Teorema japonés para polígonos cíclicos

La suma de los radios de los círculos verdes es igual a la suma de los radios de los círculos rojos.

En geometría , el teorema japonés establece que, independientemente de cómo se triangule un polígono cíclico , la suma de los radios internos de los triángulos es constante . ^{[ 1 ] : p. 193}

Por el contrario, si la suma de los radios internos es independiente de la triangulación, entonces el polígono es cíclico. El teorema japonés se deriva del teorema de Carnot ; es un problema de Sangaku .

Este teorema se puede demostrar probando primero un caso especial: no importa cómo se triangule un cuadrilátero cíclico , la suma de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos es constante.

Tras demostrar el caso del cuadrilátero, el caso general del teorema del polígono cíclico se deduce inmediatamente. La regla del cuadrilátero puede aplicarse a los componentes cuadriláteros de una partición general de un polígono cíclico, y la aplicación repetida de la regla, que invierte una diagonal, generará todas las particiones posibles a partir de cualquier partición dada, conservando cada inversión la suma de los radios internos.

El caso del cuadrilátero se deriva de una simple extensión del teorema japonés para cuadriláteros cíclicos , que muestra que un rectángulo se forma mediante los dos pares de incentros correspondientes a las dos posibles triangulaciones del cuadrilátero. Los pasos de este teorema no requieren nada más allá de la geometría euclidiana constructiva básica. ^{[ 2 ]}

Con la construcción adicional de un paralelogramo cuyos lados sean paralelos a las diagonales y tangentes a los vértices del rectángulo formado por los incentros, el caso cuadrilátero del teorema del polígono cíclico puede demostrarse en pocos pasos. La igualdad de las sumas de los radios de los dos pares equivale a la condición de que el paralelogramo construido sea un rombo, lo cual se demuestra fácilmente en la construcción.

Otra demostración del caso cuadrilátero está disponible gracias a Wilfred Reyes (2002). ^{[ 3 ]} En la demostración, tanto el teorema japonés para cuadriláteros cíclicos como el caso cuadrilátero del teorema del polígono cíclico se demuestran como consecuencia del problema III de Thébault .

• El teorema de Carnot , que se utiliza en una demostración del teorema anterior.
• Teorema de los círculos inscritos iguales
• Líneas tangentes a círculos

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Iconos de las matemáticas: Una exploración de veinte imágenes clave . MAA, 2011, ISBN 9780883853528págs. 121-125
• Wilfred Reyes: Una aplicación del teorema de Thebault . Archivado el 24/10/2018 en Wayback Machine . Forum Geometricorum, Volumen 2, 2002, págs. 183-185.

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: en busca del teorema japonés
• Teorema japonés en Mathworld
• Demostración interactiva del Teorema Japonés en el sitio web de CaR.
• Wataru Uegaki: "Teorema japonésの起源と歴史" (Sobre el origen y la historia del teorema japonés) http://hdl.handle.net/10076/4917