Localización (álgebra conmutativa)

La localización se realiza comúnmente con respecto a un conjunto multiplicativamente cerrado S (también llamado conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo ) de elementos de un anillo R , que es un subconjunto de R que es cerrado bajo la multiplicación y contiene 1 .

El requisito de que S sea un conjunto multiplicativo es natural, puesto que implica que todos los denominadores introducidos por la localización pertenecen a S. La localización mediante un conjunto U que no sea multiplicativamente cerrado también puede definirse tomando como denominadores posibles todos los productos de elementos de U. Sin embargo, la misma localización se obtiene utilizando el conjunto multiplicativamente cerrado S de todos los productos de elementos de U. Dado que esto suele simplificar el razonamiento y la notación, es práctica habitual considerar únicamente localizaciones mediante conjuntos multiplicativos.

Por ejemplo, la localización por un único elemento s introduce fracciones de la forma${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$pero también productos de tales fracciones, como ${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$Por lo tanto, los denominadores pertenecerán al conjunto multiplicativo.${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$de las potencias de s . Por lo tanto, generalmente se habla de "la localización por potencias de un elemento" en lugar de "la localización por un elemento".

La localización de un anillo R mediante un conjunto multiplicativo S se denota generalmente${\displaystyle S^{-1}R,}$pero otras notaciones se utilizan comúnmente en algunos casos especiales: si${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$consiste en las potencias de un solo elemento,${\displaystyle S^{-1}R}$a menudo se denota${\displaystyle R_{t};}$si${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$es el complemento de un ideal primario${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, entonces${\displaystyle S^{-1}R}$se denota${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

En el resto de este artículo, solo se consideran localizaciones mediante un conjunto multiplicativo.

Cuando el anillo R es un dominio de integridad y S no contiene 0 , el anillo${\displaystyle S^{-1}R}$es un subanillo del campo de fracciones de R. Como tal, la localización de un dominio es un dominio.

Más precisamente, es el subanillo del campo de fracciones de R , que consta de las fracciones${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$de tal manera que${\displaystyle s\in S.}$Este es un subanillo ya que la suma${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$y el producto${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$de dos elementos de${\displaystyle S^{-1}R}$están en${\displaystyle S^{-1}R.}$Esto resulta de la propiedad definitoria de un conjunto multiplicativo, lo que implica también que${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$En este caso, R es un subanillo de${\displaystyle S^{-1}R.}$A continuación se muestra que esto ya no es cierto en general, típicamente cuando S contiene divisores cero .

Por ejemplo, las fracciones decimales son la localización del anillo de enteros por el conjunto multiplicativo de las potencias de diez. En este caso,${\displaystyle S^{-1}R}$consta de los números racionales que se pueden escribir como${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$donde n es un número entero y k es un número entero no negativo.

En el caso general, surge un problema con los divisores de cero . Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R. Supongamos que${\displaystyle s\in S,}$y${\displaystyle 0\neq a\in R}$es un divisor cero con${\displaystyle como=0.}$Entonces${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$es la imagen en${\displaystyle S^{-1}R}$de${\displaystyle a\in R,}$y uno tiene${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$Por lo tanto, algunos elementos no nulos de R deben ser cero en${\displaystyle S^{-1}R.}$La construcción que se describe a continuación está diseñada teniendo esto en cuenta.

Dados R y S como se indicó anteriormente, se considera la relación de equivalencia en${\displaystyle R\times S}$que se define por${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$si existe un${\displaystyle t\in S}$de tal manera que${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

La localización${\displaystyle S^{-1}R}$se define como el conjunto de clases de equivalencia para esta relación. La clase de ( r , s ) se denota como${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$${\displaystyle r/s,}$o${\displaystyle s^{-1}r.}$Entonces, uno tiene${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$si y solo si hay una${\displaystyle t\in S}$de tal manera que${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$La razón de la${\displaystyle t}$es para manejar casos como el anterior${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$dónde${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$es distinto de cero aunque las fracciones deben considerarse iguales.

La localización${\displaystyle S^{-1}R}$es un anillo conmutativo con adición

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

multiplicación

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

identidad aditiva${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$y la identidad multiplicativa${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

La función

${\displaystyle j:r\mapsto {\frac {r}{1}},}$

conocido como el mapa de localización canónico , define un homomorfismo de anillo a partir de${\displaystyle R}$en${\displaystyle S^{-1}R,}$que es inyectiva si y solo si S no contiene ningún divisor de cero.

Si${\displaystyle 0\in S,}$entonces${\displaystyle S^{-1}R}$es el anillo cero que tiene un único elemento único 0 .

Si S es el conjunto de todos los elementos regulares de R (es decir, los elementos que no son divisores de cero),${\displaystyle S^{-1}R}$se denomina anillo total de fracciones de R.

El homomorfismo de anillos (definido anteriormente)${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$satisface una propiedad universal que se describe a continuación. Esto caracteriza${\displaystyle S^{-1}R}$salvo isomorfismo . Por lo tanto, todas las propiedades de las localizaciones pueden deducirse de la propiedad universal, independientemente de cómo se hayan construido. Además, muchas propiedades importantes de la localización se deducen fácilmente de las propiedades generales de las propiedades universales, mientras que su demostración directa puede ser más técnica.

