Matriz de Jabotinsky

En matemáticas , la matriz de Jabotinsky (a veces llamada matriz de iteración o matriz de potencia ) es una matriz infinita que se utiliza para convertir la composición de funciones en multiplicación de matrices . Se usa frecuentemente en la teoría de la iteración para hallar la iteración continua de funciones . La matriz recibe su nombre del matemático Eri Jabotinsky .

Dejar${\displaystyle f}$ser una serie de potencias formal . Existen coeficientes${\displaystyle (B_{n,k})_{n,k\geq 0}}$de tal manera que$${\displaystyle f(x)^{k}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,k}x^{n}.}$$La matriz de Jabotinsky de${\displaystyle f(x)}$se define como la matriz infinita ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {B} (f)=\left({\begin{array}{cccc}B_{0,0}&B_{0,1}&B_{0,2}&\cdots \\B_{1,0}&B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots \\B_{2,0}&B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right).}$

Cuando${\displaystyle f(0)=0}$,${\displaystyle \mathbf {B} (f)}$se convierte en una matriz triangular inferior infinita cuyas entradas están dadas por polinomios de Bell ordinarios evaluados en los coeficientes de${\displaystyle f}$Por eso${\displaystyle \mathbf {B} (f)}$A veces se la denomina matriz de Bell . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Las matrices de Jabotinsky tienen una larga historia y quizás fueron utilizadas por primera vez en el contexto de la teoría de iteración por Albert A. Bennett ^{[ 5 ]} en 1915. Jabotinsky continuó la investigación de Bennett ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} y las aplicó a los polinomios de Faber ^{[ 10 ]} . Las matrices de Jabotinsky se popularizaron durante la década de 1970 gracias al libro de Louis Comtet , Advanced Combinatorics , donde se refería a ellas como matrices de iteración (una denominación que también se usa a veces hoy en día ^{[ 11 ]} ). La denominación de este artículo apareció más tarde ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} . Donald Knuth usa el nombre de matriz de convolución . ^{[ 2 ]}

Las matrices de Jabotinsky satisfacen la relación fundamental$${\displaystyle {\textbf {B}}(f\circ g)={\textbf {B}}(g){\textbf {B}}(f)}$$lo que hace la matriz de Jabotinsky${\displaystyle \mathbf {B} (f)}$una representación (directa) de${\displaystyle f(x)}$. Aquí el término${\displaystyle f\circ g}$denota la composición de funciones${\displaystyle f(g(x))}$.

La propiedad fundamental implica

• ${\displaystyle {\textbf {B}}(f^{n})={\textbf {B}}(f)^{n}}$, dónde${\displaystyle f^{n}}$es una función iterada y${\displaystyle n}$es un número natural .
• ${\displaystyle {\textbf {B}}(f^{-1})={\textbf {B}}(f)^{-1}}$, dónde${\displaystyle f^{-1}}$es la función inversa , si${\displaystyle f}$tiene un inverso compositivo .
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}{\textbf {B}}(f)={\begin{bmatrix}1,f(x),f(x)^{2},...\end{bmatrix}}.}$

Dada una secuencia${\displaystyle (\Omega _{n})_{n\geq 0}}$En su lugar, podemos definir la matriz con el coeficiente${\displaystyle (B_{n,k}^{\Omega })_{n,k\geq 0}}$por ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Omega _{k}f(x)^{k}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,k}^{\Omega }\Omega _{n}x^{n}.}$$Si${\displaystyle (\Omega _{n})_{n\geq 0}}$es la secuencia constante igual a${\displaystyle 1}$, recuperamos matrices de Jabotinsky. En algunos contextos, la secuencia se elige para ser${\displaystyle \Omega _{n}=1/n!}$, de modo que las entradas vienen dadas por polinomios de Bell regulares . Esta es una forma más conveniente para funciones como${\displaystyle f(x)=-\log(1-x)}$y${\displaystyle f(x)=e^{x}-1}$donde aparecen números de Stirling de primera y segunda especie en las matrices (véanse los ejemplos).

Esta generalización da una matriz completamente equivalente ya que${\displaystyle B_{n,k}^{\Omega }{\frac {\Omega _{n}}{\Omega _{k}}}=B_{n,k}}$.

• La matriz de Jabotinsky de una constante es:

  ${\displaystyle \mathbf {B} (a)=\left({\begin{array}{cccc}1&a&a^{2}&\cdots \\0&0&0&\cdots \\0&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

• La matriz de Jabotinsky de un múltiplo constante es:

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(cx)=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

• La matriz de Jabotinsky de la función sucesora :

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(1+x)=\left({\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\cdots \\0&1&2&3&\cdots \\0&0&1&3&\cdots \\0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

  La matriz muestra el triángulo de Pascal .

• La matriz de Jabotinsky de la función exponencial viene dada por${\displaystyle {\textbf {B}}(\exp )_{n,k}={\frac {k^{n}}{n!}}}$.
• La matriz de Jabotinsky del logaritmo está relacionada con los números de Stirling (sin signo) de primera especie escalados por factoriales :

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(-\log(1-x))=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&0&\cdots \\0&{\frac {1}{2}}&1&0&0&\cdots \\0&{\frac {1}{3}}&1&1&0&\cdots \\0&{\frac {1}{4}}&{\frac {11}{12}}&{\frac {3}{2}}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(-\log(1-x))_{n,k}=\left[{n \atop k}\right]{\frac {k!}{n!}}}$

• La matriz de Jabotinsky de la función exponencial menos 1 está relacionada con los números de Stirling de segunda especie escalados por factoriales:

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(\exp(x)-1)=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&0&\cdots \\0&{\frac {1}{2}}&1&0&0&\cdots \\0&{\frac {1}{6}}&1&1&0&\cdots \\0&{\frac {1}{24}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {3}{2}}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

  ${\displaystyle {\textbf {B}}(\exp(x)-1)_{n,k}=\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {k!}{n!}}}$

Algunos autores, ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 11 ]} que incluyen a Bennett y Jabotinsky en su trabajo original, utilizan la convención de transposición.${\displaystyle \mathbf {B} (f)^{\text{T}}}$para la matriz, que es una matriz triangular superior infinita cuando${\displaystyle f(0)=0}$La relación fundamental se convierte en$${\displaystyle {\textbf {B}}(f\circ g)^{\text{T}}={\textbf {B}}(f)^{\text{T}}{\textbf {B}}(g)^{\text{T}},}$$lo cual preserva el orden de las operaciones.

• Las matrices de Jabotinsky son un caso especial de las matrices de Riordan introducidas posteriormente .
• También están relacionadas con la linealización de Carleman y las matrices de Carleman (de incrustación). ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 17 ]}
• Las matrices de Grunsky se pueden expresar con matrices de Jabotinsky. ^{[ 10 ]}

• operador de composición
• ecuación de Schröder
• La fórmula de Faà di Bruno
• Cálculo umbral