intuicionismo

En filosofía de las matemáticas , el intuicionismo , o neointuicionismo (opuesto al preintuicionismo ), es un enfoque donde las matemáticas se consideran puramente el resultado de la actividad mental constructiva de los seres humanos, en lugar del descubrimiento de principios fundamentales que se afirma que existen en una realidad objetiva. ^{[ 1 ]} Es decir, la lógica y las matemáticas no se consideran actividades analíticas en las que se revelan y aplican propiedades profundas de la realidad objetiva, sino que se consideran la aplicación de métodos internamente consistentes utilizados para realizar construcciones mentales más complejas, independientemente de su posible existencia independiente en una realidad objetiva.

La característica distintiva fundamental del intuicionismo es su interpretación de lo que significa que una proposición matemática sea verdadera. En el intuicionismo original de Brouwer , la verdad de una proposición matemática es una afirmación subjetiva: una proposición matemática corresponde a una construcción mental, y un matemático solo puede afirmar la verdad de una proposición verificando la validez de esa construcción mediante la intuición . La vaguedad de la noción intuicionista de verdad a menudo conduce a interpretaciones erróneas sobre su significado. Kleene definió formalmente la verdad intuicionista desde una posición realista, pero Brouwer probablemente rechazaría esta formalización por carecer de sentido, dado su rechazo a la posición realista/platónica. Por lo tanto, la verdad intuicionista sigue estando algo mal definida. Sin embargo, debido a que la noción intuicionista de verdad es más restrictiva que la de las matemáticas clásicas, el intuicionista debe rechazar algunos supuestos de la lógica clásica para asegurar que todo lo que demuestra sea, de hecho, intuicionistamente verdadero. Esto da origen a la lógica intuicionista .

Para un intuicionista, afirmar que existe un objeto con ciertas propiedades implica afirmar que se puede construir un objeto con esas propiedades. Cualquier objeto matemático se considera producto de una construcción mental y, por lo tanto, su existencia equivale a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que sostiene que la existencia de una entidad se puede probar refutando su inexistencia. Para el intuicionista, esto no es válido; la refutación de la inexistencia no implica que sea posible encontrar una construcción para el supuesto objeto, como se requiere para afirmar su existencia. En este sentido, el intuicionismo es una variante del constructivismo matemático , pero no la única.

La interpretación de la negación difiere en la lógica intuicionista de la lógica clásica. En la lógica clásica, la negación de una proposición afirma que la proposición es falsa ; para un intuicionista, significa que la proposición es refutable . ^{[ 2 ]} Existe, por lo tanto, una asimetría entre una proposición positiva y una negativa en el intuicionismo. Si una proposición P es demostrable, entonces P ciertamente no puede ser refutable. Pero incluso si se puede demostrar que P no puede ser refutada, esto no constituye una prueba de P. Por lo tanto, P es una proposición más fuerte que no-no-P .

De manera similar, afirmar que A o B es cierto, para un intuicionista, equivale a afirmar que A o B pueden probarse . En particular, la ley del tercero excluido , « A o no A », no se acepta como un principio válido. Por ejemplo, si A es una proposición matemática que un intuicionista aún no ha probado ni refutado, entonces ese intuicionista no afirmará la verdad de « A o no A ». Sin embargo, el intuicionista aceptará que « A y no A » no puede ser verdadero. Por lo tanto, los conectores «y» y «o» de la lógica intuicionista no satisfacen las leyes de De Morgan como lo hacen en la lógica clásica.

La lógica intuicionista sustituye la verdad abstracta por la constructividad y se asocia con una transición de la demostración de la teoría de modelos a la verdad abstracta en las matemáticas modernas . El cálculo lógico preserva la justificación, en lugar de la verdad, a través de transformaciones que producen proposiciones derivadas. Se ha considerado que proporciona apoyo filosófico a varias escuelas de filosofía, sobre todo al antirrealismo de Michael Dummett . Así, contrariamente a la primera impresión que su nombre podría sugerir, y como se manifiesta en enfoques y disciplinas específicas (por ejemplo, conjuntos y sistemas difusos), las matemáticas intuicionistas son más rigurosas que las matemáticas convencionales, donde, irónicamente, los elementos fundamentales que el intuicionismo intenta construir/refutar/refundar se dan por sentados intuitivamente.

Entre las diferentes formulaciones del intuicionismo, existen diversas posturas sobre el significado y la realidad del infinito.

El término infinito potencial se refiere a un procedimiento matemático en el que existe una serie interminable de pasos. Después de completar cada paso, siempre hay otro paso por realizar. Por ejemplo, consideremos el proceso de contar:${\displaystyle 1,2,...}$

El término infinito actual se refiere a un objeto matemático completo que contiene un número infinito de elementos. Un ejemplo es el conjunto de los números naturales ,${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,...\}}$.

En la formulación de Cantor de la teoría de conjuntos, existen muchos conjuntos infinitos diferentes, algunos de los cuales son más grandes que otros. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$es más grande que${\displaystyle \mathbb {N} }$Porque cualquier intento de establecer una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los números reales siempre fracasará: siempre quedará un número infinito de números reales «sobrantes». Cualquier conjunto infinito que pueda establecerse en correspondencia biunívoca con los números naturales se denomina «contable» o «numerable». Los conjuntos infinitos mayores que este se denominan «incontables». ^{[ 3 ]}

La teoría de conjuntos de Cantor dio origen al sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que actualmente constituye el fundamento más común de las matemáticas modernas . El intuicionismo surgió, en parte, como reacción a la teoría de conjuntos de Cantor.

La teoría constructiva moderna de conjuntos incluye el axioma de infinito de ZFC (o una versión revisada de este axioma) y el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales. La mayoría de los matemáticos constructivos modernos aceptan la realidad de conjuntos infinitos numerables (sin embargo, véase Alexander Esenin-Volpin para un contraejemplo).

Brouwer rechazó el concepto de infinito actual, pero admitió la idea de infinito potencial.

Según Weyl (1946), «Brouwer dejó claro, como creo que sin lugar a dudas, que no hay evidencia que respalde la creencia en el carácter existencial de la totalidad de todos los números naturales... la secuencia de números que crece más allá de cualquier etapa ya alcanzada al pasar al siguiente número, es una multiplicidad de posibilidades abiertas hacia el infinito; permanece para siempre en el estado de creación, pero no es un reino cerrado de cosas que existen en sí mismas. Que hayamos convertido ciegamente una en la otra es la verdadera fuente de nuestras dificultades, incluidas las antinomias, una fuente de naturaleza más fundamental que la que indicaba el principio del círculo vicioso de Russell. Brouwer nos abrió los ojos y nos hizo ver hasta qué punto las matemáticas clásicas, alimentadas por una creencia en lo "absoluto" que trasciende todas las posibilidades humanas de realización, van más allá de tales afirmaciones que pueden reclamar un significado real y una verdad fundamentada en la evidencia.

La historia del intuicionismo se remonta a dos controversias en las matemáticas del siglo XIX.

El primero de estos ejemplos fue la invención de la aritmética transfinita por Georg Cantor y su posterior rechazo por parte de varios matemáticos prominentes, entre los que destaca su maestro Leopold Kronecker , un finitista convencido .

El segundo ejemplo fue el intento de Gottlob Frege de reducir todas las matemáticas a una formulación lógica mediante la teoría de conjuntos, y su posterior refutación por parte del joven Bertrand Russell , descubridor de la paradoja de Russell . Frege había planeado una obra definitiva en tres volúmenes, pero justo cuando el segundo volumen estaba a punto de imprimirse, Russell le envió una carta en la que exponía su paradoja, la cual demostraba que una de las reglas de autorreferencia de Frege era contradictoria. En un apéndice del segundo volumen, Frege reconoció que uno de los axiomas de su sistema, de hecho, conducía a la paradoja de Russell. ^{[ 4 ]}

Según cuenta la historia, Frege cayó en una profunda depresión y no publicó el tercer volumen de su obra como tenía previsto. Para más información, véanse los capítulos 3 y 4 de Davis (2000): «Frege: Del avance a la desesperación» y «Cantor: Desvío a través del infinito». Consulten las obras originales y los comentarios de van Heijenoort.

Estas controversias están estrechamente relacionadas, ya que los métodos lógicos empleados por Cantor para demostrar sus resultados en aritmética transfinita son esencialmente los mismos que los utilizados por Russell para construir su paradoja. Por lo tanto, la forma en que se resuelve la paradoja de Russell tiene implicaciones directas en el estatus que se le otorga a la aritmética transfinita de Cantor.

A principios del siglo XX, LEJ Brouwer representó la postura intuicionista y David Hilbert la formalista (véase van Heijenoort). Kurt Gödel ofreció opiniones denominadas platónicas (véanse diversas fuentes sobre Gödel). Alan Turing considera: « sistemas de lógica no constructivos en los que no todos los pasos de una demostración son mecánicos, sino intuitivos». ^{[ 5 ]} Posteriormente, Stephen Cole Kleene presentó una consideración más racional del intuicionismo en su Introducción a la metamatemática (1952). ^{[ 6 ]}

Nicolas Gisin está adoptando las matemáticas intuicionistas para reinterpretar la indeterminación cuántica , la teoría de la información y la física del tiempo . ^{[ 7 ]}

• Henri Poincaré ( preintuicionismo / convencionalismo )
• LEJ Brouwer
• Michael Dummett
• Arend Heyting
• Stephen Kleene

• Lógica intuicionista
• aritmética intuicionista
• Teoría de tipos intuicionista
• Teoría de conjuntos intuicionista
• Análisis intuicionista

• "Análisis." Encyclopædia Britannica . 2006. Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD 15 de junio de 2006, " Análisis constructivo " ( Ian Stewart , autor)
• WS Anglin , Matemáticas: Una historia y filosofía concisas , Springer-Verlag, Nueva York, 1994.

En el capítulo 39, Fundamentos , con respecto al siglo XX, Anglin ofrece descripciones muy precisas y breves del platonismo (con respecto a Gödel), el formalismo (con respecto a Hilbert) y el intuicionismo (con respecto a Brouwer).

• Martin Davis (ed.) (1965), The Undecidable , Raven Press, Hewlett, NY. Compilación de artículos originales de Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser y Post. Republicado como Davis, Martin, ed. (2004). The Undecidable . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43228-1.
• Martin Davis (2000). Motores de lógica: Matemáticos y el origen de la computadora (1.ª  ed.). WW Norton & Company, Nueva York. ISBN 0-393-32229-7.
• John W. Dawson Jr., Dilemas lógicos: La vida y obra de Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.

Menos legible que Goldstein, pero en el Capítulo III, Excursis , Dawson ofrece una excelente "Historia en cápsula del desarrollo de la lógica hasta 1928".

• Rebecca Goldstein , Incompletitud: La prueba y la paradoja de Kurt Gödel , Atlas Books, WW Norton, Nueva York, 2005.

En el capítulo II, Hilbert y los formalistas, Goldstein ofrece un contexto histórico más amplio. Como platónico, Gödel se mostró reticente ante el positivismo lógico del Círculo de Viena. Goldstein analiza la influencia de Wittgenstein y la de los formalistas. Asimismo, señala que los intuicionistas se oponían aún más al platonismo que el formalismo .

• (en francés) Jacques Hartong y Georges Reeb , Intuitionnisme 84 (publicado por primera vez en La Mathématique Non-standard , éditions du CNRS)

Una reevaluación del intuicionismo, desde el punto de vista (entre otros) de las matemáticas constructivas y el análisis no estándar .

• Frege, Gottlob (1893). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). Vol. 1. Jena: Hermann Pohle. Traducción parcial: Montgomery Furth, 1964. The Basic Laws of Arithmetic. Univ. of California Press. Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960) . Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Oxford University Press. 

• Frege, Gottlob (1903). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). vol.  2. Jena: Hermann Pohle. Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960) . Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Prensa de la Universidad de Oxford.

• Frege, Gottlob (1960) [1893]. "Grundgesetze der Arithmetik: Nachwort" [ Frege sobre la paradoja de Russell ] . En Geach, Peter; Negro, Max (eds.). Traducciones de los escritos filosóficos de Gottlob Frege (2  ed.). Oxford: Albahaca Blackwell.

• van Heijenoort, J. , De Frege a Gödel, Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpreso con correcciones, 1977. Los siguientes artículos aparecen en van Heijenoort:

• LEJ Brouwer , 1923, Sobre la importancia del principio del tercero excluido en matemáticas, especialmente en la teoría de funciones [reimpreso con comentarios, pág. 334, van Heijenoort]
• Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sobre el principio del tercero excluido , [reimpreso con comentarios, pág. 414, van Heijenoort]
• LEJ Brouwer , 1927, Sobre los dominios de las definiciones de funciones , [reimpreso con comentarios, pág. 446, van Heijenoort]

Aunque no sea directamente pertinente, en su obra (1923) Brouwer utiliza ciertas palabras definidas en este artículo.

• LEJ Brouwer , 1927(2), Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo , [reimpreso con comentarios, pág. 490, van Heijenoort]
• Jacques Herbrand, (1931b), "Sobre la consistencia de la aritmética", [reimpreso con comentarios, pág. 618 y ss., van Heijenoort]

Del comentario de van Heijenoort no queda claro si Herbrand era o no un verdadero "intuicionista"; Gödel (1963) afirmó que, en efecto, "...Herbrand era un intuicionista". Pero van Heijenoort dice que la concepción de Herbrand estaba "en general mucho más cerca de la palabra 'finitario' ('finit') de Hilbert que de 'intuicionista', tal como se aplica a la doctrina de Brouwer".

• Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomos en la niebla. La recepción del intuicionismo de Brouwer en la década de 1920. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
• Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuicionismo: Una introducción (3.ª ed. revisada ). Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN  0-7204-2239-6.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introducción a la metamatemática (Décima edición, 1991  ). Ámsterdam, Nueva York: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.

En el capítulo III, «Una crítica del razonamiento matemático», §11. «Las paradojas» , Kleene analiza en profundidad el intuicionismo y el formalismo . A lo largo del resto del libro, examina y compara las lógicas formalista (clásica) e intuicionista, haciendo especial hincapié en la primera.

• Stephen Cole Kleene y Richard Eugene Vesley , Fundamentos de las matemáticas intuicionistas , North-Holland Publishing Co., Ámsterdam, 1965. La frase inicial lo resume todo: «La tendencia constructiva en matemáticas…». Un texto para especialistas, pero escrito con el estilo maravillosamente claro de Kleene.
• Lakatos, Imre (2015) [1976]. Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático . Cambridge Philosophy Classics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-11346-6.

• AA Markov (1954) Teoría de algoritmos . [Traducido por Jacques J. Schorr-Kon y personal de PST] Imprint Moscú, Academia de Ciencias de la URSS, 1954 [es decir Jerusalén, Programa Israelí de Traducciones Científicas, 1961; disponible en la Oficina de Servicios Técnicos, Departamento de Comercio de EE. UU., Washington] Descripción 444 p.  28  cm. Portada añadida en ruso Traducción de Obras del Instituto Matemático, Academia de Ciencias de la URSS, vol. 42. Título original: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Biblioteca del Dartmouth College. [Departamento de Comercio de EE. UU., Oficina de Servicios Técnicos, número OTS 60–51085.] Una referencia secundaria para especialistas: Markov opinó que «La importancia para las matemáticas de precisar el concepto de algoritmo surge, sin embargo, en relación con el problema de una base constructiva para las matemáticas ...» [p. 3, cursiva añadida]. Markov creía que otras aplicaciones de su trabajo «merecen un libro especial, que el autor espera escribir en el futuro» (p.  3). Lamentablemente, dicho trabajo aparentemente nunca se publicó.
• Hilary Putnam y Paul Benacerraf , Filosofía de las matemáticas: Lecturas selectas , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2.ª ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-29648-X

Parte I. Los fundamentos de las matemáticas , Simposio sobre los fundamentos de las matemáticas

• Rudolf Carnap , Los fundamentos lógicos de las matemáticas , pág. 41
• Arend Heyting , Los fundamentos intuicionistas de las matemáticas , pág. 52
• Johann von Neumann , Los fundamentos formalistas de las matemáticas , pág. 61
• Arend Heyting, Disputa , pág. 66
• LEJ Brouwer, Intuicionismo y formalismo , pág. 77
• LEJ Brouwer, Conciencia, filosofía y matemáticas , pág. 90

• Constance Reid , Hilbert , Copérnico – Springer-Verlag, 1.ª edición 1970, 2.ª edición 1996.

La biografía definitiva de Hilbert sitúa su "Programa" en su contexto histórico, junto con las posteriores disputas, a veces enconadas, entre los intuicionistas y los formalistas.

• Paul Rosenbloom , Los elementos de la lógica matemática , Dover Publications Inc, Mineola, Nueva York, 1950.

Con un estilo más propio de Principia Mathematica: muchos símbolos, algunos antiguos, otros de la escritura alemana. Excelentes análisis del intuicionismo en las siguientes secciones: páginas 51-58 de la Sección 4, Lógicas multivaluadas, lógicas modales e intuicionismo; páginas 69-73 del Capítulo III, La lógica de las funciones proposicionales, Sección 1, Introducción informal; y páginas 146-151 de la Sección 7, El axioma de elección.

• Turing, Alan M. ( 1939). "Sistemas de lógica basados ​​en ordinales" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 2. Vol.  45. pp. 161–228 . Recuperado el 17 de enero de 2024 . 

• Veldman, Wim (febrero de 2021). "Intuicionismo: ¿Una inspiración?" . doi : 10.13140/RG.2.2.12313.54881 .

• Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Intuicionismo en matemáticas" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• Iemhoff, Rosalie (11 de junio de 2019). "Intuicionismo en la filosofía de las matemáticas" . En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (  edición de verano de 2019). ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  

• Moschovakis, Joan (16 de diciembre de 2022). "Lógica intuicionista" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford (  edición de invierno de 2022). ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  

• Wolchover, Natalie (7 de abril de 2020). "¿Fluye realmente el tiempo? Nuevas pistas provienen de un enfoque matemático centenario" . QuantaMagazine.org . Quanta Magazine.