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Isomorfismo

El grupo de raíces quintas de la unidad bajo la multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo la composición. En matemáticas , un isomorfismo es u...

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Quintas raíces de la unidad
Rotaciones de un pentágono
El grupo de raíces quintas de la unidad bajo la multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo la composición.

En matemáticas , un isomorfismo es una aplicación o morfismo que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo y que puede ser revertido por una aplicación inversa . Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas, y esto a menudo se denota como ⁠A≅B{\displaystyle A\cong B}⁠ . La palabra se deriva del griego antiguo ἴσος ( isos ) ' igual ' y μορφή ( morphe ) ' forma, figura ' .  

El interés en los isomorfismos radica en que dos objetos isomorfos poseen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como la estructura o los nombres de los objetos). Por lo tanto, las estructuras isomorfas no pueden distinguirse únicamente desde el punto de vista estructural, y a menudo pueden identificarse. En jerga matemática , se dice que dos objetos son iguales salvo isomorfismo. Un ejemplo común donde las estructuras isomorfas no pueden identificarse es cuando son subestructuras de una estructura mayor. Por ejemplo, todos los subespacios de dimensión uno de un espacio vectorial son isomorfos y no pueden identificarse.

Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí misma. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (una aplicación canónica que es un isomorfismo) si solo existe un isomorfismo entre las dos estructuras (como ocurre con las soluciones de una propiedad universal ), o si el isomorfismo es mucho más natural (en cierto sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo p , todos los cuerpos con p elementos son canónicamente isomorfos, con un único isomorfismo. Los teoremas de isomorfismo proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.

El término isomorfismo se utiliza principalmente para estructuras y categorías algebraicas . En el caso de las estructuras algebraicas, las aplicaciones se denominan homomorfismos , y un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .

En diversas áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, dependiendo del tipo de estructura que se esté considerando. Por ejemplo:

La teoría de categorías , que puede considerarse una formalización del concepto de correspondencia entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede utilizarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.

Ejemplos

Logaritmo y exponencial

DejarR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}Sea el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y seaR{\displaystyle \mathbb {R} }sea ​​el grupo aditivo de los números reales.

La función logaritmoregistro:R+→R{\displaystyle \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } satisfaceregistro⁡(incógnitay)=registro⁡incógnita+registro⁡y{\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}a pesar deincógnita,y∈R+,{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+},}por lo tanto es un homomorfismo de grupo . La función exponencialexp:R→R+{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} satisfaceexp⁡(incógnita+y)=(exp⁡incógnita)(exp⁡y){\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}a pesar deincógnita,y∈R,{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}Por lo tanto, también es un homomorfismo.

Las identidadesregistro⁡exp⁡incógnita=incógnita{\displaystyle \log \exp x=x}yexp⁡registro⁡y=y{\displaystyle \exp \log y=y}mostrar queregistro{\displaystyle \log }yexp{\displaystyle \exp }son inversas entre sí. Entonces, exp:R→R+yregistro:R+→R{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}\quad {\text{y}}\quad \log  :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } son isomorfismos de grupo que son inversos entre sí.

Elregistro{\displaystyle \log }La función es un isomorfismo que transforma la multiplicación de números reales positivos en suma de números reales. Esta facilidad permite multiplicar números reales utilizando una regla y una tabla de logaritmos , o bien una regla de cálculo con escala logarítmica.

Enteros módulo 6

Consideremos el anilloZ6{\displaystyle \mathbb {Z} _ {6}}de los enteros del 0 al 5 con suma y multiplicación módulo  6. Considere también el anilloZ2×Z3{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}}de los pares ordenados donde el primer elemento es un entero módulo 2 y el segundo elemento es un entero módulo 3, con suma y multiplicación componente a componente módulo 2 y 3.

