Línea proyectiva sobre un anillo

En matemáticas , la recta proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de recta proyectiva sobre un cuerpo . Dado un anillo A (con 1), la recta proyectiva P ¹ ( A ) sobre A consta de puntos identificados por coordenadas proyectivas . Sea A ^× el grupo de unidades de A ; los pares ( a , b ) y ( c , d ) de A × A están relacionados cuando hay un u en A ^× tal que ua = c y ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U [ a , b ] .

P ¹ ( A ) = { U [ a , b ] | aA + bA = A } , es decir, U [ a , b ] está en la línea proyectiva si el ideal unilateral generado por a y b es todo A . 

La recta proyectiva P ¹ ( A ) está equipada con un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo matricial sobre A y su grupo de unidades V de la siguiente manera: Si c está en Z( A ^× ), el centro de A ^× , entonces la acción de grupo de la matriz${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)}$La acción sobre P ¹ ( A ) es la misma que la acción de la matriz identidad. Dichas matrices representan un subgrupo normal N de V . Las homografías de P ¹ ( A ) corresponden a elementos del grupo cociente V / N .

P ¹ ( A ) se considera una extensión del anillo A ya que contiene una copia de A debido a la incrustación E  : a → U [ a , 1] . La aplicación inversa multiplicativa u → 1/ u , normalmente restringida a A ^× , se expresa mediante una homografía en P ¹ ( A ):

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}$

Además, para u , v ∈ A ^× , la aplicación a → uav puede extenderse a una homografía:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}$

Dado que u es arbitrario, puede sustituirse por u ⁻¹ . Las homografías en P ¹ ( A ) se denominan transformaciones lineales fraccionarias ya que

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

Los anillos que son cuerpos son los más conocidos: La recta proyectiva sobre GF(2) tiene tres elementos: U [0, 1] , U [1, 0] , y U [1, 1] . Su grupo de homografía es el grupo de permutaciones sobre estos tres. ^{[ 1 ] : 29}

El anillo Z / 3 Z , o GF(3), tiene los elementos 1, 0 y −1; su línea proyectiva tiene los cuatro elementos U [1, 0] , U [1, 1] , U [0, 1] , U [1, −1] ya que tanto 1 como −1 son unidades . El grupo de homografía en esta línea proyectiva tiene 12 elementos, también descritos con matrices o como permutaciones. ^{[ 1 ] : 31} Para un cuerpo finito GF( q ), la línea proyectiva es la geometría de Galois PG(1, q ) . JWP Hirschfeld ha descrito las tétradas armónicas en las líneas proyectivas para q = 4, 5, 7, 8, 9. ^{[ 2 ]}

La línea proyectiva P ¹ ( A ) sobre un anillo A también puede identificarse como el espacio de módulos proyectivos en el módulo A ⊕ A . Un elemento de P ¹ ( A ) es entonces un sumando directo de A ⊕ A . Este enfoque más abstracto sigue la visión de la geometría proyectiva como la geometría de subespacios de un espacio vectorial , a veces asociada con la teoría de retículos de Garrett Birkhoff ^{[ 8 ]} o el libro Álgebra lineal y geometría proyectiva de Reinhold Baer . En el caso del anillo de enteros racionales Z , la definición de sumando de módulo de P ¹ ( Z ) restringe la atención a U [ m , n ] , m coprimo con n , y elimina las incrustaciones que son una característica principal de P ¹ ( A ) cuando A es topológico. El artículo de 1981 de W. Benz, Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer menciona la definición de sumando directo.

En un artículo titulado "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos" ^{[ 9 ],} _se utiliza el grupo de unidades de un anillo matricial M₂ ( R ) y los conceptos de módulo y bimódulo para definir una línea proyectiva sobre un anillo. El grupo de unidades se denota por GL(2, R ) , adoptando la notación del grupo lineal general , donde R se suele considerar un cuerpo.

La línea proyectiva es el conjunto de órbitas bajo GL(2, R ) del submódulo cíclico libre R (1, 0) de R × R . Extendiendo la teoría conmutativa de Benz, la existencia de un inverso multiplicativo derecho o izquierdo de un elemento de anillo está relacionada con P ¹ ( R ) y GL(2, R ) . Se caracteriza la propiedad de finitud de Dedekind . Lo más significativo es que la representación de P ¹ ( R ) en un espacio proyectivo sobre un anillo de división K se logra con un bimódulo ( K ​​, R ) U que es un espacio vectorial izquierdo K y un módulo derecho R. Los puntos de P ¹ ( R ) son subespacios de P ¹ ( K , U × U ) isomorfos a sus complementos.

