Conjunto inductivo

Bourbaki también define un conjunto inductivo como un conjunto parcialmente ordenado que satisface la hipótesis del lema de Zorn cuando no es vacío.

En la teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto inductivo de números reales (o más generalmente, un subconjunto inductivo de un espacio polaco ) es aquel que puede definirse como el punto fijo más pequeño de una operación monótona definible por una fórmula Σ ¹ _n positiva , para algún número natural n , junto con un parámetro real.

Los conjuntos inductivos forman una clase puntual en negrita ; es decir, son cerrados bajo preimágenes continuas . En la jerarquía de Wadge , se encuentran por encima de los conjuntos proyectivos y por debajo de los conjuntos en L(R) . Suponiendo suficiente determinabilidad , la clase de conjuntos inductivos tiene la propiedad de escala y, por lo tanto, la propiedad de preordenamiento .

El término puede tener varios significados diferentes: ^{[ 1 ]}

• Según la definición de Russell, un conjunto inductivo es un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada elemento tiene un sucesor. Un ejemplo es el conjunto de los números naturales N, donde 0 es el primer elemento y los demás se obtienen añadiendo 1 sucesivamente. ^{[ 2 ]}
• Roitman considera la misma construcción de una forma más concreta: los elementos son conjuntos, el conjunto vacío${\displaystyle \emptyset }$entre ellos, y el sucesor de cada elemento${\displaystyle y}$es el conjunto${\displaystyle y\cup \{y\}}$. En particular, todo conjunto inductivo contiene la secuencia${\displaystyle \emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\dots }$. ^{[ 3 ]}
• Para muchos otros autores (por ejemplo, Bourbaki ), un conjunto inductivo es un conjunto parcialmente ordenado en el que cada subconjunto totalmente ordenado tiene una cota superior, es decir, es un conjunto que cumple la condición del lema de Zorn. ^{[ 4 ]}