Integración por partes

El teorema se puede derivar de la siguiente manera. Para dos funciones continuamente diferenciables${\displaystyle u(x)}$y${\displaystyle v(x)}$La regla del producto establece:

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

Integrar ambas partes con respecto a${\displaystyle x}$,

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

y observando que una integral indefinida es una antiderivada da

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

donde omitimos escribir la constante de integración . Esto da como resultado la fórmula para la integración por partes :

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

o en términos de los diferenciales${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$,${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

Esto debe entenderse como una igualdad de funciones con una constante no especificada añadida a cada lado. Tomando la diferencia de cada lado entre dos valores.${\displaystyle x=a}$y${\displaystyle x=b}$y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene la versión integral definida: $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$ La integral original${\displaystyle \int uv'\,dx}$contiene la derivada v' ; para aplicar el teorema, hay que hallar v , la antiderivada de v' , y luego evaluar la integral resultante.${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

No es necesario para${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$ser continuamente diferenciable. La integración por partes funciona si${\displaystyle u}$es absolutamente continuo y la función designada${\displaystyle v'}$es integrable de Lebesgue (pero no necesariamente continua). ^{[ 3 ]} (Si${\displaystyle v'}$tiene un punto de discontinuidad y luego su antiderivada${\displaystyle v}$(Puede que no exista un derivado en ese momento).

Si el intervalo de integración no es compacto , entonces no es necesario que${\displaystyle u}$ser absolutamente continuo en todo el intervalo o para${\displaystyle v'}$ser integrable de Lebesgue en el intervalo, como un par de ejemplos (en el que${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son continuas y continuamente diferenciables) lo demostrará. Por ejemplo, si

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$no es absolutamente continua en el intervalo [ 1, ∞) , pero no obstante:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

con tal que${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$se entiende que significa el límite de${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$como${\displaystyle L\to \infty }$y siempre que los dos términos del lado derecho sean finitos. Esto solo es cierto si elegimos${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$De manera similar, si

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$no es integrable de Lebesgue en el intervalo [ 1, ∞) , pero sin embargo

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$ con la misma interpretación.

También se pueden encontrar fácilmente ejemplos similares en los que${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$no son continuamente diferenciables.

Además, si${\displaystyle f(x)}$es una función de variación acotada en el segmento${\displaystyle [a,b],}$y${\displaystyle \varphi (x)}$es diferenciable en${\displaystyle [a,b],}$entonces

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

dónde${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$denota la medida con signo correspondiente a la función de variación acotada${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$y funciones${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$son extensiones de${\displaystyle f,\varphi }$a${\displaystyle \mathbb {R} ,}$que son respectivamente de variación acotada y diferenciables.

Integrando la regla del producto para tres funciones multiplicadas,${\displaystyle u(x)}$,${\displaystyle v(x)}$,${\displaystyle w(x)}$, da un resultado similar:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

En general, para${\displaystyle n}$factores

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

lo que conduce a

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

La integración por partes es un proceso heurístico, más que puramente mecánico, para resolver integrales. Dada una única función a integrar, la estrategia típica consiste en separarla cuidadosamente en un producto de dos funciones u ( x ) v ( x ), de manera que la integral residual obtenida mediante la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar que la función original. La siguiente fórmula resulta útil para ilustrar la mejor estrategia:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

En el lado derecho, u se deriva y v se integra; por consiguiente, es útil elegir u como una función que se simplifica al derivarse, o elegir v como una función que se simplifica al integrarse. Como ejemplo sencillo, consideremos:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

Dado que la derivada de ln( x ) es 1 / x , se toma la parte u de ln( x ) ; dado que la antiderivada de 1 / x² es -1 / x , se toma la parte v ^de 1 ^/ x² . La fórmula ahora resulta en :

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

La antiderivada de − ⁠ 1 / x ² ⁠ se puede encontrar con la regla de la potencia y es ⁠ 1 / x ⁠ , lo que hace que la integral final sea

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\biggl (}{\frac {\ln(x)+1}{x}}{\biggr )}+C,}$$

donde C es una constante de integración .

Alternativamente, se pueden elegir u y v de tal manera que el producto u ′ (∫ v dx ) se simplifique debido a la cancelación. Por ejemplo, supongamos que se desea integrar: 

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

Si elegimos u ( x ) = ln(|sin( x )|) y v ( x ) = sec ² x, entonces u se diferencia a${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$Utilizando la regla de la cadena y v integrando a tan x , la fórmula da como resultado:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

El integrando se simplifica a 1, por lo que la antiderivada es x . Encontrar una combinación simplificadora a menudo implica experimentación.

En algunas aplicaciones, puede que no sea necesario asegurar que la integral resultante de la integración por partes tenga una forma simple; por ejemplo, en el análisis numérico , puede bastar con que tenga una magnitud pequeña y, por lo tanto, contribuya solo con un pequeño término de error. Otras técnicas especiales se muestran en los ejemplos siguientes.

