Juego de papelería

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos y teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que interseca a todos los conjuntos de club y es análogo a un conjunto de medida no nula en la teoría de la medida . Existen al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si se consideran subconjuntos de un ordinal , subconjuntos de algo de cardinalidad dada o un conjunto potencia .

Si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal de cofinalidad incontable ,${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$y${\displaystyle S}$se cruza con todos los clubes establecidos en${\displaystyle \kappa ,}$entonces${\displaystyle S}$se llama conjunto estacionario . ^{[ 1 ]} Si un conjunto no es estacionario, entonces se llama conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de conjunto delgado en teoría de números .

Si${\displaystyle S}$es un conjunto estacionario y${\displaystyle C}$es un conjunto de club, luego su intersección${\displaystyle S\cap C}$también es estacionario. Esto se debe a que si${\displaystyle D}$¿Hay algún club establecido?${\displaystyle C\cap D}$es un conjunto de club, por lo tanto${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$no es vacío. Por lo tanto,${\displaystyle (S\cap C)}$debe permanecer inmóvil.

Véase también : Lema de Fodor

La restricción a la cofinalidad no numerable es para evitar trivialidades: Supongamos${\displaystyle \kappa }$tiene cofinalidad contable. Entonces${\displaystyle S\subseteq \kappa }$está estacionario en${\displaystyle \kappa }$si y solo si${\displaystyle \kappa \setminus S}$está delimitado en${\displaystyle \kappa }$. En particular, si la cofinalidad de${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \omega =\aleph _ {0}}$, entonces cualesquiera dos subconjuntos estacionarios de${\displaystyle \kappa }$tienen intersección estacionaria.

Esto ya no es así si la cofinalidad de${\displaystyle \kappa }$es incontable. De hecho, supongamos que${\displaystyle \kappa }$es además regular y${\displaystyle S\subseteq \kappa }$está estacionario. Entonces${\displaystyle S}$se puede dividir en${\displaystyle \kappa }$muchos conjuntos estacionarios disjuntos. Este resultado se debe a Solovay . Si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se demuestra fácilmente mediante lo que se denomina una matriz de Ulam .

H. Friedman ha demostrado que para cada sucesor contable ordinal${\displaystyle \beta }$, cada subconjunto estacionario de${\displaystyle \omega _{1}}$contiene un subconjunto cerrado del tipo de orden${\displaystyle \beta }$.

También existe la noción de subconjunto estacionario de${\displaystyle [X]^{\lambda }}$, para${\displaystyle \lambda }$un cardenal y${\displaystyle X}$un conjunto tal que${\displaystyle |X|\geq \lambda }$, dónde${\displaystyle [X]^{\lambda }}$es el conjunto de subconjuntos de${\displaystyle X}$de cardinalidad${\displaystyle \lambda }$:${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$Esta idea se debe a Thomas Jech . Como antes,${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$es estacionario si y solo si cumple con todos los clubes, donde un subconjunto de clubes${\displaystyle [X]^{\lambda }}$es un conjunto no acotado bajo${\displaystyle \subseteq }$y cerrada bajo la unión de cadenas de longitud como máximo${\displaystyle \lambda }$Estas nociones son en general diferentes, aunque para${\displaystyle X=\omega _{1}}$y${\displaystyle \lambda =\aleph _ {0}}$coinciden en el sentido de que${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$es estacionario si y solo si${\displaystyle S\cap \omega _ {1}}$está estacionario en${\displaystyle \omega _{1}}$.

La versión apropiada del lema de Fodor también es válida para esta noción.

Existe una tercera noción, de naturaleza teórica de modelos y a la que a veces se denomina estacionariedad generalizada . Esta noción probablemente se deba a Magidor , Foreman y Shelah , y también ha sido utilizada prominentemente por Woodin .

Ahora dejemos${\displaystyle X}$ser un conjunto no vacío. Un conjunto${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es club (cerrado e ilimitado) si y solo si existe una función${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$de tal manera que${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$. Aquí,${\displaystyle [y]^{<\omega }}$es la colección de subconjuntos finitos de${\displaystyle y}$.

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$está estacionario en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$si y solo si cumple con todos los subconjuntos del club${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

Para ver la conexión con la teoría de modelos, observe que si${\displaystyle M}$es una estructura con universo${\displaystyle X}$en un lenguaje contable y${\displaystyle F}$es una función de Skolem para${\displaystyle M}$, luego un estacionario${\displaystyle S}$debe contener una subestructura elemental de${\displaystyle M}$. De hecho,${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es estacionario si y solo si para cualquier estructura de este tipo${\displaystyle M}$existe una subestructura elemental de${\displaystyle M}$que pertenece a${\displaystyle S}$.

• "Juego de papelería" . PlanetMath .