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Helmholtz equation

In mathematics , the Helmholtz equation is the eigenvalue problem for the Laplace operator . It corresponds to the elliptic partial differential equation : ∇ 2 f = − k 2 f , {\d...

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In mathematics, the Helmholtz equation is the eigenvalue problem for the Laplace operator. It corresponds to the elliptic partial differential equation: ∇2f=−k2f,{\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,} where ∇2 is the Laplace operator, –k2 is the eigenvalue, and f is the (eigen)function. When the equation is applied to waves, k is known as the wave number. The Helmholtz equation has a variety of applications in physics and other sciences, including the wave equation, the diffusion equation, and the Schrödinger equation for a free particle.

In optics, the Helmholtz equation is the wave equation for the electric field.[1]

The equation is named after Hermann von Helmholtz, who studied it in 1860.[2]

Motivation and uses

The Helmholtz equation often arises in the study of physical problems involving partial differential equations (PDEs) in both space and time. The Helmholtz equation, which represents a time-independent form of the wave equation, results from applying the technique of separation of variables to reduce the complexity of the analysis.

For example, consider the wave equation (∇2−1c2∂2∂t2)u(r,t)=0.{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}

Separation of variables begins by assuming that the wave function u(r, t) is in fact separable: u(r,t)=A(r)T(t).{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}

Substituting this form into the wave equation and then simplifying, we obtain the following equation: ∇2AA=1c2Td2Tdt2.{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}

Notice that the expression on the left side depends only on r, whereas the right expression depends only on t. As a result, this equation is valid in the general case if and only if both sides of the equation are equal to the same constant value. This argument is key in the technique of solving linear partial differential equations by separation of variables. From this observation, we obtain two equations, one for A(r), the other for T(t):∇2AA=−k2{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}1c2Td2Tdt2=−k2,{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}

where we have chosen, without loss of generality, the expression −k2 for the value of the constant. (It is equally valid to use any constant k as the separation constant; −k2 is chosen only for convenience in the resulting solutions.)

Reordenando la primera ecuación, obtenemos la ecuación de Helmholtz (homogénea): ∇2A+k2A=(∇2+k2)A=0.{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}

Asimismo, tras realizar la sustitución ω = kc , donde k es el número de onda y ω es la frecuencia angular (suponiendo un campo monocromático), la segunda ecuación se convierte en:

d2Tdt2+ω2T=(d2dt2+ω2)T=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}

Ahora tenemos la ecuación de Helmholtz para la variable espacial r y una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en el tiempo. La solución en el tiempo será una combinación lineal de funciones seno y coseno , cuya forma exacta viene determinada por las condiciones iniciales, mientras que la forma de la solución en el espacio dependerá de las condiciones de contorno . Alternativamente, se suelen utilizar transformadas integrales , como la transformada de Laplace o la de Fourier , para transformar una EDP hiperbólica en una forma de la ecuación de Helmholtz. [ 3 ]

Debido a su relación con la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz surge en problemas de áreas de la física como el estudio de la radiación electromagnética , la sismología y la acústica .

Resolución de la ecuación de Helmholtz mediante separación de variables.

La solución a la ecuación espacial de Helmholtz: ∇2A=−k2A{\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A} se puede obtener para geometrías simples usando separación de variables .

Membrana vibratoria

El análogo bidimensional de la cuerda vibrante es la membrana vibrante, cuyos bordes permanecen fijos. La ecuación de Helmholtz se resolvió para muchas formas básicas en el siglo XIX: la membrana rectangular por Siméon Denis Poisson en 1829, el triángulo equilátero por Gabriel Lamé en 1852 y la membrana circular por Alfred Clebsch en 1862. El parche elíptico del tambor fue estudiado por Émile Mathieu , lo que condujo a la ecuación diferencial de Mathieu .

Si los bordes de una figura son segmentos de línea recta, entonces una solución es integrable o se puede conocer en forma cerrada solo si se puede expresar como una combinación lineal finita de ondas planas que satisfacen las condiciones de contorno (cero en el contorno, es decir, membrana fija).

