Estabilidad K

La estabilidad K se define por analogía con el criterio de Hilbert-Mumford de la teoría de invariantes geométricos de dimensión finita . Esta teoría describe la estabilidad de puntos en variedades polarizadas, mientras que la estabilidad K se refiere a la estabilidad de la variedad polarizada en sí misma.

El criterio de Hilbert-Mumford muestra que para probar la estabilidad de un punto${\displaystyle x}$en una variedad algebraica proyectiva${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$bajo la acción de un grupo algebraico reductivo${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$, basta con considerar los subgrupos de un parámetro ( 1-PS ) de${\displaystyle G}$. Para continuar, se toma un 1-PS de${\displaystyle G}$, decir${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G} , y observa el punto límite

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

Este es un punto fijo de la acción del 1-PS${\displaystyle \lambda }$y así la línea sobre${\displaystyle x}$en el espacio afín${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$se conserva por la acción de${\displaystyle \lambda }$Una acción del grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en un espacio vectorial unidimensional viene con un peso , un número entero que etiquetamos${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$, con la propiedad que

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

para cualquier${\displaystyle {\tilde {x}}}$en la fibra sobre${\displaystyle x_{0}}$El criterio de Hilbert-Mumford dice:

• El punto${\displaystyle x}$es semiestable si${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$para todos los 1-PS${\displaystyle \lambda <G}$.
• El punto${\displaystyle x}$es estable si${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$para todos los 1-PS${\displaystyle \lambda <G}$.
• El punto${\displaystyle x}$es inestable si${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$para cualquier 1-PS${\displaystyle \lambda <G}$.

Si se desea definir una noción de estabilidad para las variedades, el criterio de Hilbert-Mumford sugiere que basta con considerar deformaciones de un parámetro de la variedad. Esto conduce a la noción de configuración de prueba.

Una configuración de prueba para una variedad polarizada${\displaystyle (X,L)}$es un par${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$dónde${\displaystyle {\mathcal {X}}}$es un esquema con un morfismo plano${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} } y${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es un fibrado de líneas relativamente amplio para el morfismo${\displaystyle \pi }$, de tal manera que:

1. Por cada${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, el polinomio de Hilbert de la fibra${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$es igual al polinomio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$de${\displaystyle (X,L)}$Esto es consecuencia de la planitud de${\displaystyle \pi }$.
2. Hay una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$sobre la familia${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$que cubre la acción estándar de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en${\displaystyle \mathbb {C} }$.
3. Para cualquier (y por lo tanto para cada)${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$,${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$como variedades polarizadas. En particular, lejos de${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$, la familia es trivial:${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$dónde${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$es una proyección sobre el primer factor.

Decimos que una configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$es una configuración de producto si${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$y una configuración trivial si el${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$acción sobre${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$es trivial en el primer factor.

Para definir una noción de estabilidad análoga al criterio de Hilbert-Mumford, se necesita un concepto de peso.${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$sobre la fibra${\displaystyle 0}$de una configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$para una variedad polarizada${\displaystyle (X,L)}$. Por definición, esta familia viene equipada con una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$cubriendo la acción en la base y, por lo tanto, la fibra de la configuración de prueba sobre${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$está fijo. Es decir, tenemos una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en la fibra central${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$En general, esta fibra central no es lisa, ni siquiera una variedad. Existen varias formas de definir el peso en la fibra central. La primera definición se obtuvo utilizando la versión de Ding-Tian del invariante generalizado de Futaki. ^{[ 1 ]} Esta definición es de geometría diferencial y está directamente relacionada con los problemas de existencia en la geometría de Kähler. Las definiciones algebraicas se obtuvieron utilizando los invariantes de Donaldson-Futaki y los pesos CM definidos por la fórmula de intersección.

