Reducción al absurdo

En lógica , la reductio ad absurdum ( en latín , «reducción al absurdo»), también conocida como argumentum ad absurdum ( en latín , «argumento al absurdo»), argumento apagogical o prueba por contradicción , es la forma de argumento que intenta establecer una afirmación mostrando que seguir la lógica de una proposición o argumento contrario conduciría al absurdo o la contradicción . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Aunque se usa con bastante frecuencia en las demostraciones matemáticas , no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan este tipo de prueba no constructiva . ^{[ 5 ]}

Esta forma de argumentación se remonta a la filosofía griega antigua y se ha utilizado a lo largo de la historia tanto en el razonamiento matemático formal como en el filosófico, así como en el debate. En matemáticas, la técnica se denomina demostración por contradicción. En lógica formal, esta técnica se recoge en una regla de inferencia para la reducción al absurdo .

En términos más generales, la prueba por contradicción es cualquier forma de argumento que establece una afirmación al llegar a una contradicción, incluso cuando la suposición inicial no es la negación de la afirmación que se pretende probar. En este sentido general, la prueba por contradicción también se conoce como prueba indirecta , prueba por suposición del opuesto [ ^{6 ]} y reducción a lo ^{imposible [ 7 ]} .

GH Hardy describió la demostración por contradicción como "una de las mejores armas de un matemático", diciendo: "Es una jugada mucho más ingeniosa que cualquier jugada de ajedrez : un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o incluso una pieza , pero un matemático ofrece la partida". ^{[ 8 ]}

La conclusión "absurda" de un argumento de reducción al absurdo puede adoptar diversas formas, como se puede observar en los siguientes ejemplos de refutación por contradicción:

• La Tierra no puede ser plana ; de lo contrario, dado que se supone que la Tierra tiene una extensión finita, encontraríamos personas que se caerían por el borde.
• No existe un número racional positivo más pequeño ; si${\displaystyle q}$Si fueran los racionales positivos más pequeños, entonces${\displaystyle q/2}$⁠ sería un número racional positivo que es menor que ⁠${\displaystyle q}$porque es igual a la mitad de${\displaystyle q}$⁠ , y tampoco sería más pequeño que ⁠${\displaystyle q}$porque​​${\displaystyle q}$Se supone que es el racional positivo más pequeño.

El primer ejemplo argumenta que la negación de la premisa daría como resultado una conclusión ridícula, en contra de la evidencia de nuestros sentidos ( evidencia empírica ). ^{[ 9 ]} El segundo ejemplo es una prueba matemática por contradicción (también conocida como prueba indirecta ^{[ 10 ]} ), que argumenta que la negación de la premisa daría como resultado una contradicción lógica ( ⁠${\displaystyle q/2}$⁠ es a la vez más pequeño y no más pequeño que ⁠${\displaystyle q}$⁠ ). ^{[ 11 ]}

Una demostración matemática que emplea la demostración por contradicción generalmente procede de la siguiente manera:

1. La proposición que se debe demostrar es P.
2. Suponemos que P es falso, es decir, suponemos ¬P .
3. Luego se demuestra que ¬P implica falsedad. Esto se logra típicamente derivando dos afirmaciones mutuamente contradictorias, Q y ¬Q , y apelando a la ley de no contradicción .
4. Dado que asumir que P es falso conduce a una contradicción, se concluye que P es, de hecho, verdadero.

Un caso especial importante es la prueba de existencia por contradicción: para demostrar que existe un objeto con una propiedad dada, derivamos una contradicción del supuesto de que todos los objetos satisfacen la negación de dicha propiedad.

