Ideal fraccional

En matemáticas , en particular en álgebra conmutativa , el concepto de ideal fraccionario se introduce en el contexto de dominios de integridad y resulta especialmente útil en el estudio de dominios de Dedekind . En cierto modo, los ideales fraccionarios de un dominio de integridad son como ideales donde se permiten denominadores . En contextos donde se discuten tanto ideales fraccionarios como ideales de anillos ordinarios, estos últimos a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Dejar${\displaystyle R}$Sea un dominio de integridad y sea${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$sea ​​su campo de fracciones .

Un ideal fraccional de${\displaystyle R}$es un${\displaystyle R}$- submódulo${\displaystyle I}$de${\displaystyle K}$de tal manera que exista un valor distinto de cero${\displaystyle r\in R}$de tal manera que${\displaystyle rI\subseteq R}$. De forma equivalente,${\displaystyle I\subseteq K}$es un ideal fraccional de${\displaystyle R}$si${\displaystyle I=r^{-1}J}$, dónde${\displaystyle r}$es un elemento distinto de cero de${\displaystyle R}$y${\displaystyle J}$es un ideal de${\displaystyle R}$. El elemento${\displaystyle r}$puede pensarse como eliminar los denominadores en${\displaystyle I}$, de ahí el nombre de ideal fraccional.

Los principales ideales fraccionarios son aquellos${\displaystyle R}$-submódulos de${\displaystyle K}$generado por un único elemento distinto de cero de${\displaystyle K}$Un ideal fraccional${\displaystyle I}$está contenido en${\displaystyle R}$si y solo si es un ideal (integral) de${\displaystyle R}$.

Un ideal fraccional${\displaystyle I}$Se denomina invertible si existe otro ideal fraccionario.${\displaystyle J}$de tal manera que

${\displaystyle IJ=R}$

dónde

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

es el producto de los dos ideales fraccionarios.

En este caso, el ideal fraccional${\displaystyle J}$está determinado de forma única y es igual al cociente ideal generalizado.

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

El conjunto de ideales fraccionarios invertibles forma un grupo conmutativo con respecto al producto anterior, donde la identidad es el ideal unitario.${\displaystyle (1)=R}$mismo. Este grupo se llama el grupo de ideales fraccionarios de${\displaystyle R}$. Los ideales fraccionarios principales forman un subgrupo . Un ideal fraccionario (distinto de cero) es invertible si y solo si es proyectivo como un${\displaystyle R}$- módulo . Geométricamente, esto significa que un ideal fraccionario invertible puede interpretarse como un fibrado vectorial de rango 1 sobre el esquema afín.${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$.

Todo R -submódulo finitamente generado de K es un ideal fraccionario y si${\displaystyle R}$es noetheriano , entonces estos son todos los ideales fraccionarios de${\displaystyle R}$.

En los dominios de Dedekind , la situación es mucho más sencilla. En particular, todo ideal fraccionario no nulo es invertible. De hecho, esta propiedad caracteriza a los dominios de Dedekind:

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo ideal fraccionario no nulo es invertible.

El conjunto de ideales fraccionarios sobre un dominio de Dedekind${\displaystyle R}$se denota${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$.

Su grupo cociente de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales fraccionarios principales es un invariante importante de un dominio de Dedekind llamado grupo de clases de ideales .

Para el caso especial de un campo numérico${\displaystyle K}$(como un campo ciclotómico ) hay un anillo asociado denotado${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$llamado el anillo de enteros de${\displaystyle K}$. Por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$para${\displaystyle d}$libre de cuadrados y congruente con${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$La propiedad clave de estos anillos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$Son dominios de Dedekind. Por lo tanto, la teoría de ideales fraccionarios puede describirse para los anillos de enteros de cuerpos numéricos. De hecho, la teoría de cuerpos de clases es el estudio de tales grupos de anillos de clases.

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$es un ideal fraccional sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$el ideal${\displaystyle (5)}$divisiones en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$como${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$tenemos la factorización${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$Esto se debe a que si lo multiplicamos, obtenemos

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle \zeta _{3}}$Satisface${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$Nuestra factorización tiene sentido.

• Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$podemos multiplicar los ideales fraccionarios

${\displaystyle I=\left(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}}\right)}$y${\displaystyle J=\left(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}\right)}$

para obtener lo ideal

${\displaystyle IJ=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}\right).}$

Dejar${\displaystyle {\tilde {I}}}$denota la intersección de todos los ideales fraccionarios principales que contienen un ideal fraccionario distinto de cero.${\displaystyle I}$.

De forma equivalente,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

mientras que lo anterior

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Si${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$entonces I se llama divisorial . ^{[ 2 ]} En otras palabras, un ideal divisorial es una intersección no nula de algún conjunto no vacío de ideales principales fraccionarios.

Si I es divisorial y J es un ideal fraccionario distinto de cero, entonces ( I  : J ) es divisorial.

Sea R un dominio de Krull local (por ejemplo, un dominio local noetheriano integralmente cerrado ). Entonces R es un anillo de valuación discreta si y solo si el ideal maximal de R es divisorial. ^{[ 3 ]}

Un dominio integral que satisface las condiciones de cadena ascendente en ideales divisoriales se denomina dominio de Mori . ^{[ 4 ]}

• gajo divisor
• Teorema de Dedekind-Kummer

• Barucci, Valentina (2000), "Mori domains" , en Glaz, Sarah ; Chapman, Scott T. (eds.), Non-Noetherian commutative ring theory , Mathematics and its Applications, vol.  520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 57–73 , ISBN  978-0-7923-6492-4, MR 1858157 
• Stein, William, Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF)
• Capítulo 9 de Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1994), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Capítulo VII.1 de Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa (2ª ed.), Springer Verlag , ISBN  3-540-64239-0
• Capítulo 11 de Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-36764-6, MR 1011461