Inducción parabólica

En matemáticas , la inducción parabólica es un método para construir representaciones de un grupo reductivo a partir de representaciones de sus subgrupos parabólicos .

Si G es un grupo algebraico reductivo y${\displaystyle P=MAN}$es la descomposición de Langlands de un subgrupo parabólico P , entonces la inducción parabólica consiste en tomar una representación de${\displaystyle MA}$, extendiéndolo a P al dejar que N actúe trivialmente, e induciendo el resultado de P a G.

Existen algunas generalizaciones de la inducción parabólica que utilizan la cohomología , como la inducción parabólica cohomológica y la teoría de Deligne-Lusztig .

La filosofía de las formas cúspides fue un lema de Harish-Chandra , que expresaba su idea de una especie de ingeniería inversa de la teoría de las formas automórficas , desde el punto de vista de la teoría de la representación . ^{[ 1 ]} El grupo discreto Γ fundamental para la teoría clásica desaparece, superficialmente. Lo que queda es la idea básica de que las representaciones en general se construyen mediante inducción parabólica de representaciones cúspides . ^{[ 2 ]} Una filosofía similar fue enunciada por Israel Gelfand , ^{[ 3 ]} y la filosofía es precursora del programa de Langlands . Una consecuencia para pensar en la teoría de la representación es que las representaciones cúspides son la clase fundamental de objetos, a partir de los cuales se pueden construir otras representaciones mediante procedimientos de inducción.

Según Nolan Wallach ^{[ 4 ]}

En términos sencillos, la "filosofía de las formas cúspide" afirma que para cada clase de conjugación Γ de subgrupos parabólicos Q-racionales se deben construir funciones automorfas (a partir de objetos de espacios de dimensiones inferiores) cuyos términos constantes sean cero para otras clases de conjugación y cuyos términos constantes para un elemento de la clase dada proporcionen todos los términos constantes para este subgrupo parabólico. Esto es casi posible y conduce a una descripción de todas las formas automorfas en términos de estas construcciones y formas cúspide. La construcción que realiza esto es la serie de Eisenstein .

• AW Knapp, Teoría de la representación de grupos semisimples: una visión general basada en ejemplos , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, 2001. ISBN 0-691-09089-0.
• Bump, Daniel (2004), Grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  225, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3