Por definición una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en un esquema polarizado viene con una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en el amplio paquete de líneas${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$y, por lo tanto, induce una acción sobre los espacios vectoriales${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$para todos los números enteros${\displaystyle k\geq 0}$. Una acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$induce una descomposición de suma directa${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$en espacios de peso , donde cada${\displaystyle V_{i}}$es un subespacio unidimensional de${\displaystyle V}$y la acción de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$cuando se restringe a${\displaystyle V_{i}}$tiene un peso${\displaystyle w_{i}}$. Defina el peso total de la acción como el número entero${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$. Esto es lo mismo que el peso de la acción inducida de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$en el espacio vectorial unidimensional${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$dónde${\displaystyle n=\dim V}$.

Defina la función de ponderación de la configuración de prueba.${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ser la función${\displaystyle w(k)}$dónde${\displaystyle w(k)}$es el peso total de la${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$acción sobre el espacio vectorial${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$para cada entero no negativo${\displaystyle k\geq 0}$. Mientras que la función${\displaystyle w(k)}$no es un polinomio en general, se convierte en un polinomio de grado${\displaystyle n+1}$a pesar de${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$para algún entero fijo${\displaystyle k_{0}}$, dónde${\displaystyle n=\dim X}$Esto se puede ver utilizando un teorema de Riemann-Roch equivariante. Recordemos que el polinomio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$satisface la igualdad${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$a pesar de${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$para algún entero fijo${\displaystyle k_{1}}$y es un polinomio de grado${\displaystyle n}$. Para tal${\displaystyle k\gg 0}$, escribamos

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki de la configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$es el número racional

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

En particular${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$dónde${\displaystyle f_{1}}$es el término de primer orden en la expansión

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

El invariante de Donaldson-Futaki no cambia si${\displaystyle L}$es reemplazado por una potencia positiva${\displaystyle L^{r}}$y por eso en la literatura la estabilidad K se discute a menudo utilizando${\displaystyle \mathbb {Q} }$-paquetes de línea .

Es posible describir el invariante de Donaldson-Futaki en términos de la teoría de la intersección , y este fue el enfoque adoptado por Tian al definir el peso CM. ^{[ 1 ]} Cualquier configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$admite una compactación natural${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$encima${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(p. ej., véase ^{[ 16 ] [ 17 ]} ), entonces el peso CM se define por

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

dónde${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$Esta definición mediante la fórmula de intersección se utiliza ahora con frecuencia en geometría algebraica.

Se sabe que${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$coincide con${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$, así que podemos tomar el peso${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ser o${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$o${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$El peso${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$También se puede expresar en términos de la forma de Chow y el hiperdiscriminante. ^{[ 18 ]} En el caso de las variedades de Fano, hay una interpretación del peso en términos de nuevos${\displaystyle \beta }$-invariante en las valoraciones encontradas por Chi Li ^{[ 19 ]} y Kento Fujita. ^{[ 20 ]}

Para definir la K-estabilidad, primero debemos excluir ciertas configuraciones de prueba. Inicialmente se suponía que bastaba con ignorar las configuraciones de prueba triviales definidas anteriormente, cuyo invariante de Donaldson-Futaki siempre se anula, pero Li y Xu observaron que se requiere mayor cuidado en la definición. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Székelyhidi proporciona una forma elegante de definir la K-estabilidad utilizando la norma de una configuración de prueba, que describimos a continuación. ^{[ 23 ]}

Para una configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$, definimos la norma de la siguiente manera. Sea${\displaystyle A_{k}}$sea ​​el generador infinitesimal del${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$acción sobre el espacio vectorial${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$. Entonces${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$. De forma similar a los polinomios${\displaystyle w(k)}$y${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$, la función${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$es un polinomio para enteros suficientemente grandes${\displaystyle k}$, en este caso de grado${\displaystyle n+2}$. Escribamos su expansión como

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

La norma de una configuración de prueba se define mediante la expresión

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

Según la analogía con el criterio de Hilbert-Mumford, una vez que se tiene una noción de deformación (configuración de prueba) y peso sobre la fibra central (invariante de Donaldson-Futaki), se puede definir una condición de estabilidad, llamada estabilidad K.