El producto infinito de Wallis para${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

puede derivarse mediante integración por partes .

La función gamma es un ejemplo de una función especial , definida como una integral impropia para${\displaystyle z>0}$La integración por partes demuestra que es una extensión de la función factorial:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

Desde

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

cuando${\displaystyle z}$es un número natural, es decir,${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$, aplicando esta fórmula repetidamente se obtiene el factorial :${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

La integración por partes se utiliza frecuentemente en el análisis armónico , particularmente en el análisis de Fourier , para demostrar que las integrales que oscilan rápidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rápidamente . El ejemplo más común es su uso para demostrar que el decaimiento de la transformada de Fourier de una función depende de la suavidad de dicha función, como se describe a continuación.

Una aplicación de la integración por partes en la teoría de operadores es que demuestra que el −∆ (donde ∆ es el operador de Laplace ) es un operador positivo en${\displaystyle L^{2}}$(ver espacio L ^p ). Si${\displaystyle f}$es suave y compacto soportado entonces, usando integración por partes, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

• Determinación de las condiciones de contorno en la teoría de Sturm-Liouville
• Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.

El proceso esencial de la fórmula anterior se puede resumir en una tabla; el método resultante se denomina "integración tabular". ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, consideremos la integral

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$y tomar${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Comience a enumerar en la columna A la función${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$y sus derivados subsiguientes${\displaystyle u^{(i)}}$hasta que se alcance cero. Luego, enumere en la columna B la función.${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$y sus integrales subsiguientes${\displaystyle v^{(n-i)}}$hasta que el tamaño de la columna B sea el mismo que el de la columna A. El resultado es el siguiente:

El producto de las entradas de la fila i de las columnas A y B, junto con el signo correspondiente, proporciona las integrales relevantes en el paso i durante la integración repetida por partes. El paso i = 0 produce la integral original. Para obtener el resultado completo en el paso i > 0, la i -ésima integral debe sumarse a todos los productos anteriores ( 0 ≤ j < i ) de la j -ésima entrada de la columna A y la ( j + 1) -ésima entrada de la columna B (es decir, multiplicar la primera entrada de la columna A por la segunda de la columna B, la segunda de la columna A por la tercera de la columna B, etc.) con el j -ésimo signo dado. Este proceso se detiene naturalmente cuando el producto, que produce la integral, es cero ( i = 4 en el ejemplo). El resultado completo es el siguiente (con los signos alternos en cada término):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

Esto produce

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

La integración parcial repetida también resulta útil, cuando en el curso de diferenciar e integrar respectivamente las funciones${\displaystyle u^{(i)}}$y ${\displaystyle v^{(n-i)}}$ Su producto resulta en un múltiplo del integrando original. En este caso, la repetición también puede terminar con este índice i. Esto puede ocurrir, como es de esperar, con exponenciales y funciones trigonométricas. Como ejemplo, consideremos

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

En este caso, el producto de los términos en las columnas A y B con el signo apropiado para el índice i = 2 produce el negativo del integrando original (compárense las filas i = 0 e i = 2 ).

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

Observando que la integral del lado derecho puede tener su propia constante de integración${\displaystyle C'}$y, al pasar la integral abstracta al otro lado, se obtiene:

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

y finalmente:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

dónde${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$.

Consideremos los campos vectoriales continuamente diferenciables.${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$y${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$es el i -ésimo vector base estándar para${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. Ahora aplica la integración por partes anterior a cada${\displaystyle u_{i}}$veces el campo vectorial${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$:

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

Sumando sobre i se obtiene una nueva fórmula de integración por partes:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

El caso${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$, dónde${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$, es conocida como la primera de las identidades de Green :

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

La derivada exterior en formas diferenciales satisface una regla de producto graduado. Si${\displaystyle u\in \Omega ^{k}(M)}$es un diferencial${\displaystyle k}$-forma y${\displaystyle v\in \Omega ^{n}(M)}$un diferencial${\displaystyle n}$-formar en un orientable${\displaystyle (k+n+1)}$-variedad-con-frontera${\displaystyle M}$, entonces la regla del producto graduado es $${\displaystyle d(u\wedge v)=du\wedge v+(-1)^{k}u\wedge dv.}$$

Integrar ambos lados de la igualdad sobre${\displaystyle M}$da

$${\displaystyle \int \limits _{M}d(u\wedge v)=\int \limits _{M}du\wedge v+(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

Esto es equivalente a

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\int \limits _{M}d(u\wedge v)-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

Una aplicación del teorema generalizado de Stokes da como resultado:

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\oint \limits _{\partial M}u\wedge v-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

Alquiler${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$ser diferencial${\displaystyle 0}$Las formas (funciones suaves) recuperan la versión clásica.