Si el dominio es un círculo de radio a , entonces es apropiado introducir coordenadas polares r y θ . La ecuación de Helmholtz toma la forma ∂2A∂r2+1r∂A∂r+1r2∂2A∂θ2+k2A=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial \theta ^{2}}}+k^{2}A=0\,.}

Podemos imponer la condición de contorno de que A se anula si r = a ; por lo tanto A(a,θ)=0.{\displaystyle A(a,\theta )=0\,.}

El método de separación de variables conduce a soluciones de prueba de la forma A(r,θ)=R(r)Θ(θ),{\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\,\Theta (\theta )\,,} donde Θ debe ser periódica con un período de 2π . Esto conduce a

Θ″+norte2Θ=0,{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}r2R″+rR′+r2k2R−norte2R=0;{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}Rn^{2}R=0;} dóndedR(r)dr≡R′(r),{\textstyle {\frac {dR(r)}{dr}}\equiv R'(r)\,,}ydΘ(θ)dθ≡Θ′(θ),{\textstyle {\frac {d\Theta (\theta )}{d\theta }}\equiv \Theta '(\theta )\,,}y así sucesivamente también son notaciones equivalentes.

De la condición de periodicidad se deduce que Θ=αporque⁡(norteθ)+βpecado⁡(norteθ),{\displaystyle \Theta =\alpha \cos(n\theta )+\beta \sin(n\theta )\,,} y que n debe ser un número entero. La componente radial R tiene la forma R=γJnorte(ρ),{\displaystyle R=\gamma \,J_{n}(\rho )\,,} donde la función de Bessel J n ( ρ ) satisface la ecuación de Bessel z2Jnorte″+zJnorte′+(z2−norte2)Jnorte=0,{\displaystyle z^{2}J_{n}''+z\,J_{n}'+(z^{2}-n^{2})\,J_{n}=0\,,} y z = kr . La función radial J n tiene infinitas raíces para cada valor de n , denotadas por ρ m , n . La condición de contorno de que A se anula donde r = a se satisfará si los números de onda correspondientes están dados por kmetro,norte=1aρmetro,norte.{\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\,\rho _{m,n}\,.}

La solución general A toma entonces la forma de una serie de Fourier generalizada de términos que involucran productos de J n ( k m,n r ) y el seno (o coseno) de n θ . Estas soluciones son los modos de vibración de un parche de tambor circular .

Soluciones tridimensionales

En coordenadas esféricas, la solución es:

A(r,θ,φ)=∑ℓ=0∞∑metro=−ℓ+ℓ[aℓmetrojℓ(kr)+bℓmetroyℓ(kr)]Yℓmetro(θ,φ) .{\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{+\ell }\left[a_{\ell m}\,j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}\,y_{\ell }(kr)\right]Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )~.}

Esta solución surge de la solución espacial de la ecuación de onda y la ecuación de difusión . Aquí , j ℓ ( kr ) e y ℓ ( kr ) son las funciones de Bessel esféricas , y Y m ℓ ( θ , φ ) son los armónicos esféricos . [ 4 ] Nótese que estas formas son soluciones generales y requieren que se especifiquen las condiciones de contorno para su uso en cualquier caso particular. Para dominios exteriores infinitos, también puede ser necesaria una condición de radiación . [ 5 ]

Escribiendo r 0 = ( x , y , z ) la función A ( r 0 ) tiene asintótica A(r0) ⟶ miikr0r0F(r0r0,k,tú0) + o(1r0) como  r0→∞{\displaystyle A(r_{0})~\longrightarrow ~{\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\,f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)~+~o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right)\quad {\text{ cuando }}~r_{0}\to \infty }

donde la función f se denomina amplitud de dispersión y u 0 ( r 0 ) es el valor de A en cada punto límite r 0 .

Soluciones tridimensionales dada la función en un plano bidimensional

Dado un plano bidimensional donde se conoce A , la solución a la ecuación de Helmholtz viene dada por: [ 6 ]A(incógnita,y,z)=−12π∬−∞+∞A′(incógnita′,y′)miikrrzr(ik−1r)dincógnita′dy′,{\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y')\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\,{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)dx'\,dy'\,,}

dónde

  • A′(incógnita′,y′){\displaystyle A'(x',y')}es la solución en el plano bidimensional,
  • r=(incógnita−incógnita′)2+(y−y′)2+z2,{\textstyle r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2}}}\,,}

Cuando z se aproxima a cero, todas las contribuciones de la integral se anulan excepto para r = 0. Por lo tanto,A(incógnita,y,0)=A′(incógnita,y){\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)}salvo un factor numérico, que puede verificarse que es 1 transformando la integral a coordenadas polares.(ρ,θ).{\displaystyle \left(\rho ,\theta \right).}

Esta solución es importante en la teoría de la difracción, por ejemplo, para derivar la difracción de Fresnel .

