Cardenal inefable

En las matemáticas de los números transfinitos , un cardinal inefable es un cierto tipo de número cardinal grande , introducido por Jensen y Kunen (1969) . En las siguientes definiciones,${\displaystyle \kappa }$siempre será un número cardinal regular no contable .

Un número cardinal${\displaystyle \kappa }$se llama casi inefable si para cada${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$(dónde${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa)}$es el conjunto potencia de${\displaystyle \kappa }$) con la propiedad de que${\displaystyle f(\delta )}$es un subconjunto de${\displaystyle \delta }$para todos los ordinales${\displaystyle \delta <\kappa}$, hay un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle \kappa }$tener cardinalidad${\displaystyle \kappa }$y homogéneo para${\displaystyle f,}$en el sentido de que para cualquier${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$en${\displaystyle S}$,${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$.

Un número cardinal${\displaystyle \kappa }$se llama inefable si para cada función de valor binario${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, existe un subconjunto estacionario de${\displaystyle \kappa }$en el cual${\displaystyle f}$es homogéneo : es decir, o${\displaystyle f}$asigna a cero todos los pares no ordenados de elementos extraídos de ese subconjunto, o asigna a uno todos esos pares no ordenados. Una formulación equivalente es que un cardinal${\displaystyle \kappa }$es inefable si para cada secuencia${\displaystyle \langle A_{\alpha}:\alpha \in \kappa \rangle }$de tal manera que cada${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$, hay${\displaystyle A\subseteq \kappa }$de tal manera que${\displaystyle \{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$es estacionario en κ .

Otra formulación equivalente es que un cardinal regular no contable${\displaystyle \kappa }$es inefable si para cada conjunto${\displaystyle S}$de cardinalidad${\displaystyle \kappa }$de subconjuntos de${\displaystyle \kappa }$, existe una normal (es decir, cerrada bajo intersección diagonal ) no trivial${\displaystyle \kappa }$-filtro completo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle \kappa }$decidir${\displaystyle S}$: es decir, para cualquier${\displaystyle X\in S}$, cualquiera${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$o${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$. ^{[ 1 ]} Esto es similar a una caracterización de cardinales débilmente compactos .

En términos más generales,${\displaystyle \kappa }$se llama${\displaystyle n}$-inefable (para un entero positivo)${\displaystyle n}$) si para cada${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$existe un subconjunto estacionario de${\displaystyle \kappa }$en el cual${\displaystyle f}$es homogéneo (toma el mismo valor para todos los no ordenados)${\displaystyle n}$-tuplas extraídas del subconjunto). Por lo tanto, es inefable si y solo si es 2-inefable. La inefabilidad es estrictamente más débil que la 3-inefabilidad. ^{[ 2 ] pág. 399}

Un cardenal totalmente inefable es un cardenal que es${\displaystyle n}$-inefable para cada${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$. Si${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle (n+1)}$-inefable, entonces el conjunto de${\displaystyle n}$-cardenales inefables abajo${\displaystyle \kappa }$es un subconjunto estacionario de${\displaystyle \kappa }$.

Cada${\displaystyle n}$-el cardinal inefable es${\displaystyle n}$-casi inefable (con un conjunto de${\displaystyle n}$-casi inefable debajo de él estacionario), y cada${\displaystyle n}$-casi inefable es${\displaystyle n}$- sutil (con un conjunto de${\displaystyle n}$-sutil debajo de él estacionario). El menos${\displaystyle n}$-el cardinal sutil ni siquiera es débilmente compacto (y a diferencia de los cardinales inefables, el menos${\displaystyle n}$-casi inefable es${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$- descriptible ), pero${\displaystyle (n-1)}$-los cardenales inefables son estacionarios debajo de cada${\displaystyle n}$-Cardenal sutil.

Un cardinal κ es completamente inefable si existe un conjunto no vacío.${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa)}$de tal manera que - cada${\displaystyle A\in R}$es estacionario - para cada${\displaystyle A\in R}$y${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, hay${\displaystyle B\subsetae}$homogéneo para f con${\displaystyle B\in R}$.

Utilizando cualquier finito${\displaystyle n}$ >  1 en lugar de 2 llevaría a la misma definición, por lo que los cardinales completamente inefables son totalmente inefables (y tienen mayor fuerza de consistencia ). Los cardinales completamente inefables son${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptible para cada n , pero la propiedad de ser completamente inefable es${\displaystyle \Delta _ {1}^{2}}$.

La fuerza de consistencia de los cardinales completamente inefables es inferior a la de los cardinales iterables 1 , que a su vez es inferior a la de los cardinales notables , que a su vez es inferior a la de los cardinales ω-Erdős . En la sección siguiente se incluye una lista de axiomas de cardinales grandes ordenados por fuerza de consistencia.

• Lista de grandes propiedades cardinales

• Friedman, Harvey (2001), "Cardinales sutiles y ordenamientos lineales", Annals of Pure and Applied Logic , 107 ( 1–3 ): 1–34 , doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1.
• Jensen, Ronald ; Kunen, Kenneth (1969), Algunas propiedades combinatorias de L y V , Manuscrito inédito