Dejar${\displaystyle (X,L)}$sea ​​una variedad algebraica polarizada. Decimos que${\displaystyle (X,L)}$es:

• K-semiestable si${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$para todas las configuraciones de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$para${\displaystyle (X,L)}$.
• K-estable si${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$para todas las configuraciones de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$para${\displaystyle (X,L)}$y además${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$cuando sea${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$.
• K-poliestable si${\displaystyle (X,L)}$es K-semiestable, y además siempre que${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$, la configuración de prueba${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$es una configuración de producto.
• K-inestable si no es K-semiestable.

Se espera que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se aplique de forma más general a las métricas cscK sobre variedades polarizadas suaves arbitrarias. De hecho, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se refiere a este contexto más general, siendo el caso de las variedades de Fano un caso especial, que fue conjeturado previamente por Yau y Tian. Donaldson se basó en la conjetura de Yau y Tian del caso de Fano después de introducir su definición de K-estabilidad para variedades polarizadas arbitrarias. ^{[ 2 ]}

Conjetura de Yau-Tian-Donaldson para métricas de curvatura escalar constante : una variedad polarizada suave${\displaystyle (X,L)}$admite una métrica de Kähler de curvatura escalar constante en la clase de${\displaystyle c_{1}(L)}$si y solo si el par${\displaystyle (X,L)}$es K-poliestable.

Como se ha comentado, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se ha resuelto en el contexto de Fano. Donaldson demostró en 2009 que la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se cumple para variedades tóricas de dimensión compleja 2. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} Para variedades polarizadas arbitrarias, Stoppa demostró, también utilizando el trabajo de Arezzo y Pacard, que la existencia de una métrica cscK implica K-polistabilidad. ^{[ 40 ] [ 41 ]} Esta es, en cierto sentido, la dirección fácil de la conjetura, ya que supone la existencia de una solución a una ecuación diferencial parcial difícil y llega al resultado algebraico comparativamente fácil. El desafío significativo es demostrar la dirección inversa, que una condición puramente algebraica implica la existencia de una solución a una EDP.

Se sabe desde el trabajo original de Pierre Deligne y David Mumford que las curvas algebraicas suaves son asintóticamente estables en el sentido de la teoría de invariantes geométricos, y en particular que son K-estables. ^{[ 42 ]} En este contexto, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson es equivalente al teorema de uniformización . Es decir, toda curva suave admite una métrica de Kähler-Einstein de curvatura escalar constante o${\displaystyle +1}$en el caso de la línea proyectiva${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$,${\displaystyle 0}$en el caso de curvas elípticas , o${\displaystyle -1}$en el caso de superficies de Riemann compactas de género${\displaystyle g>1}$.

El entorno donde${\displaystyle L=-K_{X}}$es suficiente para que${\displaystyle X}$es una variedad de Fano es de particular importancia, y en ese contexto se conocen muchas herramientas para verificar la K-estabilidad de las variedades de Fano. Por ejemplo, utilizando técnicas puramente algebraicas se puede demostrar que todas las hipersuperficies de Fermat

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

son variedades Fano K-estables para${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$. ^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}

La K-estabilidad fue introducida originalmente por Donaldson en el contexto de las variedades tóricas . ^{[ 2 ]} En el entorno tórico, muchas de las definiciones complicadas de K-estabilidad se simplifican para ser dadas por datos en el politopo de momentos.${\displaystyle P}$de la variedad tórica polarizada${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$En primer lugar, se sabe que para probar la K-estabilidad, basta con considerar configuraciones de prueba tóricas , donde el espacio total de la configuración de prueba también es una variedad tórica. Cualquier configuración de prueba tórica de este tipo puede describirse elegantemente mediante una función convexa en el politopo de momentos, y Donaldson definió originalmente la K-estabilidad para tales funciones convexas. Si una configuración de prueba tórica${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$para${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$viene dada por una función convexa${\displaystyle f}$en${\displaystyle P}$, entonces el invariante de Donaldson-Futaki se puede escribir como