La reducción al absurdo se utilizó en toda la filosofía griega . El primer ejemplo de un argumento de reducción al absurdo se encuentra en un poema satírico atribuido a Jenófanes de Colofón (c. 570 – c. 475 a. C. ). ^{[ 12 ]} Criticando la atribución de defectos humanos a los dioses por parte de Homero , Jenófanes afirma que los humanos también creen que los cuerpos de los dioses tienen forma humana. Pero si los caballos y los bueyes pudieran dibujar, dibujarían a los dioses con cuerpos de caballo y buey. ^{[ 13 ]} Los dioses no pueden tener ambas formas, por lo que esto es una contradicción. Por lo tanto, la atribución de otras características humanas a los dioses, como los defectos humanos, también es falsa.

Los matemáticos griegos demostraron proposiciones fundamentales mediante la reducción al absurdo . Euclides de Alejandría (mediados del siglo IV - mediados del siglo III a. C.) y Arquímedes de Siracusa (c. 287 - c. 212 a. C.) son dos ejemplos muy tempranos. ^{[ 14 ]}

Los primeros diálogos de Platón (424-348 a. C.), que relatan los discursos de Sócrates , elevaron el uso de los argumentos de reducción al método dialéctico formal ( elenchus ), también llamado método socrático . ^{[ 15 ]} Típicamente, el oponente de Sócrates hacía una afirmación aparentemente inocua. En respuesta, Sócrates, mediante un razonamiento paso a paso, incorporando otros supuestos previos, hacía que la persona admitiera que la afirmación conducía a una conclusión absurda o contradictoria, obligándola a abandonar su afirmación y adoptar una posición de aporía . ^{[ 10 ]}

La refutación electiva se basa en una tesis dicotómica , que puede dividirse en dos partes mutuamente excluyentes , de las cuales solo una puede ser verdadera. Sócrates procede entonces a demostrar lo contrario de la parte comúnmente aceptada, utilizando el principio de no contradicción. Según Gregorio Vlastos, ^{[ 16 ]} el método consta de los siguientes pasos:

1. El interlocutor de Sócrates expone una tesis, por ejemplo, "El coraje es la resistencia del alma", que Sócrates considera falsa y objeto de refutación.
2. Sócrates consigue que su interlocutor esté de acuerdo con otras premisas, por ejemplo: "El coraje es algo bueno" y "La resistencia ignorante no es algo bueno".
3. Sócrates argumenta entonces, y el interlocutor está de acuerdo, que estas premisas adicionales implican lo contrario de la tesis original, en este caso, conduce a: "el coraje no es resistencia del alma".
4. Sócrates afirma entonces haber demostrado que la tesis de su interlocutor es falsa y que su negación es verdadera.

La técnica también fue un foco de la obra de Aristóteles (384-322 a. C.), particularmente en sus Análisis previos, donde se refirió a ella como demostración de lo imposible ( griego antiguo : ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις , iluminado. ' demostración de lo imposible ' , 62b). ^{[ 4 ]}

Otro ejemplo de esta técnica se encuentra en la paradoja de Sorites , donde se argumentó que si 1.000.000 de granos de arena formaban un montón, y al quitar un grano de un montón este seguía siendo un montón, entonces un solo grano de arena (o incluso ningún grano) forma un montón. ^{[ 17 ]}

Gran parte de la filosofía budista Madhyamaka se centra en demostrar cómo diversas ideas esencialistas llegan a conclusiones absurdas mediante argumentos de reducción al absurdo (conocidos como prasaṅga , "consecuencia" en sánscrito). En el Mūlamadhyamakakārikā , los argumentos de reducción al absurdo de Nāgārjuna se utilizan para demostrar que cualquier teoría de la sustancia o esencia era insostenible y, por lo tanto, los fenómenos ( dharmas ) como el cambio, la causalidad y la percepción sensorial carecían ( sunya ) de existencia esencial. El objetivo principal de Nāgārjuna suele considerarse, por parte de los estudiosos, como la refutación del esencialismo de ciertas escuelas budistas Abhidharma (principalmente Vaibhasika ), que postulaban teorías de svabhava (naturaleza esencial), y también de las escuelas hindúes Nyāya y Vaiśeṣika , que postulaban una teoría de sustancias ontológicas ( dravyatas ). ^{[ 18 ]}