Aproximación paraxial

En la aproximación paraxial de la ecuación de Helmholtz, [ 7 ] la amplitud compleja A se expresa como A(r)=tú(r)miikz{\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )\,e^{ikz}} donde u representa la amplitud de valor complejo que modula la onda plana sinusoidal representada por el factor exponencial. Entonces, bajo una suposición adecuada, u resuelve aproximadamente ∇⊥2tú+2ik∂tú∂z≈0,{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik\,{\frac {\partial u}{\partial z}}\approx 0\,,} dónde∇⊥2≡∂2∂incógnita2+∂2∂y2{\textstyle \nabla _{\perp }^{2}\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}es la parte transversal bidimensional ( x , y ) del laplaciano .

Esta ecuación tiene importantes aplicaciones en la ciencia de la óptica , donde proporciona soluciones que describen la propagación de ondas electromagnéticas (luz) en forma de ondas paraboloidales o haces gaussianos . La mayoría de los láseres emiten haces que adoptan esta forma.

La suposición bajo la cual la aproximación paraxial es válida es que la derivada z de la función de amplitud u es una función que varía lentamente con z :

|∂2tú∂z2| ≪ |k ∂tú∂z|.{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ \ll \ \left|k\ {\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}

Esta condición es equivalente a decir que el ángulo θ entre el vector de onda k y el eje óptico z es pequeño: θ ≪ 1 .

La forma paraxial de la ecuación de Helmholtz se obtiene sustituyendo la expresión anterior para la amplitud compleja en la forma general de la ecuación de Helmholtz de la siguiente manera:

∇2(tú(incógnita,y,z)miikz)+k2tú(incógnita,y,z)miikz=0 .{\displaystyle \nabla ^{2}{\Bigl (}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}{\Bigr )}+k^{2}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0~.}

La expansión y la cancelación dan como resultado lo siguiente:

(∂2∂incógnita2+∂2∂y2)tú(incógnita,y,z)miikz+(∂2∂z2tú(incógnita,y,z))miikz+2(∂∂ztú(incógnita,y,z))ikmiikz=0 .{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)\,e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\,u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik\,{e^{ikz}}=0~.}

Debido a la desigualdad paraxial mencionada anteriormente, podemos optar por ignorar la{\textstyle }⁠ ∂ 2 u / ∂ z 2 ⁠ término en comparación con eltérmino k ⁠ ∂ u / ∂ z ⁠ mucho mayor. Al eliminar el término más pequeño se obtiene la ecuación de Helmholtz paraxial. Sustituyendo u ( r ) = A ( r ) e − ikz se obtiene la ecuación paraxial para la amplitud compleja originalA:

∇⊥2A+2ik∂A∂z+2k2A=0.{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik\,{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0\,.}

La integral de difracción de Fresnel es una solución exacta de la ecuación de Helmholtz paraxial. [ 8 ]

Ecuación de Helmholtz no homogénea

Dos fuentes de radiación en el plano, dadas matemáticamente por una función f , que es cero en la región azul.
La parte real del campo resultante A , A es la solución de la ecuación de Helmholtz no homogénea (∇ 2 + k 2 ) A = − f .

La ecuación de Helmholtz no homogénea es la ecuación ∇2A(incógnita)+k2A(incógnita)=−F(incógnita),∀incógnita∈Rnorte,{\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} ),\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},} donde ƒ  : R n → C es una función con soporte compacto , y n = 1, 2, 3. Esta ecuación es muy similar a la ecuación de Poisson apantallada , y sería idéntica si el signo más (delante del término k ) se cambiara por un signo menos.

Solución

Para resolver esta ecuación de forma única, es necesario especificar una condición de contorno en el infinito, que suele ser la condición de radiación de Sommerfeld.límiter→∞rnorte−12(∂∂r−ik)A(incógnita)=0,{\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0\,,} ennorte{\displaystyle n}dimensiones espaciales, para todos los ángulos (es decir cualquier valor deθ,ϕ{\displaystyle \theta ,\phi }). Aquí r=∑i=1norteincógnitai2 {\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~}}}dóndeincógnitai{\displaystyle x_{i}}son las coordenadas del vectorincógnita.{\displaystyle \mathbf {x} \,.}

Con esta condición, la solución a la ecuación de Helmholtz no homogénea es

A(incógnita)=∫RnorteGRAMO(incógnita,incógnita′)F(incógnita′)d⁡incógnita′{\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\,f(\mathbf {x'} )\,\operatorname {d} \mathbf {x'} }

