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Articulo de referencia

La rutina de Kaprekar

En teoría de números , la rutina de Kaprekar es un algoritmo iterativo que lleva el nombre de su inventor, el matemático indio DR Kaprekar . Cada iteración comienza con un númer...

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En teoría de números , la rutina de Kaprekar es un algoritmo iterativo que lleva el nombre de su inventor, el matemático indio DR Kaprekar . Cada iteración comienza con un número, ordena los dígitos en orden descendente y ascendente y calcula la diferencia entre los dos nuevos números.

A modo de ejemplo, empezando con el número 8991 en base 10 :

9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
7641 – 1467 = 6174

6174 , conocida como la constante de Kaprekar , es un punto fijo de este algoritmo. Cualquier número de cuatro dígitos (en base 10) con al menos dos dígitos distintos alcanzará 6174 en siete iteraciones. [1] El algoritmo se ejecuta en cualquier número natural en cualquier base numérica dada .

Definición y propiedades

El algoritmo es el siguiente: [2]

  1. Elija cualquier número natural en una base numérica dada . Este es el primer número de la secuencia. norte {\estilo de visualización n} b {\estilo de visualización b}
  2. Crea un nuevo número ordenando los dígitos de en orden descendente y otro número ordenando los dígitos de en orden ascendente. Estos números pueden tener ceros a la izquierda, que se pueden ignorar. Resta para obtener el siguiente número de la secuencia. alfa {\estilo de visualización \alpha} norte {\estilo de visualización n} β {\estilo de visualización \beta} norte {\estilo de visualización n} alfa − β {\displaystyle \alpha -\beta}
  3. Repita el paso 2.

La secuencia se denomina secuencia de Kaprekar y la función es la función de Kaprekar. Algunos números se asignan a sí mismos; estos son los puntos fijos de la función de Kaprekar, [3] y se denominan constantes de Kaprekar. El cero es una constante de Kaprekar para todas las bases , por lo que se denomina constante de Kaprekar trivial. Todas las demás constantes de Kaprekar son constantes de Kaprekar no triviales. K b ( norte ) = alfa − β {\displaystyle K_{b}(n)=\alpha -\beta } b {\estilo de visualización b}

Por ejemplo, en base 10 , comenzando con 3524,

K 10 ( 3524 ) = 5432 − 2345 = 3087 {\displaystyle K_{10}(3524)=5432-2345=3087}
K 10 ( 3087 ) = 8730 − 378 = 8352 {\displaystyle K_{10}(3087)=8730-378=8352}
K 10 ( 8352 ) = 8532 − 2358 = 6174 {\displaystyle K_{10}(8352)=8532-2358=6174}
K 10 ( 6174 ) = 7641 − 1467 = 6174 {\displaystyle K_{10}(6174)=7641-1467=6174}

con 6174 como constante de Kaprekar.

Todas las secuencias de Kaprekar llegarán a uno de estos puntos fijos o darán lugar a un ciclo repetitivo. En cualquier caso, el resultado final se alcanza en un número bastante pequeño de pasos.

Tenga en cuenta que los números y tienen la misma suma de dígitos y, por lo tanto, el mismo resto módulo . Por lo tanto, cada número en una secuencia de números base de Kaprekar (excepto posiblemente el primero) es un múltiplo de . alfa {\estilo de visualización \alpha} β {\estilo de visualización \beta} b − 1 {\estilo de visualización b-1} b {\estilo de visualización b} b − 1 {\estilo de visualización b-1}

Cuando se conservan los ceros iniciales, solo los repdigits conducen a la constante trivial de Kaprekar.

Familias de constantes de Kaprekar

En base 4 , se puede demostrar fácilmente que todos los números de la forma 3021, 310221, 31102221, 3...111...02...222...1 (donde la longitud de la secuencia "1" y la longitud de la secuencia "2" son la misma) son puntos fijos de la función de Kaprekar.

En base 10 , se puede demostrar fácilmente que todos los números de la forma 6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4 (donde la longitud de la secuencia "3" y la longitud de la secuencia "6" son la misma) son puntos fijos de la función de Kaprekar.

b= 2a

Se puede demostrar que todos los números naturales

metro = ( a ) b 2 norte + 3 ( ∑ i = 0 norte − 1 b i ) + ( a − 1 ) b 2 norte + 2 + ( 2 a − 1 ) b norte + 1 ( ∑ i = 0 norte b i ) + ( a − 1 ) b ( ∑ i = 0 norte − 1 b i ) + ( a ) {\displaystyle m=(k)b^{2n+3}(\suma _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}(\suma _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\suma _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k)}

son puntos fijos de la función de Kaprekar en base par b = 2 k para todos los números naturales n .

Prueba

alfa = ( 2 a − 1 ) b 2 norte + 2 ( ∑ i = 0 norte b i ) + ( a ) b norte + 1 ( ∑ i = 0 norte b i ) + ( a − 1 ) ( ∑ i = 0 norte b i ) {\displaystyle \alpha =(2k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)}

β = ( k − 1 ) b 2 n + 2 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( 2 k − 1 ) ( ∑ i = 0 n b i ) {\displaystyle \beta =(k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)}

K b ( m ) = α − β = ( ( 2 k − 1 ) − ( k − 1 ) ) b 2 n + 2 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − k ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( ( k − 1 ) − ( 2 k − 1 ) ) ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 2 ( ∑ i = 0 n b i ) − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + b 2 n + 2 − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k ) b 2 n + 1 − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b 2 n + 1 + b 2 n + 1 − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b 2 n + 1 − 1 ( ∑ i = 0 1 b i ) + b 2 n + 1 − 1 − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b 2 n + 1 − n ( ∑ i = 0 n b i ) + b 2 n + 1 − n − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + b n + 1 − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( 2 k ) b n − k ( ∑ i = 0 n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + k b n − k ( ∑ i = 0 n − 1 b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b n + 1 − 1 + b n + 1 − 1 − k ( ∑ i = 0 n − n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b n + 1 − n ( ∑ i = 0 n b i ) + b n + 1 − n − k ( ∑ i = 0 n − n b i ) = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b ( ∑ i = 0 n b i ) + b − k = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b ( ∑ i = 0 n b i ) + 2 k − k = k b 2 n + 3 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b 2 n + 2 + ( 2 k − 1 ) b n + 1 ( ∑ i = 0 n b i ) + ( k − 1 ) b ( ∑ i = 0 n b i ) + k = m {\displaystyle {\begin{aligned}K_{b}(m)&=\alpha -\beta \\&=((2k-1)-(k-1))b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+((k-1)-(2k-1))\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+b^{2n+2}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k)b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1}+b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-1}\left(\sum _{i=0}^{1}b^{i}\right)+b^{2n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{2n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k)b^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+kb^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-1}+b^{n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+2k-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+k\\&=m\\\end{aligned}}}

Véase también

Citas

  1. ^ Hannover 2017, p. 1, Descripción general.
  2. ^ Hannover 2017, p. 3, Metodología.
  3. ^ (secuencia A099009 en la OEIS )

Referencias

  • Hanover, Daniel (2017). "El comportamiento dependiente de la base de la rutina de Kaprekar: un estudio teórico y computacional que revela nuevas regularidades". Revista internacional de matemáticas puras y aplicadas . arXiv : 1710.06308 .
  • Bowley, Roger (5 de diciembre de 2011). «6174 es la constante de Kaprekar». Numberphile . Universidad de Nottingham : Brady Haran . Consultado el 17 de enero de 2024 .
  • Enlace funcional a YouTube
  • Código de ejemplo (Perl) para convertir cualquier número de cuatro dígitos en la constante de Kaprekar
  • Código de ejemplo (Python) para convertir cualquier número de cuatro dígitos en la constante de Kaprekar
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