Lista de grupos finitos simples

En matemáticas , la clasificación de los grupos finitos simples establece que todo grupo finito simple es cíclico , o alterno , o pertenece a una de las 16 familias de grupos de tipo Lie , o a uno de los 26 grupos esporádicos .

La siguiente lista proporciona todos los grupos simples finitos, junto con su orden , el tamaño del multiplicador de Schur , el tamaño del grupo de automorfismo externo , generalmente algunas representaciones pequeñas y listas de todos los duplicados.

La siguiente tabla es una lista completa de las 18 familias de grupos finitos simples y los 26 grupos esporádicos simples, junto con sus órdenes. Se enumeran todos los miembros no simples de cada familia, así como todos los miembros duplicados dentro de una familia o entre familias. (Al eliminar duplicados, es útil notar que no hay dos grupos finitos simples que tengan el mismo orden, excepto que el grupo A ₈  =  A ₃ (2) y A ₂ (4) tienen ambos orden 20160, y que el grupo B _n ( q ) tiene el mismo orden que C _n ( q ) para q impar, n  > 2. Los más pequeños de los últimos pares de grupos son B ₃ (3) y C ₃ (3) que tienen ambos orden 4585351680.)

Existe un desafortunado conflicto entre las notaciones para los grupos alternados A _n y los grupos de tipo Lie A _n ( q ). Algunos autores utilizan distintas fuentes para A _n con el fin de distinguirlos. En particular, en este artículo hacemos la distinción poniendo los grupos alternados A _n en fuente Roman y los grupos de tipo Lie A _n ( q ) en cursiva.

En lo que sigue, n es un entero positivo y q es una potencia positiva de un número primo p , con las restricciones señaladas. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b .

Simplicidad: Simple para p un número primo.

Orden: p

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Cíclico de orden p  − 1.

Otros nombres: Z/ p Z, C _p

Observaciones: Estos son los únicos grupos simples que no son perfectos .

Simplicidad: resoluble para n ≤ 4, de lo contrario simple.

Orden: n !/2 cuando n  > 1.

Multiplicador de Schur: 2 para n  = 5 o n  > 7, 6 para n  = 6 o 7; véase Grupos de cobertura de los grupos alternados y simétricos

Grupo de automorfismos externos: En general 2. Excepciones: para n  = 1, n  = 2, es trivial, y para n  = 6 , tiene orden 4 (abeliano elemental).

Otros nombres: Alt _n .

Isomorfismos: A ₁ y A ₂ son triviales. A ₃ es cíclico de orden 3. A ₄ es isomorfo a A ₁ (3) (resoluble). A ₅ es isomorfo a A ₁ (4) y a A ₁ (5). A ₆ es isomorfo a A ₁ (9) y al grupo derivado B ₂ (2)′. A ₈ es isomorfo a A ₃ (2).

Observaciones: Un subgrupo de índice 2 del grupo simétrico de permutaciones de n puntos cuando n  > 1.

Notación: n es un entero positivo, q > 1 es una potencia de un número primo p , y es el orden de algún cuerpo finito subyacente . El orden del grupo de automorfismos externos se escribe como d ⋅ f ⋅ g , donde d es el orden del grupo de "automorfismos diagonales", f es el orden del grupo (cíclico) de "automorfismos de cuerpo" (generado por un automorfismo de Frobenius ), y g es el orden del grupo de "automorfismos de grafo" (que proviene de los automorfismos del diagrama de Dynkin ). El grupo de automorfismos externos es a menudo, pero no siempre, isomorfo al producto semidirecto donde todos estos grupos son cíclicos de los respectivos órdenes d, f, g , excepto para el tipo , impar, donde el grupo de orden es , y (solo cuando ) , el grupo simétrico en tres elementos. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b . ${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$${\displaystyle D,F,G}$${\displaystyle D_{n}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle G=S_{3}}$

Simplicidad: Simple para n ≥ 1. El grupo ² B ₂ (2) es solucionable.

Orden: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1), donde q  = 2 ^{2 n +1} .

Multiplicador de Schur: Trivial para n ≠ 1, abeliano elemental de orden 4 para ² B ₂ (8).

Grupo de automorfismos externos:

1⋅ f⋅1 ,

donde f  = 2 n + 1.

Otros nombres: Suz(2 ^{2 n +1} ), Sz(2 ^{2 n +1} ).

Isomorfismos: ² B ₂ (2) es el grupo de Frobenius de orden 20.

Observaciones: Los grupos de Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 ^{2 n +1} ) ²  + 1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el cuerpo con 2 ^{2 n +1} elementos. Son los únicos grupos simples no cíclicos cuyo orden no es divisible por 3. No están relacionados con el grupo de Suzuki esporádico.