La propiedad universal satisfecha por${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$es lo siguiente:

Si ${\displaystyle f\colon R\to T}$es un homomorfismo de anillos que asigna a cada elemento de S una unidad (elemento invertible) en T , existe un único homomorfismo de anillos${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$de tal manera que${\displaystyle f=g\circ j.}$

Utilizando la teoría de categorías , esto se puede expresar diciendo que la localización es un functor que es adjunto izquierdo a un functor olvidadizo . Más precisamente, sea${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Sean las categorías cuyos objetos son pares de un anillo conmutativo y un submonoide del monoide multiplicativo o del grupo de unidades del anillo, respectivamente. Los morfismos de estas categorías son los homomorfismos de anillos que mapean el submonoide del primer objeto en el submonoide del segundo. Finalmente, sea${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$sea ​​el functor olvidadizo que olvida que los elementos del segundo elemento del par son invertibles.

Luego la factorización${\displaystyle f=g\circ j}$de la propiedad universal define una biyección

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

Esto puede parecer una forma bastante complicada de expresar la propiedad universal, pero es útil para mostrar fácilmente muchas propiedades, utilizando el hecho de que la composición de dos functores adjuntos izquierdos es un functor adjunto izquierdo.

• Si${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$es el anillo de los números enteros y${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$entonces${\displaystyle S^{-1}R}$es el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales .
• Si R es un dominio de integridad y${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$entonces${\displaystyle S^{-1}R}$es el campo de fracciones de R. El ejemplo anterior es un caso especial de este.
• Si R es un anillo conmutativo , y si S es el subconjunto de sus elementos que no son divisores de cero , entonces${\displaystyle S^{-1}R}$es el anillo total de fracciones de R. En este caso, S es el conjunto multiplicativo más grande tal que el homomorfismo${\displaystyle R\to S^{-1}R}$es inyectivo. El ejemplo anterior es un caso especial de este.
• Si${\displaystyle x}$es un elemento de un anillo conmutativo R y${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$entonces${\displaystyle S^{-1}R}$puede ser identificado (es canónicamente isomorfo a)${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$(La demostración consiste en mostrar que este anillo satisface la propiedad universal anterior.) El anillo${\displaystyle S^{-1}R}$generalmente se denota${\displaystyle R_{x}}$. ^{[ 1 ]} Este tipo de localización juega un papel fundamental en la definición de un esquema afín .
• Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un ideal primo de un anillo conmutativo R , el complemento del conjunto${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$En R, es un conjunto multiplicativo (por definición de ideal primo). El anillo${\displaystyle S^{-1}R}$es un anillo local que generalmente se denota${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$y llamó al anillo local de R en${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$Este tipo de localización es fundamental en el álgebra conmutativa , ya que muchas propiedades de un anillo conmutativo pueden leerse en sus anillos locales. Dicha propiedad se suele denominar propiedad local . Por ejemplo, un anillo es regular si y solo si todos sus anillos locales son regulares.

La localización es una construcción rica que posee muchas propiedades útiles. En esta sección, solo se consideran las propiedades relativas a anillos y a una localización individual. Las propiedades relativas a ideales , módulos o conjuntos multiplicativos se consideran en otras secciones.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$si y solo si${\displaystyle S}$contiene${\displaystyle 0}$.
• El homomorfismo de anillos${\displaystyle R\to S^{-1}R}$es inyectiva si y solo si${\displaystyle S}$no contiene ningún divisor cero .
• El homomorfismo de anillos${\displaystyle R\to S^{-1}R}$es un epimorfismo en la categoría de anillos , que no es sobreyectivo en general.
• El anillo${\displaystyle S^{-1}R}$es un módulo R plano (consulte la sección  Localización de un módulo para obtener más detalles).
• Los ideales de${\displaystyle S^{-1}R}$son extensiones de ideales de${\displaystyle R}$por${\displaystyle j:R\to S^{-1}R}$,${\displaystyle r\mapsto r/1}$; es decir, para un ideal${\displaystyle I}$de${\displaystyle R}$, ${\displaystyle j(I)(S^{-1}R)=\{r/s\in S^{-1}R:r\in I\}}$es un ideal de${\displaystyle S^{-1}R}$y a menudo se denota${\displaystyle I(S^{-1}R)}$o${\displaystyle S^{-1}I}$(esta notación proviene de considerar equivalentemente este ideal como la localización de${\displaystyle I}$como un${\displaystyle R}$-módulo por${\displaystyle S}$, ver más abajo ); el ideal es un ideal propio si y solo si${\displaystyle I\cap S=\emptyset }$.
• Si${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$es el complemento de un ideal primario${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle R}$, entonces${\displaystyle S^{-1}R,}$denotado${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$es un anillo local ; es decir, tiene solo un ideal maximal ,${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$(es decir, la extensión de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$por${\displaystyle j:R\to S^{-1}R\ (=R_{\mathfrak {p}})}$definido anteriormente, a veces denotado${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}}$), y${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$es el campo residual de R en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• La localización conmuta con formaciones de sumas finitas, productos, intersecciones y radicales; ^{[ 2 ]} p. ej., si${\displaystyle {\sqrt {I}}}$denotan el radical de un ideal${\displaystyle I}$en${\displaystyle R}$, entonces