Estos anillos son isomorfos bajo la siguiente transformación: (0,0)↦0(1,1)↦1(0,2)↦2(1,0)↦3(0,1)↦4(1,2)↦5{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}} o en general(a,b)↦(3a+4b)mod6.{\displaystyle (a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.}

Por ejemplo,(1,1)+(1,0)=(0,1),{\displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}lo cual se traduce en el otro sistema como1+3=4.{\displaystyle 1+3=4.}

Este es un caso especial del teorema chino del resto que afirma que, si ⁠metro{\displaystyle m}y​​norte{\displaystyle n}⁠ son enteros coprimos , el anillo de los enteros módulo ⁠metronorte{\displaystyle mn}es isomorfo al producto directo de los enteros módulometro{\displaystyle m}y los enteros módulonorte{\displaystyle n}⁠ .

isomorfismo que preserva la relación

Si un objeto consiste en un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consiste en un conjunto Y con una relación binaria S, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva.F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de tal manera que: [ 1 ]S⁡(F(tú),F(v)) si y solo si R⁡(tú,v){\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ si y solo si }}\quad \operatorname {R} (u,v)}

S es reflexivo , irreflexivo , simétrico , antisimétrico , asimétrico , transitivo , total , tricotómico , un orden parcial , un orden total , un buen orden , un orden débil estricto , un preorden total (orden débil), una relación de equivalencia o una relación con cualquier otra propiedad especial, si y solo si R lo es.

Por ejemplo, R es un ordenamiento ≤ y S un ordenamiento⊑,{\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,}entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectivaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de tal manera que F(tú)⊑F(v) si y solo si tú≤v.{\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ si y solo si }}\quad u\leq v.} Dicho isomorfismo se denomina isomorfismo de orden o (menos comúnmente) isomorfismo isotónico .

Siincógnita=Y,{\displaystyle X=Y,}entonces se trata de un automorfismo que preserva la relación .

Aplicaciones

En álgebra , los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas . Algunos se estudian de forma más específica; por ejemplo:

Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Si un isomorfismo particular identifica las dos estructuras, este montón se convierte en un grupo.

En análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que transforma ecuaciones diferenciales complejas en ecuaciones algebraicas más sencillas .

En teoría de grafos , un isomorfismo entre dos grafos G y H es una aplicación biyectiva f de los vértices de G a los vértices de H que preserva la "estructura de aristas" en el sentido de que hay una arista del vértice u al vértice v en G si y solo si hay una arista del vértice u al vértice v en G.F(tú){\displaystyle f(u)}aF(v){\displaystyle f(v)}en H. Véase isomorfismo de grafos .

En teoría del orden , un isomorfismo entre dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q es una aplicación biyectiva.F{\displaystyle f}de P a Q que preserva la estructura de orden en el sentido de que para cualquier elementoincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}de P tenemosincógnita{\displaystyle x}menos quey{\displaystyle y}en P si y solo siF(incógnita){\displaystyle f(x)}es menor queF(y){\displaystyle f(y)}en Q. Como ejemplo, el conjunto {1,2,3,6} de números enteros ordenados por la relación "es un factor de" es isomorfo al conjunto { O , A , B , AB } de tipos de sangre ordenados por la relación "puede donar a" . Véase isomorfismo de orden .

En análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que preserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.

En las primeras teorías del atomismo lógico , Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre hechos y proposiciones verdaderas era isomorfa. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la filosofía matemática de Russell .

En cibernética , el teorema del buen regulador o teorema de Conant-Ashby se enuncia como: «Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema». Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes de procesamiento del sistema.

Visión teórica de categorías

En teoría de categorías , dada una categoría C , un isomorfismo es un morfismo.F:a→b{\displaystyle f:a\to b}que tiene un morfismo inversogramo:b→a,{\displaystyle g:b\to a,}eso es,Fgramo=1b{\displaystyle fg=1_{b}}ygramoF=1a.{\displaystyle gf=1_{a}.}

Dos categorías C y D son isomorfas si existen functores.F:do→D{\displaystyle F:C\to D}yGRAMO:D→do{\displaystyle G:D\to C}que son mutuamente inversas entre sí, es decir,FGRAMO=1D{\displaystyle FG=1_{D}}(el functor identidad en D ) yGRAMOF=1do{\displaystyle GF=1_{C}}(el functor identidad en C ).