En 13:5, Nagarjuna desea demostrar las consecuencias de la presunción de que las cosas existen de forma esencial o inherente, señalando que si un "hombre joven" existe en sí mismo, entonces no puede envejecer (porque dejaría de ser un "hombre joven"). Al intentar separar al hombre de sus características (juventud), descubrimos que todo está sujeto a cambios momentáneos, y nos quedamos con nada más allá de la mera convención arbitraria de la que dependen entidades como "hombre joven".

Una cosa en sí misma no cambia.

Algo diferente no cambia.

Porque un hombre joven no envejece.

Y porque un anciano tampoco envejece. ^{[ 19 ]}

Los filósofos contemporáneos también han utilizado el argumento de la reducción al absurdo en sus respectivas obras académicas. Entre ellas se incluyen:

• Lewis White Beck - en una crítica de la filosofía del mecanicismo . ( El actor y el espectador , 1974) ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}
• Robert L. Holmes - en su crítica de la teoría de la disuasión basada en la presunción prima facie deontológica contra el asesinato de vidas inocentes y la irracionalidad de cualquier confianza en un sistema de prevención de la guerra que se basa exclusivamente en la amenaza de librar la guerra. ( Sobre la guerra y la moral , 1989) ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}

Aristóteles aclaró la conexión entre contradicción y falsedad en su principio de no contradicción , que establece que una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Es decir, una proposición${\displaystyle Q}$y su negación${\displaystyle \lnot Q}$(no- Q ) no pueden ser ambas verdaderas. Por lo tanto, si una premisa implica tanto una proposición como su negación, la premisa es falsa. Esta técnica es la forma más común de llegar a una contradicción en los argumentos matemáticos.

El principio puede expresarse formalmente como la fórmula proposicional ¬¬ P ⇒ P , equivalentemente (¬ P ⇒ ⊥) ⇒ P , que se lee: "Si asumir que P es falso implica falsedad, entonces P es verdadero".

En la deducción natural, el principio adopta la forma de la regla de inferencia.

${\displaystyle {\cfrac {\vdash \lnot \lnot P}{\vdash P}}}$

que dice: "Si${\displaystyle \lnot \lnot P}$Se demuestra, entonces${\displaystyle P}$puede concluirse."

En el cálculo de secuencias el principio se expresa mediante la secuencia

${\displaystyle \Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }$

que dice: "Hipótesis${\displaystyle \Gamma }$y${\displaystyle \lnot \lnot P}$implican la conclusión${\displaystyle P}$o${\displaystyle \Delta }$"

En lógica clásica, el principio puede justificarse mediante el examen de la tabla de verdad de la proposición ¬¬P ⇒ P , que demuestra que es una tautología :

Otra forma de justificar el principio es derivarlo de la ley del tercero excluido , como sigue. Suponemos que ¬¬P y buscamos probar P. Según la ley del tercero excluido , P se cumple o no se cumple:

1. Si P se cumple, entonces por supuesto P se cumple.
2. Si ¬P es verdadera, entonces derivamos la falsedad aplicando la ley de no contradicción a ¬P y ¬¬P , después de lo cual el principio de explosión nos permite concluir P.

En cualquier caso, establecimos P. Resulta que, a la inversa, la demostración por contradicción puede usarse para derivar la ley del tercero excluido.

En el cálculo de secuentes clásico, la demostración de LK por contradicción se puede derivar de las reglas de inferencia para la negación:

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\ }{\Gamma ,P\vdash P,\Delta }}\;(I)}{\Gamma ,\vdash \lnot P,P,\Delta }}\;({\lnot }R)}{\Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }}\;({\lnot }L)}$

En la lógica intuicionista, la demostración por contradicción no es generalmente válida, aunque se pueden derivar algunos casos particulares. En cambio, la demostración de la negación y el principio de no contradicción son ambos intuicionistamente válidos. ^{[ 33 ]}

La interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov de la demostración por contradicción da la siguiente condición de validez intuicionista: si no hay un método para establecer que una proposición es falsa, entonces hay un método para establecer que la proposición es verdadera.