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

dónde${\displaystyle d\mu }$es la medida Lebesgue sobre${\displaystyle P}$,${\displaystyle d\sigma }$es la medida canónica en el límite de${\displaystyle P}$que surge de su descripción como politopo de momento (si una arista de${\displaystyle P}$viene dada por una desigualdad lineal${\displaystyle h(x)\leq a}$para algún funcional lineal afín h en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con coeficientes enteros, entonces${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$), y${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$Además, la norma de la configuración de prueba puede ser dada por

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

dónde${\displaystyle {\bar {f}}}$es el promedio de${\displaystyle f}$en${\displaystyle P}$con respecto a${\displaystyle d\mu }$.

Donaldson demostró que, para superficies tóricas, basta con probar funciones convexas de una forma particularmente simple. Decimos que una función convexa en${\displaystyle P}$es lineal por partes si se puede escribir como un máximo${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$para algunos funcionales lineales afines${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$Nótese que por la definición de la constante${\displaystyle a}$, el invariante de Donaldson-Futaki${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$es invariante bajo la adición de un funcional lineal afín, por lo que siempre podemos tomar uno de los${\displaystyle h_{i}}$ser la función constante${\displaystyle 0}$Decimos que una función convexa es lineal a trozos simple si es el máximo de dos funciones, y por lo tanto está dada por${\displaystyle f=\max(0,h)}$para alguna función lineal afín${\displaystyle h}$y lineal por partes racional simple si${\displaystyle h}$tiene coeficientes racionales. Donaldson demostró que, para superficies tóricas, basta con comprobar la K-estabilidad únicamente con funciones racionales simples y lineales a trozos. Este resultado es poderoso, ya que permite calcular fácilmente los invariantes de Donaldson-Futaki de dichas configuraciones de prueba simples y, por lo tanto, determinar computacionalmente cuándo una superficie tórica dada es K-estable.

Un ejemplo de una variedad K-inestable viene dado por la superficie tórica.${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$, la primera superficie de Hirzebruch , que es la explosión del plano proyectivo complejo en un punto, con respecto a la polarización dada por${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$, dónde${\displaystyle \pi$ :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}} es la explosión y${\displaystyle E}$el divisor excepcional.

La medida${\displaystyle d\sigma }$en las caras límite horizontales y verticales del politopo son simplemente${\displaystyle dx}$y${\displaystyle dy}$. En la cara diagonal${\displaystyle x+y=2}$La medida viene dada por${\displaystyle (dx-dy)/2}$Consideremos la función convexa${\displaystyle f(x,y)=x+y}$en este politopo. Entonces

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

y

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

De este modo

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

y así la primera superficie de Hirzebruch${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$es K-inestable.

La estabilidad K surge de una analogía con el criterio de Hilbert-Mumford para la teoría de invariantes geométricos de dimensión finita. Es posible utilizar directamente la teoría de invariantes geométricos para obtener otras nociones de estabilidad para variedades estrechamente relacionadas con la estabilidad K.

Toma una variedad polarizada${\displaystyle (X,L)}$con polinomio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {P}}}$y arreglar un${\displaystyle r>0}$de tal manera que${\displaystyle L^{r}}$es muy amplio con cohomología superior evanescente. El par${\displaystyle (X,L^{r})}$entonces se puede identificar con un punto en el esquema de Hilbert de subesquemas de${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$con polinomio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$.

Este esquema de Hilbert puede incrustarse en el espacio proyectivo como un subesquema de una grassmanniana (que es proyectiva a través de la incrustación de Plücker ). El grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$actúa sobre este esquema de Hilbert, y dos puntos en el esquema de Hilbert son equivalentes si y solo si las variedades polarizadas correspondientes son isomorfas. Por lo tanto, se puede utilizar la teoría de invariantes geométricos para esta acción de grupo para dar una noción de estabilidad. Esta construcción depende de una elección de${\displaystyle r>0}$, entonces se dice que una variedad polarizada es asintóticamente estable de Hilbert si es estable con respecto a esta incrustación para todo${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$suficientemente grande, para algún fijo${\displaystyle r_{0}}$.

