Triángulo rectángulo especial

En geometría plana , al dividir un cuadrado por su diagonal se obtienen dos triángulos rectángulos isósceles , cada uno con un ángulo recto (90°, π / 2 radianes ) y otros dos ángulos congruentes que miden la mitad de un ángulo recto (45°, o π / 4 radianes ) . Los lados de este triángulo están en la proporción 1 : 1 : √2 , lo cual se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras .    

De todos los triángulos rectángulos, los triángulos de 45°–45°–90° tienen la menor razón entre la hipotenusa y la suma de los catetos, a saber , ⁠ √ 2 / 2 ⁠ . ^{[ 1 ] : p. 282, p. 358} y la mayor razón entre la altura desde la hipotenusa y la suma de los catetos, a saber , ⁠ √ 2 / 4 ⁠ . ^{[ 1 ] : p.282}

Los triángulos con estos ángulos son los únicos triángulos rectángulos posibles que también son triángulos isósceles en geometría euclidiana . Sin embargo, en geometría esférica e hiperbólica , existen infinitas formas diferentes de triángulos rectángulos isósceles.

Otro tipo de triángulo rectángulo especial es el triángulo de 30°-60°-90°, que se refiere a cualquier triángulo con esas tres medidas angulares. Cabe destacar que estos ángulos guardan una proporción de 1  :  2  :  3.

Una propiedad útil de estos triángulos es que las longitudes de sus lados están en la proporción 1  : √ 3 : 2. Esta propiedad se puede demostrar usando trigonometría o mediante la demostración geométrica que se muestra a continuación:   

Dibuja un triángulo equilátero ABC con lado de longitud 2, y con el punto M como punto medio del segmento BC . Traza una línea de altura desde A hasta M. Entonces, ABM es un triángulo de 30°–60°–90° con hipotenusa de longitud 2 y base BM de longitud 1.

El hecho de que la pata restante AM tenga una longitud de √3 se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras .

El triángulo rectángulo de 30°–60°–90° es el único cuyos ángulos forman una progresión aritmética . La demostración de este hecho es sencilla y se basa en que si α , α + δ y α + 2δ son los ángulos de la progresión, entonces la suma de los ángulos 3α + 3δ = 180°. Al dividir por 3, el ángulo α + δ debe ser de 60°. El ángulo recto es de 90°, por lo que el ángulo restante es de 30°.

Existen varias ternas pitagóricas bien conocidas, incluidas aquellas con lados en proporciones:

Los triángulos 3  :  4  :  5 son los únicos triángulos rectángulos con lados en progresión aritmética . Los triángulos basados ​​en ternas pitagóricas son heronianos , lo que significa que tienen área y lados enteros.

El posible uso del triángulo 3  :  4  : 5 en el Antiguo Egipto , con el supuesto uso de una cuerda anudada para trazar dicho triángulo, y la cuestión de si el teorema de Pitágoras era conocido en ese momento, han sido objeto de mucho debate. ^{[ 3 ]} Fue conjeturado por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882. ^{[ 3 ]} Se sabe que los ángulos rectos se trazaban con precisión en el Antiguo Egipto; que sus agrimensores usaban cuerdas para medir; ^{[ 3 ]} que Plutarco registró en Isis y Osiris (alrededor del año 100 d. C.) que los egipcios admiraban el triángulo 3 : 4 : 5; ^{[ 3 ]} y que el Papiro de Berlín 6619 del Reino Medio de Egipto (antes del 1700 a. C.) afirmaba que "el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El lado de uno es 1/2 + 1/4 del lado del otro " . [ 4 ] El ^{historiador de} las matemáticas Roger L. Cooke observa que "es difícil imaginar que alguien se interese en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras". ^[ 3 ^{] En contra} de esto, Cooke señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a. C. menciona el uso del teorema para hallar la longitud de los lados de un triángulo, y que existen formas más sencillas de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta: supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero que "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos". ^{[ 3 ]}     

Las siguientes son todas las razones triples pitagóricas expresadas en su forma más simple (más allá de las cinco más pequeñas en su forma más simple en la lista anterior) con ambos lados, excepto la hipotenusa, menores que 256:

Los triángulos rectángulos isósceles no pueden tener lados con valores enteros, porque la razón de la hipotenusa a cualquiera de los otros lados es √2 y √2 no se puede expresar como una razón de dos enteros . Sin embargo, existen infinitos triángulos rectángulos casi isósceles . Estos son triángulos rectángulos con lados enteros para los cuales las longitudes de los lados que no son la hipotenusa difieren en uno. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Estos triángulos rectángulos casi isósceles se pueden obtener recursivamente,

a ₀ = 1, b ₀ = 2

a _n = 2 b _{n −1} + a _{n −1}

b _n = 2 a _n + b _{n −1}

a _n es la longitud de la hipotenusa, n = 1, 2, 3, .... Equivalentemente,

${\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}$

donde { x , y } son soluciones de la ecuación de Pell x ² − 2 y ² = −1 , siendo la hipotenusa y los términos impares de los números de Pell 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378... (secuencia A000129 en el OEIS ) .. Las ternas pitagóricas más pequeñas resultantes son: ^{[ 7 ]}

Alternativamente, los mismos triángulos pueden derivarse de los números triangulares cuadrados . ^{[ 8 ]}

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica . Si los lados se forman a partir de la progresión geométrica a₁ , ar₂ , ar₃ ^, entonces su razón común r viene dada por r = √φ , donde φ es la razón áurea . Por lo tanto, sus lados están en la proporción 1  : √φ  : φ . Así, la forma del triángulo de Kepler está determinada de forma única (salvo un factor de escala) por el requisito de que sus lados estén en progresión geométrica.

El triángulo 3-4-5 es el único triángulo rectángulo (salvo escalado) cuyos lados están en progresión aritmética . ^{[ 9 ]}

Dejar$${\displaystyle a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$$sea ​​la longitud del lado de un decágono regular inscrito en el círculo unitario, donde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea. Dejemos$${\displaystyle b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$$Sea la longitud del lado de un hexágono regular en el círculo unitario, y sea$${\displaystyle c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176}$$Sea la longitud del lado de un pentágono regular en el círculo unitario. Entonces${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, así que estas tres longitudes forman los lados de un triángulo rectángulo. ^{[ 10 ]} El mismo triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo . También se puede encontrar dentro de un icosaedro regular de longitud de lado${\displaystyle c}$: el segmento de línea más corto desde cualquier vértice${\displaystyle V}$al plano de sus cinco vecinos tiene longitud${\displaystyle a}$y los extremos de este segmento de línea junto con cualquiera de los vecinos de${\displaystyle V}$forman los vértices de un triángulo rectángulo con lados${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$. ^{[ 11 ]}