Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli ^{[ a ]} ( 6 de enero de 1655 [ 27 de diciembre de 1654 según el calendario antiguo ] – 16 de agosto de 1705) fue un matemático suizo. Se puso del lado de Gottfried Wilhelm Leibniz durante la controversia del cálculo de Leibniz-Newton y fue uno de los primeros defensores del cálculo leibniziano , al que realizó numerosas contribuciones. Miembro de la familia Bernoulli , junto con su hermano Johann , fue uno de los fundadores del cálculo de variaciones . También descubrió la constante matemática fundamental e . Sin embargo, su contribución más importante fue en el campo de la probabilidad , donde derivó la primera versión de la ley de los grandes números en su obra Ars Conjectandi . ^{[ 3 ]}

El nombre de pila de Bernoulli también aparece a veces como Jakob (que era su nombre en alemán ). También era conocido como James en inglés o Jacques en francés. Cuando publicaba en latín , como solía hacer, su nombre aparecía como Jacobus Bernoullius . Para distinguirlo de su pariente Jakob II Bernoulli , a Bernoulli se le añade a veces el sufijo generacional I , como en Jacob I Bernoulli .

Jacob Bernoulli nació en Basilea , en la Confederación Suiza ; ^{[ 4 ]} hijo y nieto de comerciantes de especias protestantes ^{[ 5 ]} por parte paterna. Su madre nació en una familia dedicada a la banca y al gobierno municipal. ^{[ 6 ]}

Siguiendo el deseo de su padre, estudió teología y se ordenó sacerdote. Pero, en contra de los deseos de sus padres, ^{[ 7 ]} también estudió matemáticas y astronomía . Viajó por toda Europa entre 1676 y 1682, aprendiendo sobre los últimos descubrimientos en matemáticas y ciencias de la mano de figuras destacadas de la época. Esto incluyó el trabajo de Johannes Hudde , Robert Boyle y Robert Hooke . Durante este tiempo también elaboró ​​una teoría errónea sobre los cometas .

Bernoulli regresó a Suiza y comenzó a impartir clases de mecánica en la Universidad de Basilea a partir de 1683. Su tesis doctoral, Solutionem tergemini problematis, fue presentada en 1684. ^{[ 8 ]} Se publicó en 1687. ^{[ 9 ]}

En 1684, Bernoulli se casó con Judith Stupanus; tuvieron dos hijos. Durante esta década, también inició una fructífera carrera investigadora. Sus viajes le permitieron establecer correspondencia con muchos matemáticos y científicos destacados de su época, la cual mantuvo a lo largo de su vida. Durante este tiempo, estudió los nuevos descubrimientos en matemáticas, incluyendo De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens , La Géométrie de Descartes y los suplementos de Frans van Schooten . También estudió a Isaac Barrow y John Wallis , lo que despertó su interés por la geometría infinitesimal. Además, entre 1684 y 1689 se descubrieron muchos de los resultados que conformarían Ars Conjectandi .

Se cree que fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea en 1687, cargo que ocupó durante el resto de su vida. Para entonces, ya había comenzado a instruir a su hermano Johann Bernoulli en temas matemáticos. Los dos hermanos iniciaron el estudio del cálculo tal como lo presentó Leibniz en su artículo de 1684 sobre el cálculo diferencial, " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", publicado en Acta Eruditorum . También estudiaron las publicaciones de von Tschirnhaus . Cabe destacar que las publicaciones de Leibniz sobre cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de la época, y los Bernoulli fueron de los primeros en intentar comprender y aplicar las teorías de Leibniz.

Jacob colaboró ​​con su hermano en diversas aplicaciones del cálculo. Sin embargo, la colaboración entre ambos se transformó en rivalidad a medida que el genio matemático de Johann maduraba, y ambos se atacaban mutuamente por escrito, planteando difíciles retos matemáticos para poner a prueba sus habilidades. ^{[ 10 ]} Para 1697, la relación se había roto por completo.

El cráter lunar Bernoulli también lleva su nombre, en conjunto con el de su hermano Johann.

Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron un folleto sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra, publicado en 1685, un trabajo sobre probabilidad en 1685 y otro sobre geometría en 1687. Su resultado geométrico proporcionó una construcción para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales mediante dos líneas perpendiculares.

En 1689, había publicado importantes trabajos sobre series infinitas y su ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados sobre series infinitas entre 1682 y 1704. Los dos primeros contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$diverge, que Bernoulli creía que eran nuevas pero que en realidad habían sido probadas por Pietro Mengoli 40 años antes y por Nicole Oresme en el siglo XIV. ^{[ 11 ]} Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada para${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$Pero sí demostró que convergía a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en hallar el límite de esta serie en 1737. Bernoulli también estudió la serie exponencial que surgió del análisis del interés compuesto.

En mayo de 1690, en un artículo publicado en Acta Eruditorum , Jacob Bernoulli demostró que el problema de determinar la isócrona es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. La isócrona, o curva de descenso constante, es la curva a lo largo de la cual una partícula descenderá bajo la acción de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, independientemente del punto de partida. Había sido estudiada por Huygens en 1687 y Leibniz en 1689. Después de encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que ahora llamamos separación de variables . El artículo de Jacob Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, ya que el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696, Bernoulli resolvió la ecuación, ahora llamada ecuación diferencial de Bernoulli .

${\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.}$

Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar las evolutas de una curva como la envolvente de sus círculos de curvatura. Asimismo, investigó las curvas cáusticas y, en particular, estudió las curvas asociadas a la parábola , la espiral logarítmica y las epicicloides alrededor de 1692. La lemniscata de Bernoulli fue concebida por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695, investigó el problema del puente levadizo, que busca la curva necesaria para que un peso que se desliza a lo largo del cable mantenga siempre el puente levadizo en equilibrio.