Existe otra incrustación proyectiva del esquema de Hilbert llamada incrustación de Chow, que proporciona una linealización diferente del esquema de Hilbert y, por lo tanto, una condición de estabilidad diferente. De manera similar, se puede definir la estabilidad asintótica de Chow . Explícitamente, el peso de Chow para un fijo${\displaystyle r>0}$se puede calcular como

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

para${\displaystyle r}$suficientemente grande. ^{[ 46 ]} A diferencia del invariante de Donaldson-Futaki, el peso de Chow cambia si el fibrado de líneas${\displaystyle L}$es reemplazado por alguna potencia${\displaystyle L^{k}}$. Sin embargo, a partir de la expresión

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

uno observa que

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

y así la K-estabilidad es en cierto sentido el límite de la estabilidad de Chow como dimensión del espacio proyectivo.${\displaystyle X}$está incrustado en enfoques infinitos.

De manera similar, se puede definir la semiestabilidad asintótica de Chow y la semiestabilidad asintótica de Hilbert, y las diversas nociones de estabilidad se relacionan de la siguiente manera:

Chow asintóticamente estable${\displaystyle \implies }$Hilbert estable asintóticamente${\displaystyle \implies }$Semiestable de Hilbert asintóticamente${\displaystyle \implies }$Semiestable asintóticamente de Chow${\displaystyle \implies }$K-semiestable

Sin embargo, se desconoce si la estabilidad K implica la estabilidad asintótica de Chow. ^{[ 47 ]}

Yau predijo originalmente que la noción correcta de estabilidad para variedades debería ser análoga a la estabilidad de pendiente para haces vectoriales. Julius Ross y Richard Thomas desarrollaron una teoría de estabilidad de pendiente para variedades, conocida como estabilidad K de pendiente . Ross y Thomas demostraron que cualquier configuración de prueba se obtiene esencialmente al expandir la variedad.${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$a lo largo de una secuencia de${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ideales invariantes, soportados en la fibra central. ^{[ 47 ]} Este resultado se debe esencialmente a David Mumford. ^{[ 48 ]} Explícitamente, cada configuración de prueba está dominada por una explosión de${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$a lo largo de un ideal de la forma

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

dónde${\displaystyle t}$es la coordenada en${\displaystyle \mathbb {C} }$. Al tomar el apoyo de los ideales, esto corresponde a hacer estallar una bandera de subesquemas.

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

dentro de la copia${\displaystyle X\times \{0\}}$de${\displaystyle X}$Esta descomposición se obtiene esencialmente tomando la descomposición en espacio de pesos del ideal invariante.${\displaystyle I}$bajo el${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$acción.

En el caso especial en que esta bandera de subesquemas tiene longitud uno, el invariante de Donaldson-Futaki se puede calcular fácilmente y se llega a la estabilidad de pendiente K. Dado un subesquema${\displaystyle Z\subset X}$definido por un haz ideal${\displaystyle I_{Z}}$, la configuración de prueba viene dada por

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

que es la deformación del cono normal de la incrustación${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$.

Si la variedad${\displaystyle X}$tiene polinomio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$, define la pendiente de${\displaystyle X}$ser

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

Para definir la pendiente del subesquema${\displaystyle Z}$, consideremos el polinomio de Hilbert-Samuel del subesquema${\displaystyle Z}$,

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

para${\displaystyle r\gg 0}$y${\displaystyle x}$un número racional tal que${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$. Los coeficientes${\displaystyle a_{i}(x)}$son polinomios en${\displaystyle x}$de grado${\displaystyle n-i}$y la pendiente K de${\displaystyle I_{Z}}$con respecto a${\displaystyle c}$se define por