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

En particular,${\displaystyle R}$se reduce si y solo si su anillo total de fracciones se reduce. ^{[ 3 ]}

• La localización conmuta con la toma de cocientes; es decir, si I es un ideal de R , entonces${\displaystyle S^{-1}R/S^{-1}I\cong {\overline {S}}^{-1}(R/I)}$, dónde${\displaystyle {\overline {S}}}$es la imagen de${\displaystyle S}$en${\displaystyle R/I}$.
• Dejar${\displaystyle R}$ser un dominio integral con el campo de fracciones${\displaystyle K}$. Luego su localización${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$en el punto óptimo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$puede verse como un subanillo de${\displaystyle K}$. Además,

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

donde la primera intersección es sobre todos los ideales primos y la segunda sobre los ideales maximales. ^{[ 4 ]}

• Existe una biyección entre el conjunto de ideales primos de${\displaystyle S^{-1}R}$y el conjunto de ideales primordiales de${\displaystyle R}$que están disjuntos de${\displaystyle S}$Esta biyección es inducida por el homomorfismo dado.${\displaystyle R\to S^{-1}R}$.

Dejar${\displaystyle S\subseteq R}$ser un conjunto multiplicativo. La saturación${\displaystyle {\hat {S}}}$de${\displaystyle S}$es el conjunto

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

El conjunto multiplicativo S está saturado si es igual a su saturación, es decir, si${\displaystyle {\hat {S}}=S}$, o equivalentemente, si ${\displaystyle rs\in S}$implica que r y s están en S.

Si S no está saturado, y${\displaystyle rs\in S,}$entonces${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$es el inverso multiplicativo de la imagen de r en${\displaystyle S^{-1}R.}$Así pues, las imágenes de los elementos de${\displaystyle {\hat {S}}}$son todos invertibles en${\displaystyle S^{-1}R,}$y la propiedad universal implica que${\displaystyle S^{-1}R}$y${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$son canónicamente isomorfos , es decir, existe un isomorfismo único entre ellos que fija las imágenes de los elementos de R.

Si S y T son dos conjuntos multiplicativos, entonces${\displaystyle S^{-1}R}$y${\displaystyle T^{-1}R}$son isomorfos si y solo si tienen la misma saturación, o, equivalentemente, si s pertenece a uno de los conjuntos multiplicativos, entonces existe${\displaystyle t\in R}$de tal manera que st pertenece al otro.

Los conjuntos multiplicativos saturados no se utilizan ampliamente de forma explícita, ya que, para verificar que un conjunto está saturado, hay que conocer todas las unidades del anillo.

Si M es un submódulo de un R -módulo N , y S es un conjunto multiplicativo en R , se tiene${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$Esto implica que, si${\displaystyle f\colon M\to N}$es un homomorfismo de módulos inyectivo , entonces

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

También es un homomorfismo inyectivo.

Dado que el producto tensorial es un functor exacto derecho , esto implica que la localización por S mapea secuencias exactas de R -módulos a secuencias exactas de${\displaystyle S^{-1}R}$-módulos. En otras palabras, la localización es un functor exacto y${\displaystyle S^{-1}R}$es un módulo R plano .

Esta planitud y el hecho de que la localización resuelve una propiedad universal hacen que la localización preserve muchas propiedades de módulos y anillos, y sea compatible con soluciones de otras propiedades universales. Por ejemplo, el mapa natural

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

es un isomorfismo. Si${\displaystyle M}$es un módulo presentado de forma finita , el mapa natural

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

También es un isomorfismo. ^{[ 5 ]}

Si un módulo M es un conjunto finitamente generado sobre R , se tiene

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Ann} }$denota aniquilador , es decir, el ideal de los elementos del anillo que mapean a cero todos los elementos del módulo. ^{[ 6 ]} En particular,

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

es decir, si${\displaystyle tM=0}$para algunos${\displaystyle t\in S.}$^{[ 7 ]}

Una propiedad P de un R -módulo M es una propiedad local si se cumplen las siguientes condiciones:

• P se cumple para M.
• P se cumple para todos${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un ideal primo de R.
• P se cumple para todos${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es un ideal maximal de R.

Las siguientes son propiedades locales:

• M es cero.
• M es libre de torsión (en el caso en que R sea un dominio conmutativo ).
• M es un módulo plano .
• M es un módulo invertible (en el caso en que R es un dominio conmutativo y M es un submódulo del cuerpo de fracciones de R ).
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$es inyectiva (resp. sobreyectiva), donde N es otro R -módulo.

Por otro lado, algunas propiedades no son propiedades locales. Por ejemplo, un producto directo infinito de cuerpos no es un dominio de integridad ni un anillo noetheriano , mientras que todos sus anillos locales son cuerpos y, por lo tanto, dominios de integridad noetherianos.