Mabuchi funcional

En matemáticas , y especialmente en geometría compleja , el funcional de Mabuchi o funcional de energía K es un funcional en el espacio de potenciales de Kähler de una variedad de Kähler compacta cuyos puntos críticos son métricas de Kähler de curvatura escalar constante . El funcional de Mabuchi fue introducido por Toshiki Mabuchi en 1985 como un funcional que integra el invariante de Futaki , que constituye una obstrucción a la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano. ^{[ 1 ]}

El funcional de Mabuchi es una analogía del funcional log-norma del mapa de momentos en la teoría de invariantes geométricos y la reducción simpléctica . ^{[ 2 ]} El funcional de Mabuchi aparece en la teoría de la K-estabilidad como un funcional analítico que caracteriza la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante. La pendiente en el infinito del funcional de Mabuchi a lo largo de cualquier rayo geodésico en el espacio de potenciales de Kähler viene dada por el invariante de Donaldson-Futaki de una configuración de prueba correspondiente .

Debido a las técnicas variacionales de Berman–Boucksom–Jonsson ^{[ 3 ]} en el estudio de las métricas de Kähler–Einstein en variedades de Fano, el funcional de Mabuchi y varias generalizaciones del mismo se han vuelto de vital importancia en el estudio de la K-estabilidad de las variedades de Fano , particularmente en entornos con singularidades.

El funcional de Mabuchi se define en el espacio de potenciales de Kähler dentro de una clase de cohomología de Kähler fija en una variedad compleja compacta . ^{[ 4 ]} Sea${\displaystyle (M,\omega )}$ser una variedad de Kähler compacta con una métrica de Kähler fija${\displaystyle \omega }$. Luego por el${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , cualquier otra métrica de Kähler en la clase${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)}$en la cohomología de de Rham puede estar relacionada con${\displaystyle \omega }$mediante una función suave${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$, el potencial de Kähler:

${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .}$

Para garantizar que esta nueva forma binaria sea una métrica de Kähler, debe ser una forma positiva :

${\displaystyle \omega _ {\varphi}>0.}$

Estas dos condiciones definen el espacio de potenciales de Kähler.

${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

Dado que cualesquiera dos potenciales de Kähler que difieren en una función constante definen la misma métrica de Kähler, el espacio de métricas de Kähler en la clase${\displaystyle [\omega ]}$puede identificarse con${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$, los potenciales de Kähler módulo las funciones constantes. En cambio, se puede restringir a aquellos potenciales de Kähler que se normalizan de modo que su integral sobre${\displaystyle M}$desaparece.

El espacio tangente a${\displaystyle {\mathcal {K}}}$puede identificarse con el espacio de funciones suaves de valor real en${\displaystyle M}$. Dejar${\displaystyle S_{\varphi }}$denotamos la curvatura escalar de la métrica riemanniana correspondiente a${\displaystyle \omega _ {\varphi}}$y dejar${\displaystyle {\hat {S}}}$denotamos el promedio de esta curvatura escalar sobre${\displaystyle M}$, que no depende de la elección de${\displaystyle \varphi }$por el teorema de Stokes . Definimos una 1-forma diferencial en el espacio de potenciales de Kähler mediante

${\displaystyle \alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.}$

Esta forma única es cerrada. ^{[ 4 ]} Dado que${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es un espacio contraíble , esta forma única es exacta y existe una función${\displaystyle {\mathcal {M}}:{\mathcal {K}}\to \mathbb {R} }$normalizado de modo que${\displaystyle {\mathcal {M}}(0)=0}$de tal manera que${\displaystyle d{\mathcal {M}}=\alpha }$, el funcional de Mabuchi o energía K.

El funcional de Mabuchi tiene una descripción explícita dada mediante la integración de la forma única.${\displaystyle \alpha }$a lo largo de un sendero. Deja${\displaystyle \varphi _{0}}$sea ​​un potencial de Kähler fijo, que puede tomarse como${\displaystyle \varphi _{0}=0}$y dejar${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi }$, y${\displaystyle \varphi _{t}}$ser un camino en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$de${\displaystyle \varphi _{0}}$a${\displaystyle \varphi _{1}}$. Entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }}_{t}({\hat {S}}-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.}$

Se puede demostrar que esta integral es independiente de la elección de la trayectoria.${\displaystyle \varphi _{t}}$.

A partir de la definición del funcional de Mabuchi en términos de la forma única${\displaystyle \alpha }$, se puede observar que para un potencial de Kähler${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {K}}}$, la variación

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}}$

se anula para todos los vectores tangentes${\displaystyle \psi \in C^{\infty }(M)}$si y solo si${\displaystyle {\sombrero {S}}=S_{\varphi }}$. Es decir, los puntos críticos del funcional de Mabuchi son precisamente los potenciales de Kähler que tienen curvatura escalar constante. ^{[ 4 ]}