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Esta definición tiene sentido para cualquier elección de número real.${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$dónde${\displaystyle \epsilon (Z)}$es la constante Seshadri de${\displaystyle Z}$. Observe que tomar${\displaystyle Z=\emptyset }$recuperamos la pendiente de${\displaystyle X}$La pareja${\displaystyle (X,L)}$es K-semiestable pendiente si para todos los subesquemas propios${\displaystyle Z\subset X}$,${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$a pesar de${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$(También se puede definir la estabilidad K de la pendiente y la poliestabilidad K de la pendiente exigiendo que esta desigualdad sea estricta, con algunas condiciones técnicas adicionales).

Ross y Thomas demostraron que la K-semiestabilidad implica la K-semiestabilidad de pendiente. ^{[ 49 ]} Sin embargo, a diferencia del caso de los haces vectoriales, la K-estabilidad de pendiente no implica K-estabilidad. En el caso de los haces vectoriales, basta con considerar solo subhaces simples, pero para las variedades es necesario considerar también banderas de longitud mayor que uno. A pesar de esto, la K-estabilidad de pendiente aún puede utilizarse para identificar variedades K-inestables y, por lo tanto, según los resultados de Stoppa, proporciona obstáculos a la existencia de métricas cscK. Por ejemplo, Ross y Thomas utilizan la K-estabilidad de pendiente para demostrar que la proyectividad de un haz vectorial inestable sobre una base K-estable es K-inestable y, por lo tanto, no admite una métrica cscK. Esto es lo contrario de los resultados de Hong, que muestran que la proyectividad de un haz estable sobre una base que admite una métrica cscK también admite una métrica cscK y, por lo tanto, es K-estable. ^{[ 50 ]}

El trabajo de Apostolov–Calderbank–Gauduchon–Tønnesen-Friedman muestra la existencia de una variedad que no admite ninguna métrica extremal, pero que no parece desestabilizarse por ninguna configuración de prueba. ^{[ 51 ]} Esto sugiere que la definición de K-estabilidad dada aquí puede no ser lo suficientemente precisa como para implicar la conjetura de Yau–Tian–Donaldson en general. Sin embargo, este ejemplo se desestabiliza por un límite de configuraciones de prueba. Esto fue preciso por Székelyhidi , quien introdujo la K-estabilidad por filtración . ^{[ 46 ] [ 23 ]} Una filtración aquí es una filtración del anillo de coordenadas

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

de la variedad polarizada${\displaystyle (X,L)}$. Las filtraciones consideradas deben ser compatibles con la gradación en el anillo de coordenadas en el siguiente sentido: Una filtración${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle R}$es una cadena de subespacios de dimensión finita

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

1. La filtración es multiplicativa . Es decir,${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$a pesar de${\displaystyle i,j\geq 0}$.
2. La filtración es compatible con la clasificación en${\displaystyle R}$provenientes de las piezas clasificadas${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$. Es decir, si${\displaystyle f\in F_{i}R}$, entonces cada pieza homogénea de${\displaystyle f}$está en${\displaystyle F_{i}R}$.
3. Los escapes de filtración${\displaystyle R}$. Es decir, tenemos${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$.

Dada una filtración${\displaystyle \chi }$, su álgebra de Rees se define por

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

Decimos que una filtración es finitamente generada si su álgebra de Rees es finitamente generada. David Witt Nyström demostró que una filtración es finitamente generada si y solo si surge de una configuración de prueba, y Székelyhidi demostró que cualquier filtración es un límite de filtraciones finitamente generadas. ^{[ 52 ]} Combinando estos resultados, Székelyhidi observó que el ejemplo de Apostolov-Calderbank-Gauduchon-Tønnesen-Friedman no violaría la conjetura de Yau-Tian-Donaldson si la K-estabilidad se reemplazara por la K-estabilidad de filtración. Esto sugiere que la definición de K-estabilidad podría necesitar ser editada para dar cuenta de estos ejemplos límite.