Número de Keith

En matemáticas recreativas , un número de Keith o número repfigit (abreviatura de dígito repetitivo similar a Fibonacci ) es un número natural .${\displaystyle n}$en una base numérica determinada${\displaystyle b}$con${\displaystyle k}$dígitos tales que cuando se crea una secuencia tal que el primero${\displaystyle k}$los términos son los${\displaystyle k}$dígitos de${\displaystyle n}$y cada término subsiguiente es la suma del anterior${\displaystyle k}$términos,${\displaystyle n}$es parte de la secuencia. Los números de Keith fueron introducidos por Mike Keith en 1987. ^{[ 1 ]} Son computacionalmente muy difíciles de encontrar, y solo se conocen alrededor de 125.

Dejar${\displaystyle n}$Sea un número natural, sea${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$sea ​​el número de dígitos de${\displaystyle n}$en base${\displaystyle b}$y dejar

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

sea ​​el valor de cada dígito de${\displaystyle n}$.

Definimos la secuencia${\displaystyle S(i)}$mediante una relación de recurrencia lineal . Para${\displaystyle 0\leq i<k}$,

${\displaystyle S(i)=d_{ki-1}}$

y para${\displaystyle i\geq k}$

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

Si existe un${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle S(i)=n}$, entonces${\displaystyle n}$Se dice que es un número de Keith .

Por ejemplo, 88 es un número de Keith en base 6 , como

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

y toda la secuencia

${\displaystyle S(i)=\{2,2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}$

y${\displaystyle S(7)=88}$.

14 , 19 , 28 , 47 , 61 , 75 , 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297, ... ^{[ 4 ]}

En base 2 , existe un método para construir todos los números de Keith. ^{[ 3 ]}

Los números de Keith en base 12 , escritos en base 12, son

11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, ...

donde ᘔ representa 10 y Ɛ representa 11.

Un clúster de Keith es un conjunto relacionado de números de Keith tales que uno es múltiplo de otro. Por ejemplo, en base 10 ,${\displaystyle \{14,28\}}$,${\displaystyle \{1104,2208\}}$, y${\displaystyle \{31331,62662,93993\}}$son todos clústeres de Keith. Estos son posiblemente los únicos tres ejemplos de un clúster de Keith en base 10. ^{[ 5 ]}

El siguiente ejemplo implementa la secuencia definida anteriormente en Python para determinar si un número en una base particular es un número de Keith:

def is_repfigit ( x : int , b : int ) -> bool : """Determina si un número en una base particular es un número de Keith.""" if x == 0 : return Truesecuencia = [] y = xmientras y > 0 : secuencia.append ( y % b ) y = y // b​​digit_count = len ( secuencia ) secuencia . reverse ()mientras secuencia [ len ( secuencia ) - 1 ] < x : n = 0 para i en rango ( 0 , conteo_de_dígitos ) : n = n + secuencia [ len ( secuencia ) - conteo_de_dígitos + i ] secuencia.append ( n )​devolver secuencia [ len ( secuencia ) - 1 ] == x

• Dinámica aritmética
• Número de Fibonacci
• Relación de recurrencia lineal