Isomorfismo frente a morfismo biyectivo

En una categoría concreta (aproximadamente, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura adicional) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o las categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos , la categoría de anillos y la categoría de módulos ), un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes . En las categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido del álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en los conjuntos subyacentes. Sin embargo, hay categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos ).

Clases de isomorfismo

Dado que una composición de isomorfismos es un isomorfismo, la identidad es un isomorfismo y la inversa de un isomorfismo es un isomorfismo, la relación de que dos objetos matemáticos son isomorfos es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia dada por isomorfismos se denomina comúnmente clase de isomorfismo . [ 2 ]

Ejemplos

En matemáticas abundan los ejemplos de clases de isomorfismo.

Sin embargo, existen circunstancias en las que la clase de isomorfismo de un objeto oculta información vital sobre él.

  • Dada una estructura matemática , es común que dos subestructuras pertenezcan a la misma clase de isomorfismo. Sin embargo, si se identifican, no se puede estudiar cómo se integran en la estructura completa. Por ejemplo, en un espacio vectorial de dimensión finita, todos los subespacios de la misma dimensión son isomorfos, pero deben distinguirse para considerar su intersección, suma, etc.
  • En la teoría de la homotopía , el grupo fundamental de un espacioincógnita{\displaystyle X}en un puntopag{\displaystyle p}, aunque técnicamente se denotaπ1(incógnita,pag){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}para enfatizar la dependencia del punto base, a menudo se escribe de forma perezosa como simplementeπ1(incógnita){\displaystyle \pi _{1}(X)}siincógnita{\displaystyle X}es un camino conectado . La razón de esto es que la existencia de un camino entre dos puntos permite identificar bucles en uno con bucles en el otro; sin embargo, a menos queπ1(incógnita,pag){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}es abeliano este isomorfismo no es único. Además, la clasificación de espacios recubridores hace referencia estricta a subgrupos particulares deπ1(incógnita,pag){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}, específicamente al distinguir entre subgrupos isomorfos pero conjugados , y por lo tanto al amalgamar los elementos de una clase de isomorfismo en un solo objeto sin características distintivas, disminuye seriamente el nivel de detalle que proporciona la teoría.

Relación con la igualdad

Aunque existen casos en los que los objetos isomorfos pueden considerarse iguales, es necesario distinguir entre igualdad e isomorfismo . [ 3 ] La igualdad se da cuando dos objetos son idénticos y, por lo tanto, todo lo que es cierto sobre un objeto es cierto sobre el otro. Por otro lado, los isomorfismos están relacionados con alguna estructura, y dos objetos isomorfos comparten únicamente las propiedades relacionadas con dicha estructura.

Por ejemplo, los conjuntos A={incógnita∈Z∣incógnita2<2} y B={−1,0,1}{\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ y }}\quad B=\{-1,0,1\}} son iguales ; son simplemente representaciones diferentes —la primera una intensional (en notación de construcción de conjuntos ) y la segunda extensional (por enumeración explícita)— del mismo subconjunto de los enteros. Por el contrario, los conjuntos{4,5,6}{\displaystyle \{4,5,6\}}y{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}}no son iguales ya que no tienen los mismos elementos. Son isomorfos como conjuntos, pero hay muchas opciones (de hecho 6) de un isomorfismo entre ellos: un isomorfismo es

4↦1,5↦2,6↦3,{\displaystyle {\text{4}}\mapsto 1,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 3,}

mientras que otro es

4↦3,5↦2,6↦1,{\displaystyle {\text{4}}\mapsto 3,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 1,}

y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. [ nota 1 ]

Además, los números enteros y pares son isomorfos como conjuntos ordenados y grupos abelianos (para la suma), pero no pueden considerarse conjuntos iguales, ya que uno es un subconjunto propio del otro.