Una homografía h que toma tres elementos particulares del anillo a , b , c a los puntos de la línea proyectiva U [0, 1] , U [1, 1] , U [1, 0] se llama homografía de razón cruzada . A veces ^{[ 10 ] [ 11 ]} la razón cruzada se toma como el valor de h en un cuarto punto x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Para construir h a partir de a , b , c las homografías generadoras

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

se utilizan, prestando atención a los puntos fijos : +1 y −1 están fijos bajo inversión, U [1, 0] está fijo bajo traslación, y la "rotación" con u deja U [0, 1] y U [1, 0] fijos. Las instrucciones son colocar c primero, luego llevar a a U [0, 1] con traslación, y finalmente usar rotación para mover b a U [1, 1] .

Lema: Si A es un anillo conmutativo y b − a , c − b , c − a son todas unidades, entonces ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es una unidad.

Prueba: Evidentemente${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$es una unidad, según se requiera.

Teorema: Si ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es una unidad, entonces existe una homografía h en G( A ) tal que

h ( a ) = U [0, 1] , h ( b ) = U [1, 1] , y h ( c ) = U [1, 0] .

Demostración: El punto p = ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es la imagen de b después de que a se puso a 0 y luego se invirtió a U [1, 0] , y la imagen de c se llevó a U [0, 1] . Como p es una unidad, su inversa utilizada en una rotación moverá p a U [1, 1] , lo que resulta en que a , b , c estén todos correctamente colocados. El lema se refiere a condiciones suficientes para la existencia de h .

Una aplicación de la razón cruzada define el conjugado armónico proyectivo de una terna a , b , c como el elemento x que satisface ( x , a , b , c ) = −1 . Dicha cuaternión es una tétrada armónica . Las tétradas armónicas en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito GF( q ) se utilizaron en 1954 para delimitar los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7 y 9, y demostrar isomorfismos accidentales . ^{[ 12 ]}

La recta real en el plano complejo se permuta con círculos y otras rectas reales bajo transformaciones de Möbius , que en realidad permutan la incrustación canónica de la recta proyectiva real en la recta proyectiva compleja . Supongamos que A es un álgebra sobre un cuerpo F , generalizando el caso donde F es el cuerpo de los números reales y A es el cuerpo de los números complejos. La incrustación canónica de P ¹ ( F ) en P ¹ ( A ) es

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

Una cadena es la imagen de P ¹ ( F ) bajo una homografía en P ¹ ( A ). Cuatro puntos están en una cadena si y solo si su razón antagónica está en F . Karl von Staudt explotó esta propiedad en su teoría de los "trazos reales" [reeler Zug]. ^{[ 13 ]}

August Ferdinand Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su libro Cálculo baricéntrico (1827) y su artículo de 1855 "Teoría de la relación de círculos en una representación geométrica". A Karl Wilhelm Feuerbach y Julius Plücker también se les atribuye la creación del uso de coordenadas homogéneas. Eduard Study en 1898 y Élie Cartan en 1908 escribieron artículos sobre números hipercomplejos para las Enciclopedias de Matemáticas alemana y francesa , respectivamente, donde utilizan estas aritméticas con transformaciones fraccionarias lineales imitando las de Möbius. En 1902, Theodore Vahlen contribuyó con un artículo breve pero bien documentado que exploraba algunas transformaciones fraccionarias lineales de un álgebra de Clifford . ^{[ 15 ]} El anillo de números duales D le dio a Josef Grünwald la oportunidad de exhibir P ¹ ( D ) en 1906. ^{[ 4 ]} Corrado Segre (1912) continuó el desarrollo con ese anillo. ^{[ 5 ]}

Arthur Conway , uno de los primeros en adoptar la relatividad mediante transformaciones de bicuaterniones , consideró la transformación cuaternión-multiplicativa-inversa en su estudio de relatividad de 1911. ^{[ 16 ]} En 1947, PG Gormley describió algunos elementos de la geometría cuaterniónica inversiva en Irlanda. ^{[ 17 ]} En 1968, apareció en inglés el libro de Isaak Yaglom , Complex Numbers in Geometry , traducido del ruso. Allí utiliza P ¹ ( D ) para describir la geometría de líneas en el plano euclidiano y P ¹ ( M ) para describirla en el plano de Lobachevski. El texto de Yaglom, A Simple Non-Euclidean Geometry, apareció en inglés en 1979. Allí, en las páginas 174 a 200, desarrolla la geometría minkowskiana y describe P ¹ ( M ) como el "plano minkowski inversivo". El original ruso del texto de Yaglom se publicó en 1969. Entre las dos ediciones, Walter Benz (1973) publicó su libro, ^{[ 7 ]} que incluía las coordenadas homogéneas tomadas de M . 

• El huerto de Euclides

• Mitod Saniga (2006) Líneas proyectivas sobre anillos finitos (pdf) del Instituto Astronómico de la Academia Eslovaca de Ciencias