(nótese que esta integral es en realidad sobre una región finita, ya que f tiene soporte compacto). Aquí, G es la función de Green de esta ecuación, es decir, la solución de la ecuación de Helmholtz no homogénea con f igual a la función delta de Dirac , por lo que G satisface

∇2GRAMO(incógnita,incógnita′)+k2GRAMO(incógnita,incógnita′)=−δ(incógnita,incógnita′)∈Rnorte .{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}~.}

La expresión para la función de Green depende de la dimensión n del espacio. Se tiene GRAMO(incógnita,incógnita′)=imiik|incógnita−incógnita′|2k{\displaystyle G(x,x')={\frac {i\,e^{ik|x-x'|}}{2k}}} para n = 1 ,

GRAMO(incógnita,incógnita′)=i4H0(1)(k|incógnita−incógnita′|){\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}\,H_{0}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)} para n = 2 , donde H (1) 0 es una función de Hankel , y GRAMO(incógnita,incógnita′)=miik|incógnita−incógnita′|4π|incógnita−incógnita′|{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}} para n = 3. Nótese que hemos elegido la condición de contorno de que la función de Green es una onda saliente para | x | → ∞ .

Finalmente, para un n general,

GRAMO(incógnita,incógnita′) = dodkpagHpag(1)(k|incógnita−incógnita′|)|incógnita−incógnita′|pag{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )~=~c_{d}\,k^{p}\,{\frac {H_{p}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|^{p}}}}

dóndepag=norte2−1{\textstyle p={\frac {n}{2}}-1}ydod=i4(2π)pag.{\displaystyle c_{d}={\frac {i}{4\,(2\pi )^{p}}}\,.}[ 9 ]

Véase también

Notas

Referencias

  • Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene , eds. (1965). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0– vía Internet Archive (archive.org).
  • Blanche, Pierre-Alexandre (2014). Guía de campo para la holografía . Bellingham, WA: SPIE ( Sociedad Internacional de Ingeniería Óptica ). ISBN 978-0-8194-9957-8.
  • Engquist, Björn; Zhao, Hongkai (2018). "Separabilidad aproximada de la función de Green de la ecuación de Helmholtz en el límite de alta frecuencia". Communications on Pure and Applied Mathematics . 71 (11): 2220– 2274. doi : 10.1002/cpa.21755 . ISSN 0010-3640 . 
  • Goodman, Joseph W. (1996). Introducción a la óptica de Fourier . Nueva York, NY: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-024254-8.
  • Grella, R. (1982). "Propagación y difracción de Fresnel y ecuación de onda paraxial". Journal of Optics . 13 (6): 367– 374. Bibcode : 1982JOpt...13..367G . doi : 10.1088/0150-536X/13/6/006 . ISSN 0150-536X . 
  • Mehrabkhani, Soheil; Schneider, Thomas (2017). "¿La difracción de Rayleigh-Sommerfeld es siempre una referencia exacta para los algoritmos de difracción de alta velocidad?". Optics Express . 25 (24): 30229– 30240. arXiv : 1709.09727 . Bibcode : 2017OExpr..2530229M . doi : 10.1364/OE.25.030229 . ISSN 1094-4087 . PMID 29221054 .  
  • Noble, Ben (1958). Métodos basados ​​en la técnica de Wiener-Hopf para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York, NY: Taylor & Francis US.
  • Sommerfeld, Arnold (1949). Ecuaciones diferenciales parciales en física . Nueva York, NY: Academic Press. cap.  16.

Lecturas adicionales

  • Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2002). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Nueva York, NY: Cambridge University Press. Cap.  19. ISBN 978-0-521-89067-0.
  • Riley, KF (2002). Métodos matemáticos para científicos e ingenieros . Sausalito, CA: University Science Books. Cap.  16. ISBN 978-1-891389-24-5.
  • Saleh, Bahía EA; Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentos de Fotónica . Serie Wiley en Óptica Pura y Aplicada. Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons. cap.  3, págs.  80-107. ISBN 978-0-471-83965-1.
  • Howe, MS (1998). Acústica de las interacciones fluido-estructura . Nueva York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.
  • La ecuación de Helmholtz en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
  • "Ecuación de Helmholtz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
  • Membrana circular vibrante de Sam Blake, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
  • Funciones de Green para las ecuaciones de onda, Helmholtz y Poisson en un dominio bidimensional sin límites.