Producto de interior

En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivada interior , multiplicación interior , multiplicación interna , derivada interna , operador de inserción , contracción o derivación interna ) es una (anti)derivación de grado −1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable . El producto interior, denominado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interno . El producto interior${\displaystyle \iota _{X}\omega }$a veces se escribe como${\displaystyle \omega \mathbin {\lfloor } X}$, que se llama la contracción derecha de${\displaystyle \omega }$con X.​

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por lo tanto, si${\displaystyle X}$es un campo vectorial en la variedad${\displaystyle M,}$entonces $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ es el mapa que envía un${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega }$hacia${\displaystyle (p-1)}$-forma${\displaystyle \iota _{X}\omega }$definido por la propiedad que $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ para cualquier campo vectorial${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

Cuando${\displaystyle \omega }$es un campo escalar (forma 0),${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$por convención.

El producto interior es la única antiderivación de grado − 1 en el álgebra exterior tal que en las 1-formas${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \displaystyle \iota _ {X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha,X\rangle,}$$ dónde${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$es el emparejamiento de dualidad entre${\displaystyle \alpha }$y el vector${\displaystyle X.}$ Explícitamente, si${\displaystyle \alpha }$es un${\displaystyle p}$-forma y${\displaystyle \beta }$es un${\displaystyle q}$-forma, entonces $${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=\left(\iota _{X}\alpha \right)\wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge \left(\iota _{X}\beta \right).}$$ La relación anterior indica que el producto interior obedece una regla de Leibniz graduada . Una operación que satisface la linealidad y una regla de Leibniz se denomina derivación.

Si en coordenadas locales${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$el campo vectorial${\displaystyle X}$es dado por

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

entonces el producto interior viene dado por $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$$ dónde${\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$es la forma obtenida al omitir${\displaystyle dx_{r}}$de${\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$.

Por antisimetría de formas, $${\displaystyle \iota _ {X} \iota _ {Y} \ omega =-\iota _ {Y} \iota _ {X} \ omega,}$$ y entonces${\displaystyle \iota _ {X} \circ \iota _ {X}=0.}$Esto puede compararse con la derivada exterior.${\displaystyle d,}$que posee la propiedad${\displaystyle d\circ d=0.}$

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$satisface la identidad $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$Demostración. Para cualquier k-forma${\displaystyle \Omega }$,$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$y de forma similar para el otro resultado.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de las formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan ^{[ 1 ]} o fórmula mágica de Cartan ) : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

donde se utilizó el anticonmutador . Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exteriores e interiores. La identidad de Cartan es importante en la geometría simpléctica y la relatividad general : véase el mapa de momento . ^{[ 2 ]} La fórmula de homotopía de Cartan recibe su nombre de Élie Cartan . ^{[ 3 ]}

En el álgebra exterior sobre un espacio vectorial V , el producto interior se generaliza para multivectores arbitrarios a y b . El producto interior derecho , o contracción derecha ,${\displaystyle \textstyle \mathbin {\lfloor }$ :\bigwedge V\times \bigwedge V\to \bigwedge V} se define como ^{[ 5 ]}

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\vee b^{\bigstar },}$

dónde${\displaystyle \vee }$es el antiproducto exterior (también conocido como producto regresivo), y el superíndice${\displaystyle \bigstar }$denota el dual de Hodge . De manera similar, el producto interior izquierdo , o contracción izquierda ,${\displaystyle \rfloor }$se define como

${\displaystyle a\mathbin {\rfloor } b=a_{\bigstar }\vee b,}$

donde el subíndice${\displaystyle \bigstar }$denota la versión izquierda del dual de Hodge.

Cuando a y b son multivectores homogéneos con el mismo grado, entonces los productos interiores izquierdo y derecho se reducen cada uno al producto interno tal que

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\mathbin {\rfloor } b=a\cdot b.}$

Para un vector X (que tiene grado 1), un multivector homogéneo a de grado p y un multivector arbitrario b , el producto interior derecho satisface la regla

${\displaystyle (a\wedge b)\mathbin {\lfloor } X=(a\mathbin {\lfloor } X)\wedge b+(-1)^{p}a\wedge (b\mathbin {\lfloor } X).}$

Este es el análogo exacto de la regla del producto de Leibniz dada para el operador.${\displaystyle \iota _{X}}$arriba.

• Producto cap – Método en topología algebraica 
• Producto interno – Espacio vectorial con producto escalar generalizado Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Contracción tensorial : una operación matemática. 

• Theodore Frankel, La geometría de la física: una introducción ; Cambridge University Press, 3.ª ed., 2011
• Loring W. Tu, Introducción a las variedades , 2.ª ed., Springer. 2011. doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6