Simplicidad: Simple para n  ≥ 1. El grupo derivado ² F ₄ (2)′ es simple de índice 2 en ² F ₄ (2), y se llama grupo de Tits , llamado así por el matemático belga Jacques Tits .

Orden: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1), donde q  = 2 ^{2 n +1} .

El grupo de las Tetas tiene orden 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥ 1 y para el grupo Tits.

Grupo de automorfismos externos:

1⋅ f⋅1 ,

donde f  = 2 n  + 1. Orden 2 para el grupo Tits.

Observaciones: A diferencia de los otros grupos simples de tipo Lie, el grupo Tits no tiene un par BN , aunque su grupo de automorfismo sí lo tiene, por lo que la mayoría de los autores lo cuentan como una especie de grupo honorario de tipo Lie.

Simplicidad: Simple para n  ≥ 1. El grupo ² G ₂ (3) no es simple, pero su grupo derivado ² G ₂ (3)′ es un subgrupo simple de índice 3.

Orden: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1), donde q  = 3 ^{2 n +1}

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥ 1 y para ² G ₂ (3)′.

Grupo de automorfismos externos:

1⋅ f⋅1 ,

donde f  = 2 n  + 1.

Otros nombres: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) .

Isomorfismos: El grupo derivado ² G ₂ (3)′ es isomorfo a A ₁ (8).

Observaciones: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 3 ^{3(2 n +1)}  + 1 puntos y actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 ^{2 n +1} elementos.

Orden: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de Higman Sims con 100 puntos, y está contenido en Co ₂ y en Co ₃ .

Orden: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de McLaughlin con 275 puntos y está contenido en Co ₂ y en Co ₃ .

Orden: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: grupo Held–Higman–McKay, HHM, F ₇ , HTH

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo de monstruos.

Orden: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Observaciones: La doble cubierta actúa sobre una red de 28 dimensiones sobre los enteros gaussianos .

Orden: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Multiplicador de Schur: Orden 6.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: Sz

Observaciones: La cubierta de 6 pliegues actúa sobre una red de 12 dimensiones sobre los números enteros de Eisenstein . No está relacionada con los grupos de Suzuki de tipo Lie.

Orden: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: grupo O'Nan–Sims, O'NS, O–S

Observaciones: La triple cubierta tiene dos representaciones de 45 dimensiones sobre el campo con 7 elementos, intercambiados por un automorfismo externo.

Orden: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: F ₅ , D

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 5 en el grupo de monstruos.

Orden: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: grupo Lyons-Sims, LyS

Observaciones: Tiene una representación de 111 dimensiones sobre el campo con 5 elementos.

Orden: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₃ , E

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 3 en el monstruo. Tiene una representación de 248 dimensiones que, al reducirse módulo 3, conduce a la contención en E ₈ (3).

Orden:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₂

Observaciones: La doble cubierta está contenida en el grupo monstruo. Tiene una representación de dimensión 4371 sobre los números complejos (sin producto invariante no trivial) y una representación de dimensión 4370 sobre el cuerpo con 2 elementos que conserva un producto conmutativo pero no asociativo.

Orden:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Multiplicador de Schur: trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₁ , M ₁ , Grupo de monstruos, Gigante amistoso, Monstruo de Fischer.

Observaciones: Contiene todos los grupos esporádicos excepto 6 como subcocientes. Relacionado con la luz de luna monstruosa . El monstruo es el grupo de automorfismos del álgebra de Griess de 196.883 dimensiones y del álgebra de operadores de vértices de monstruos de dimensión infinita , y actúa naturalmente sobre el álgebra de Lie de monstruos .

(Completar para pedidos inferiores a 100.000)

Hall (1972) enumera los 56 grupos simples no cíclicos de orden menor a un millón.

• Lista de grupos pequeños

• Grupos simples de tipo Lie de Roger W. Carter , ISBN 0-471-50683-4 
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; y Wilson, RA : " Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples ". Oxford, Inglaterra 1985.
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon La clasificación de los grupos finitos simples (volumen 1), AMS, 1994 (volumen 3), AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), "Grupos simples de orden inferior a un millón", Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN  0021-8693, MR  0285603
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos finitos simples , Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Atlas de representaciones de grupos finitos: contiene representaciones y otros datos para muchos grupos finitos simples, incluidos los grupos esporádicos.
• Órdenes de grupos simples no abelianos hasta 10 ¹⁰ , y hasta 10 ⁴⁸ con restricciones de rango.

• Órdenes de grupos simples no abelianos hasta el orden 10.000.000.000.