Grupos K de un campo

En matemáticas, especialmente en la teoría K algebraica , es importante calcular el grupo K algebraico de un cuerpo. Para un cuerpo finito, el cálculo completo fue proporcionado por Daniel Quillen .

El mapa que envía un espacio vectorial F de dimensión finita a su dimensión induce un isomorfismo.

${\displaystyle K_{0}(F)\cong \mathbf {Z} }$

para cualquier campo F. A continuación,

${\displaystyle K_{1}(F)=F^{\times },}$

el grupo multiplicativo de F. ^{[ 1} ] El segundo K-grupo de un cuerpo se describe en términos de generadores y relaciones mediante ^el teorema de Matsumoto .

Los K-grupos de cuerpos finitos son uno de los pocos casos en los que la K-teoría se conoce completamente: ^{[ 2 ]} para${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle K_{n}(\mathbb {F} _{q})=\pi _{n}(BGL(\mathbb {F} _{q})^{+})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} /{(q^{i}-1)},&{\text{si }}n=2i-1\\0,&{\text{si }}n{\text{ es par}}\end{cases}}}$

Para n = 2, esto se puede ver a partir del teorema de Matsumoto; en grados superiores, Quillen lo calculó junto con su trabajo sobre la conjetura de Adams . Jardine (1993) dio una demostración diferente .

Weibel (2005) examina los cálculos de la teoría K de campos globales (como campos numéricos y campos de funciones ), así como de campos locales (como números p-ádicos ).

Suslin (1983) demostró que la torsión en la teoría K es insensible a las extensiones de cuerpos algebraicamente cerrados. Esta afirmación se conoce como rigidez de Suslin .

• grupo de clases divisor

• Jardine, JF (1993), "La K-teoría de campos finitos, revisitada", K-Theory , 7 (6): 579– 595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR 1268594 
• Suslin, Andrei (1983), "Sobre la K -teoría de campos algebraicamente cerrados", Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245 , Bibcode : 1983InMat..73..241S , doi : 10.1007/BF01394024 , MR 0714090 
• Weibel, Charles (2005), "Teoría K algebraica de anillos de enteros en campos locales y globales", en Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (eds.), Handbook of K-Theory , Springer, pp. 139–190 , doi : 10.1007/978-3-540-27855-9_5 , ISBN  978-3-540-27855-9
• Weibel, Charles A. (2013), The K- book , Graduate Studies in Mathematics, vol.  145, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR 3076731