Por otro lado, cuando los conjuntos (u otros objetos matemáticos ) se especifican únicamente por sus propiedades, a menudo se consideran iguales dos realizaciones concretas diferentes y se utiliza el signo de igualdad = para identificarlas, incluso si los conjuntos que surgen de estas construcciones contienen elementos que no son iguales desde el punto de vista de la teoría de conjuntos (o, en algunos casos, ni siquiera comparables). Este es generalmente el caso de los objetos definidos por propiedades universales . Por ejemplo, los anillos de polinomios .Z[incógnita,Y]{\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]},​​(Z[incógnita])[Y]{\displaystyle (\mathbb {Z} [X])[Y]}y​​(Z[Y])[incógnita]{\displaystyle (\mathbb {Z} [Y])[X]}Se consideran iguales, ya que todas satisfacen la misma propiedad universal. Como otro ejemplo, las localizaciones de anillosRF{\displaystyle R_{f}},RF2{\displaystyle R_{f^{2}}}, yR[incógnita]/(1−Fincógnita){\displaystyle R[X]/(1-fX)}Se consideran iguales por la misma razón. En estos ejemplos, los objetos "iguales" contienen elementos que no son idénticos desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, por lo que no son iguales en este sentido estricto. Sin embargo, dado que son únicos salvo isomorfismo único, pueden identificarse canónicamente y tratarse como el mismo objeto matemático.

Cuando los objetos definidos por sus propiedades se equiparan de esta manera, podemos hablar de ellos como entidades únicas (por ejemplo, el grupo de Klein de cuatro dimensiones o los números complejos), aunque dos personas puedan tener diferentes construcciones o realizaciones en mente. Los números racionales , por ejemplo, se definen formalmente como clases de equivalencia de pares de enteros. La propiedad universal de los números racionales es esencialmente que forman un cuerpo que contiene los enteros y no contiene ningún subcuerpo propio. Dados dos cuerpos con estas propiedades, existe un isomorfismo de cuerpos único entre ellos. Esto permite identificar estos dos cuerpos, ya que cada propiedad de uno de ellos puede transferirse al otro mediante el isomorfismo. Los números reales que pueden expresarse como cociente de enteros forman el subcuerpo más pequeño de los reales. Existe, por lo tanto, un isomorfismo único de este subcuerpo de los reales a los números racionales definidos por clases de equivalencia. Así, los números racionales pueden identificarse con los elementos de un subconjunto de los números reales. Sin embargo, en algunos contextos esta identificación no está permitida. Por ejemplo, en los lenguajes de programación y la teoría de tipos , los números reales y los números racionales tienen representaciones diferentes, y la identificación debe reemplazarse con una conversión de tipo .

Notación

La notación más común para indicar que dos objetos A y B son isomorfos esA≅B{\displaystyle A\cong B}y siF:A→B{\displaystyle f:A\to B}Si A se mapea isomorfamente a B , entonces también se puede escribirF:A⟶∼B{\displaystyle f:A\;{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\;B}Sin embargo, dependiendo del contexto, algunos autores también pueden usar símbolos que incluyen≃{\displaystyle \simeq }, o≈{\displaystyle \approx }para denotar un isomorfismo.

Véase también

Notas

  1. ↑4,5,6{\displaystyle 4,5,6}y​1,2,3{\displaystyle 1,2,3}Tienen ambos el orden usual de los enteros. Vistos como conjuntos ordenados, solo hay un isomorfismo entre ellos, a saber: 4↦1,5↦2,6↦3.{\displaystyle 4\mapsto 1,5\mapsto 2,6\mapsto 3.}

Referencias

  1. ↑ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra . Sociedad Matemática Americana. pág.  3. ISBN 9780821834138.
  2. ↑ Awodey, Steve (2006). "Isomorfismos" . Teoría de categorías . Oxford University Press. pág. 11. ISBN  9780198568612.
  3. ↑ Mazur 2007

Lecturas adicionales

  • Buzzard, Kevin (16 de mayo de 2024), El uso de la igualdad por parte de Grothendieck
  • Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿ Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF)