Representación irreducible

Los elementos de un grupo pueden representarse mediante matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de un grupo es una aplicación de los elementos del grupo al grupo lineal general de matrices. Como notación, sean a , b , c , ... elementos de un grupo G con el producto de grupo denotado sin ningún símbolo, de modo que ab es el producto de grupo de a y b y también es un elemento de G , y sean las representaciones indicadas por D. La representación de a se escribe como

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en una multiplicación matricial de las representaciones:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Si e es el elemento identidad del grupo (de modo que ae = ea = a , etc.), entonces D ( e ) es una matriz identidad , o idénticamente una matriz de bloques de matrices identidad, ya que debemos tener

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

y de forma similar para todos los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones corresponden al requisito de que D sea un homomorfismo de grupo .

Una representación es reducible si contiene un subespacio G-invariante no trivial, es decir, todas las matrices${\displaystyle D(a)}$se puede colocar en forma de bloque triangular superior mediante la misma matriz invertible${\displaystyle P}$En otras palabras, si existe una transformación de similitud:

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que asigna a cada matriz de la representación el mismo patrón de bloques triangulares superiores. Cada bloque menor de secuencia ordenada es una subrepresentación de grupo. Es decir, si la representación es, por ejemplo, de dimensión 2, entonces tenemos: $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

dónde${\displaystyle D^{(11)}(a)}$es una subrepresentación no trivial. Si podemos encontrar una matriz${\displaystyle P}$eso hace${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$también, entonces${\displaystyle D(a)}$No solo es reducible, sino también descomponible.

Nota: Incluso si una representación es reducible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque triangular superior. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz.${\displaystyle P^{-1}}$por encima de la base estándar.

Una representación es descomponible si todas las matrices${\displaystyle D(a)}$se puede expresar en forma diagonal por bloques mediante la misma matriz invertible.${\displaystyle P}$. En otras palabras, si hay una transformación de similitud : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que diagonaliza cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques diagonales . Cada uno de estos bloques es entonces una subrepresentación de grupo independiente de las demás. Se dice que las representaciones D ( a ) y D′ ( a ) son representaciones equivalentes . ^{[ 2 ]} La representación ( de k dimensiones, por ejemplo) se puede descomponer en una suma directa de k > 1 matrices : 

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

por lo tanto D ( a ) es descomponible , y es costumbre etiquetar las matrices descompuestas con un superíndice entre corchetes, como en D ^{( n )} ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores simplemente escriben la etiqueta numérica sin paréntesis.

La dimensión de D ( a ) es la suma de las dimensiones de los bloques:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Si esto no es posible, es decir, k = 1 , entonces la representación es indescomponible. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Aviso : Aunque una representación sea descomponible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque diagonal. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz.${\displaystyle P^{-1}}$por encima de la base estándar.

Una representación irreducible es, por naturaleza, indescomponible. Lo contrario puede no ser cierto; sin embargo, para grupos finitos, bajo ciertas condiciones, tenemos una representación indescomponible que es una representación irreducible ( teorema de Maschke ):

Cuando el grupo${\displaystyle G}$es finito y${\displaystyle K}$es un campo con${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$, entonces una representación indescomponible de${\displaystyle G}$encima${\displaystyle K}$es una representación irreducible. En particular, esto es cierto para${\displaystyle K=\mathbb {C} }$. ^{[ 4 ]}

Todos los grupos${\displaystyle G}$tienen una representación trivial, irreducible y unidimensional al mapear todos los elementos del grupo a la transformación identidad.

Cualquier representación unidimensional es irreducible, ya que no posee subespacios invariantes no triviales propios.

Las representaciones complejas irreducibles de un grupo finito G pueden caracterizarse utilizando resultados de la teoría de caracteres . En particular, todas las representaciones complejas se descomponen como una suma directa de irreps, y el número de irreps de${\displaystyle G}$es igual al número de clases de conjugación de${\displaystyle G}$. ^{[ 5 ]}

• Las representaciones complejas irreducibles de${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$están dados exactamente por los mapas${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$, dónde${\displaystyle \gamma }$es un${\displaystyle n}$raíz enésima de la unidad .
• Dejar${\displaystyle V}$frijol${\displaystyle n}$representación compleja de -dimensiones${\displaystyle S_{n}}$con base${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$. Entonces${\displaystyle V}$se descompone como una suma directa de los irreps$${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$y el subespacio ortogonal dado por$${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$La primera representación irreducible es unidimensional e isomorfa a la representación trivial de${\displaystyle S_{n}}$. Este último es${\displaystyle n-1}$dimensional y se conoce como la representación estándar de${\displaystyle S_{n}}$. ^{[ 5 ]}
• Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo. La representación regular de${\displaystyle G}$es el espacio vectorial complejo libre sobre la base${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$con la acción grupal${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$, denotado${\displaystyle \mathbb {C} G.}$Todas las representaciones irreducibles de${\displaystyle G}$aparecen en la descomposición de${\displaystyle \mathbb {C} G}$como suma directa de irreps.

• Dejar${\displaystyle G}$ser un${\displaystyle p}$grupo y${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$sea ​​una representación irreducible de dimensión finita de G sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$Según el teorema del estabilizador orbital, la órbita de cada${\displaystyle V}$elemento actuado por el${\displaystyle p}$grupo${\displaystyle G}$tiene tamaño siendo poder de${\displaystyle p}$. Dado que los tamaños de todas estas órbitas suman el tamaño de${\displaystyle G}$, y ${\displaystyle 0\in V}$está en una órbita de tamaño 1 que solo se contiene a sí misma, debe haber otras órbitas de tamaño 1 para que la suma coincida. Es decir, existe alguna${\displaystyle v\in V}$de tal manera que${\displaystyle gv=v}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$. Esto obliga a que toda representación irreductible de un ${\displaystyle p}$grupo sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ser unidimensional.

Las representaciones irreducibles de D ( K ) y D ( J ) , donde J es el generador de rotaciones y K el generador de transformaciones de Lorentz, pueden utilizarse para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz, ya que están relacionadas con las matrices de espín de la mecánica cuántica. Esto permite derivar ecuaciones de onda relativistas . ^{[ 7 ]}

• Módulo simple
• Módulo indescomponible
• Representación de un álgebra asociativa

• Teoría de la representación de las álgebras de Lie
• Teoría de la representación de SU(2)
• Teoría de la representación de SL2(R)
• Teoría de la representación del grupo galileano
• Teoría de la representación de grupos de difeomorfismos
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Teorema del peso máximo

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