lenguaje más moderno: «La ecuación $a n + b n = c n$ no tiene soluciones para ningún $n$ mayor que 2». A continuación, escribió: «He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener». Sin embargo, dicha demostración eludió a los matemáticos durante siglos, y por ello su afirmación se hizo famosa como el Último Teorema de Fermat . No fue hasta 1995 que el matemático británico Andrew Wiles la demostró .

En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica $61 x² + 1 = y² ($ resuelta por Brahmagupta más de 1000 años antes). Euler finalmente la resolvió $a$ principios del siglo XVIII, y también resolvió otras ecuaciones diofánticas. La solución más pequeña de esta ecuación en enteros positivos es $x = 226153980$ , $y = 1766319049$ (véase el método de Chakravala ).

El décimo problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propuso la resolubilidad de todas las ecuaciones diofánticas como el décimo de sus problemas fundamentales . En 1970, Yuri Matiyasevich lo resolvió negativamente, basándose en el trabajo de Julia Robinson , Martin Davis y Hilary Putnam para demostrar que no puede existir un algoritmo general para resolver todas las ecuaciones diofánticas .

Geometría diofántica

La geometría diofántica es la aplicación de técnicas de la geometría algebraica que considera ecuaciones que también tienen un significado geométrico. La idea central de la geometría diofántica es la de un punto racional , es decir, una solución a una ecuación polinómica o a un sistema de ecuaciones polinómicas , que es un vector en un cuerpo $K$ prescrito , cuando $K$ no es algebraicamente cerrado .

Investigación moderna

El método general más antiguo para resolver una ecuación diofántica —o para demostrar que no tiene solución— es el método del descenso infinito , introducido por Pierre de Fermat . Otro método general es el principio de Hasse , que utiliza aritmética modular módulo todos los números primos para hallar las soluciones. A pesar de las numerosas mejoras, estos métodos no pueden resolver la mayoría de las ecuaciones diofánticas.

La dificultad de resolver ecuaciones diofánticas queda ilustrada por el décimo problema de Hilbert , planteado en 1900 por David Hilbert ; consistía en encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. El teorema de Matiyasevich implica que tal algoritmo no puede existir.

Durante el siglo XX se exploró en profundidad un nuevo enfoque que consistía en utilizar la geometría algebraica . De hecho, una ecuación diofántica puede considerarse como la ecuación de una hipersuperficie , y las soluciones de la ecuación son los puntos de la hipersuperficie que tienen coordenadas enteras.

Este enfoque condujo finalmente a la demostración, por parte de Andrew Wiles en 1994, del Último Teorema de Fermat , enunciado sin demostración alrededor de 1637. Esto ilustra una vez más la dificultad de resolver ecuaciones diofánticas.

Infinitas ecuaciones diofánticas

Un ejemplo de ecuación diofántica infinita es: $n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,$ que se puede expresar como "¿De cuántas maneras se puede escribir un entero $n dado como la suma de un cuadrado más el doble de un cuadrado más el triple de un cuadrado, y así sucesivamente?" El número de maneras en que esto se puede hacer para cada$ $n$ forma una secuencia de enteros. Las ecuaciones diofánticas infinitas están relacionadas con las funciones theta y las redes de dimensión infinita. Esta ecuación siempre tiene una solución para cualquier $n$ positivo . ^{[ 9 ]} Compárese con: $n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,$ lo cual no siempre tiene una solución para $n$ positivo .

Ecuaciones diofánticas exponenciales

Si una ecuación diofántica tiene como variable o variables adicionales que aparecen como exponentes , es una ecuación diofántica exponencial. Algunos ejemplos son:

la ecuación de Ramanujan-Nagell , $2 n - 7 = x 2$
la ecuación de la conjetura de Fermat-Catalán y la conjetura de Beal , $a m + b n = c k$ con restricciones de desigualdad en los exponentes
la ecuación de Erdős-Moser , $1 k + 2 k + \dots + (m - 1) k = m k$

No existe una teoría general para este tipo de ecuaciones; se han abordado casos particulares como la conjetura de Catalan y el último teorema de Fermat . Sin embargo, la mayoría se resuelven mediante métodos ad hoc, como el teorema de Størmer , o incluso por ensayo y error .

Véase también

Kuṭṭaka , algoritmo de Aryabhata para resolver ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas.
La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge sobre soluciones enteras de ecuaciones que contienen sumas de potencias iguales

Notas

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Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

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