Si entendemos "método" como algoritmo , entonces la condición no es aceptable, ya que nos permitiría resolver el problema de la parada . Para ver cómo, consideremos la proposición H(M) que dice " La máquina de Turing M se detiene o no se detiene". Su negación ¬H(M) dice que " M ni se detiene ni no se detiene", lo cual es falso según la ley de no contradicción (que es intuicionistamente válida). Si la prueba por contradicción fuera intuicionistamente válida, obtendríamos un algoritmo para decidir si una máquina de Turing M arbitraria se detiene, violando así la prueba (intuicionistamente válida) de la no resolubilidad del problema de la parada .

Una proposición P que satisface${\displaystyle \lnot \lnot P\Rightarrow P}$se conoce como una proposición ¬¬-estable . Por lo tanto, en la lógica intuicionista la demostración por contradicción no es universalmente válida, sino que solo puede aplicarse a las proposiciones ¬¬-estables. Una instancia de tal proposición es una decidible, es decir, que satisface${\displaystyle P\lor \lnot P}$. De hecho, la prueba anterior de que la ley del tercero excluido implica una prueba por contradicción puede reutilizarse para demostrar que una proposición decidible es ¬¬-estable. Un ejemplo típico de una proposición decidible es una afirmación que puede verificarse mediante un cálculo directo, como "${\displaystyle n}$es primo" o "${\displaystyle a}$divide${\displaystyle b}$".

Los siguientes ejemplos se conocen comúnmente como pruebas por contradicción, pero formalmente emplean la refutación por contradicción (y, por lo tanto, son intuicionistamente válidos). ^{[ 38 ]}

Las pruebas por contradicción a veces terminan con la palabra "¡Contradicción!". Isaac Barrow y Baermann usaron la notación QEA, por " quod est absurdum " ("lo cual es absurdo"), en la línea de QED , pero esta notación rara vez se usa hoy en día. ^{[ 43 ]} Un símbolo gráfico que a veces se usa para las contradicciones es un símbolo de flecha en zigzag hacia abajo, un "rayo" (U+21AF: ↯), por ejemplo en Davey y Priestley . ^{[ 44 ]} Otros símbolos que a veces se usan incluyen un par de flechas opuestas (como${\displaystyle \rightarrow \!\leftarrow }$o${\displaystyle \Rightarrow \!\Leftarrow }$), flechas tachadas (${\displaystyle \nleftrightarrow }$), una forma estilizada de hash (como U+2A33: ⨳), o la "marca de referencia" (U+203B: ※), o${\displaystyle \times \!\!\!\!\times }$. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

En la demostración automática de teoremas, el método de resolución se basa en la prueba por contradicción. Es decir, para demostrar que una proposición dada se deduce de hipótesis dadas, el demostrador automático asume las hipótesis y la negación de la proposición, e intenta derivar una contradicción. ^{[ 47 ]}

• Hyde, Dominic; Raffman, Diana (2018). "Paradoja de Sorites" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford (  edición de verano de 2018). ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• Garfield, Jay L. (1995), La sabiduría fundamental del camino medio , Oxford: Oxford University Press
• Pasti, Mary. Reductio Ad Absurdum: Un ejercicio para el estudio del cambio demográfico. Estados Unidos, Universidad de Cornell, enero de 1977.
• Daigle, Robert W. El argumento de la reducción al absurdo anterior a Aristóteles. [Sin lugar de publicación], Universidad Estatal de San José, 1991.

• La definición de per impossibile en el diccionario de Wikcionario
• Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Reductio ad absurdum" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .