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Articulo de referencia

Invariancia del dominio

La invariancia del dominio es un teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano. R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Dice lo siguiente: Si U {\d...

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La invariancia del dominio es un teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano.Rnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}Dice lo siguiente:

SiU{\displaystyle U}es un subconjunto abierto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}yF:U→Rnorte{\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}es una aplicación continua inyectiva , entoncesV:=F(U){\displaystyle V:=f(U)}está abierto enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}yF{\displaystyle f}es un homeomorfismo entreU{\displaystyle U}yV{\displaystyle V}.

El teorema y su demostración se deben a LEJ Brouwer , publicado en 1912. [ 1 ] La demostración utiliza herramientas de topología algebraica , en particular el teorema del punto fijo de Brouwer .

Notas

La conclusión del teorema puede formularse de forma equivalente como:F{\displaystyle f}es un mapa abierto ".

Normalmente, para comprobar queF{\displaystyle f}es un homeomorfismo, habría que verificar que ambosF{\displaystyle f}y su función inversaF−1{\displaystyle f^{-1}}son continuos; el teorema dice que si el dominio es un subconjunto abierto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}y la imagen también está enRnorte,{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}luego continuidad deF−1{\displaystyle f^{-1}}es automático. Además, el teorema dice que si dos subconjuntosU{\displaystyle U}yV{\displaystyle V}deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}son homeomorfos yU{\displaystyle U}está abierto, entoncesV{\displaystyle V}También debe estar abierto. (Tenga en cuenta queV{\displaystyle V}está abierto como un subconjunto deRnorte,{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}y no solo en la topología del subespacio. Apertura deV{\displaystyle V}(en la topología del subespacio es automática). Ninguna de estas afirmaciones es obvia y generalmente no son ciertas si uno se sale del espacio euclidiano.

No es un homeomorfismo sobre su imagen
Un mapa inyectivo que no es un homeomorfismo sobre su imagen:gramo:(−1.1,1)→R2{\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}congramo(t)=(t2−1,t3−t).{\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right).}

Es de vital importancia que tanto el dominio como la imagen deF{\displaystyle f}están contenidos en un espacio euclidiano de la misma dimensión . Consideremos, por ejemplo, el mapaF:(0,1)→R2{\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}}definido porF(t)=(t,0).{\displaystyle f(t)=(t,0).} Este mapa es inyectivo y continuo, el dominio es un subconjunto abierto deR{\displaystyle \mathbb {R} }, pero la imagen no se abre enR2.{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.} Un ejemplo más extremo es el mapagramo:(−1.1,1)→R2{\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}definido porgramo(t)=(t2−1,t3−t){\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right)}porque aquígramo{\displaystyle g}es inyectivo y continuo, pero ni siquiera produce un homeomorfismo sobre su imagen.

El teorema tampoco es generalmente cierto en infinitas dimensiones. Consideremos, por ejemplo, el espacio de Banach L p.ℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }}de todas las secuencias reales acotadas . DefinirF:ℓ∞→ℓ∞{\displaystyle f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }}a medida que cambiaF(incógnita1,incógnita2,…)=(0,incógnita1,incógnita2,…).{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).} EntoncesF{\displaystyle f}es inyectivo y continuo, el dominio está abierto enℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }}, pero la imagen no lo es.

Consecuencias

Sinorte>metro{\displaystyle n>m}No existe ningún mapa inyectivo continuo.F:U→Rmetro{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}para un conjunto abierto no vacíoU⊆Rnorte{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}Para ver esto, supongamos que existe tal mapa.F.{\displaystyle f.} ComposiciónF{\displaystyle f}con la inclusión estándar deRmetro{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}administraría una inyección continua desdeRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}a sí mismo, pero con una imagen con interior vacío enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}Esto contradiría la invariancia del dominio.

En particular, sinorte≠metro{\displaystyle n\neq m}, ningún subconjunto abierto no vacío deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}puede ser homeomorfo a un subconjunto abierto deRmetro{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}.

YRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}no es homeomorfo aRmetro{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}sinorte≠metro.{\displaystyle n\neq m.}

Generalizaciones

El teorema de invariancia de dominio puede generalizarse a variedades : siMETRO{\displaystyle M}ynorte{\displaystyle N}son variedades topológicas n -dimensionales sin frontera yF:METRO→norte{\displaystyle f:M\to N}es un mapa continuo que es localmente uno a uno (lo que significa que cada punto enMETRO{\displaystyle M}tiene un vecindario tal queF{\displaystyle f}restringido a este vecindario es inyectivo), entoncesF{\displaystyle f}es un mapa abierto (lo que significa queF(U){\displaystyle f(U)}está abierto ennorte{\displaystyle N}cuando seaU{\displaystyle U}es un subconjunto abierto deMETRO{\displaystyle M}) y un homeomorfismo local .

También existen generalizaciones a ciertos tipos de aplicaciones continuas de un espacio de Banach a sí mismo. [ 2 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Brouwer LEJ Beweis der Invarianz desnorte{\displaystyle n}-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), páginas 305–315; ver también 72 (1912), páginas 55–56
  2. ^ Leray J. Topología de los espacios abstractos de M. Banach. CR Acad. Ciencia. París , 200 (1935) páginas 1083-1093

Referencias

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  • Hilton, Peter J .; Wylie, Shaun (1960). Teoría de la homología: Una introducción a la topología algebraica . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 0521094224. MR 0115161 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
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