La obra más original de Bernoulli fue Ars Conjectandi , publicada en Basilea en 1713, ocho años después de su muerte. Si bien la obra estaba incompleta al momento de su fallecimiento, sigue siendo una obra de suma importancia en la teoría de la probabilidad. El libro también abarca otros temas relacionados, incluyendo una revisión de la combinatoria , en particular la obra de van Schooten, Leibniz y Prestet, así como el uso de los números de Bernoulli en un análisis de la serie exponencial. Inspirado por la obra de Huygens, Bernoulli también ofrece numerosos ejemplos sobre cuánto se podría ganar jugando a diversos juegos de azar. El término « prueba de Bernoulli» surgió de esta obra.

En la última parte del libro, Bernoulli esboza muchas áreas de la probabilidad matemática , incluyendo la probabilidad como un grado medible de certeza; la necesidad y el azar; la expectativa moral frente a la matemática; la probabilidad a priori y a posteriori; la expectativa de ganar cuando los jugadores se dividen según su destreza; la consideración de todos los argumentos disponibles, su valoración y su evaluación calculable; y la ley de los grandes números.

Bernoulli fue uno de los promotores más importantes de los métodos formales de análisis superior. En su forma de presentación y expresión, rara vez se encuentran astucia y elegancia, pero sí una integridad absoluta.

En 1683, Bernoulli descubrió la constante e al estudiar una cuestión sobre el interés compuesto que le exigía hallar el valor de la siguiente expresión (que de hecho es e ): ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1.00 y paga un interés del 100% anual. Si el interés se abona una sola vez, al final del año el saldo es de $2.00; pero si el interés se calcula y se suma dos veces durante el año, $1 se multiplica por 1.5 dos veces, lo que da como resultado $1.00 × 1.5² ⁼  $  2.25. La capitalización trimestral da como resultado $1.00 × 1.25⁴ ⁼  $  2.4414..., y la capitalización mensual da como resultado $1.00 × (1.0833...) ^¹²  =  $2.613035....

Bernoulli observó que esta secuencia se aproxima a un límite (la fuerza de interés ) para intervalos de capitalización más pequeños y mayores. La capitalización semanal produce $2.692597..., mientras que la capitalización diaria produce $2.714567..., solo dos centavos más. Usando n como el número de intervalos de capitalización, con un interés del 100% / n en cada intervalo, el límite para n grande es el número que Euler luego llamó e ; con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará $2.7182818.... De manera más general, una cuenta que comienza en $1, y produce (1+ R ) dólares a interés compuesto , producirá e ^R dólares con capitalización continua.

Bernoulli solo calculó esta constante lo suficiente como para determinar que su valor era mayor que 2,5 y menor que 3. ^{[ 13 ]}

Bernoulli deseaba que en su lápida se grabara una espiral logarítmica y el lema Eadem mutata resurgo («Aunque cambiado, resucito»). Escribió que la espiral autosimilar «puede usarse como símbolo, ya sea de fortaleza y constancia ante la adversidad, o del cuerpo humano, que, tras todos sus cambios, incluso después de la muerte, recuperará su estado exacto y perfecto». Bernoulli falleció en 1705, pero en lugar de una espiral logarítmica se grabó una espiral de Arquímedes . ^{[ 14 ]}

Traducción de la inscripción latina:

Jacob Bernoulli, el matemático incomparable.

Profesor en la Universidad de Basilea durante más de 18 años;

Miembro de las Reales Academias de París y Berlín; famoso por sus escritos.

De enfermedad crónica, con la mente lúcida hasta el final;

Falleció en el año de gracia de 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 7 meses, a la espera de la resurrección.

Judith Stupanus,

su esposa durante 20 años,

y sus dos hijos han erigido un monumento en memoria del esposo y padre al que tanto extrañan.

• Conamen novi systematis cometarum (en latín). Amstelaedami: apud Henr. Westenio. 1682.(El título se traduce aproximadamente como "Una nueva hipótesis para el sistema de cometas").
• De gravitate aetheris (en latín). Amstelaedami: apud Henricum Wetstenium. 1683.
• Ars conjectandi, opus posthumum , Basileae, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.
• Ópera (en latín). vol. 1. Ginebra: herederos Cramer y hermanos Philibert. 1744.
  • Ópera (en latín). vol. 2. Ginebra: herederos Cramer y hermanos Philibert. 1744.

• 
  De gravitate aetheris , 1683
• 
  Ópera , vol. 1, 1744

• Hoffman, JE (1970–1980). «Bernoulli, Jakob (Jacques) I». Diccionario de Biografía Científica . Vol.  2. Nueva York: Charles Scribner's Sons. págs. 46–51 . ISBN  978-0-684-10114-9.
• Schneider, I. (2005). "Jakob Bernoulli Ars conjectandi (1713)" . En Grattan-Guinness, Ivor (ed.). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 . Elsevier. pp. 88–104 . ISBN  978-0-08-045744-4.

• Contenido multimedia relacionado con Jakob Bernoulli en Wikimedia Commons
• Citas relacionadas con Jacob Bernoulli en Wikiquote
• Jacob Bernoulli en el Proyecto de Genealogía Matemática
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Jacob Bernoulli" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Bernoulli, Jacobi. "Tractatus de Seriebus Infinitis" (PDF) .
• Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Bernoulli, Jacob (1654-1705)" . MundoCiencia .
• Correspondencia entre Gottfried Leibniz y Jakob Bernoulli sobre el arte de conjeturar. Archivado el 6 de abril de 2016 en Wayback Machine.