Cinemática

La velocidad de una partícula es una magnitud vectorial que describe tanto la dirección como la magnitud de su movimiento. Matemáticamente, la tasa de cambio del vector de posición de un punto con respecto al tiempo es la velocidad de dicho punto. Consideremos la razón que se obtiene al dividir la diferencia entre dos posiciones de una partícula ( desplazamiento ) por el intervalo de tiempo. Esta razón se denomina velocidad media en ese intervalo de tiempo y se define como:$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$dónde${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$es el vector de desplazamiento durante el intervalo de tiempo${\displaystyle \Delta t}$. En el límite de que el intervalo de tiempo${\displaystyle \Delta t}$Cuando la velocidad media se aproxima a cero, se aproxima a la velocidad instantánea, definida como la derivada temporal del vector de posición. $${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$ Así, la velocidad de una partícula es la tasa de cambio de su posición con respecto al tiempo. Además, esta velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto de su recorrido. En un sistema de referencia no giratorio, no se consideran las derivadas de las direcciones de las coordenadas, ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La velocidad de un objeto es la magnitud de su velocidad. Es una magnitud escalar: $${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ dónde${\displaystyle s}$es la longitud de arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula. Esta longitud de arco siempre debe aumentar a medida que la partícula se mueve. Por lo tanto,${\displaystyle {\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}}$es no negativo, lo que implica que la velocidad también es no negativa.

El vector velocidad puede cambiar en magnitud y en dirección, o ambas a la vez. Por lo tanto, la aceleración considera tanto la tasa de cambio de la magnitud del vector velocidad como la tasa de cambio de su dirección. El mismo razonamiento utilizado con respecto a la posición de una partícula para definir la velocidad, puede aplicarse a la velocidad para definir la aceleración. La aceleración de una partícula es el vector definido por la tasa de cambio del vector velocidad. La aceleración promedio de una partícula en un intervalo de tiempo se define como la razón. $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ donde Δv es la velocidad media y Δt es el intervalo de tiempo.

La aceleración de la partícula es el límite de la aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, que es la derivada temporal, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Alternativamente, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Así, la aceleración es la primera derivada del vector velocidad y la segunda derivada del vector posición de dicha partícula. En un sistema de referencia no giratorio, no se consideran las derivadas de las direcciones de las coordenadas, ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud | a | de su vector de aceleración. Es una magnitud escalar: $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

Un vector de posición relativa es un vector que define la posición de un punto con respecto a otro. Es la diferencia en la posición de los dos puntos. La posición de un punto A con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus posiciones.

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

que es la diferencia entre las componentes de sus vectores de posición.

Si el punto A tiene componentes de posición${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

y el punto B tiene componentes de posición${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

Entonces, la posición del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes:${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

La velocidad de un punto con respecto a otro es simplemente la diferencia entre sus velocidades. $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$ que es la diferencia entre los componentes de sus velocidades.

Si el punto A tiene componentes de velocidad${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$y el punto B tiene componentes de velocidad${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$Entonces, la velocidad del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la derivada temporal del vector de posición relativa r _B/A .

La aceleración de un punto C con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus aceleraciones. $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$ que es la diferencia entre los componentes de sus aceleraciones.

Si el punto C tiene componentes de aceleración${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ y el punto B tiene componentes de aceleración${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$ Entonces, la aceleración del punto C con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes:${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

Suponiendo que las condiciones iniciales de la posición,${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$y velocidad${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$en ese momento${\displaystyle t=0}$Se conocen, la primera integración produce la velocidad de la partícula en función del tiempo. ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (\tau )\,{\text{d}}\tau }$$

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Si la aceleración es constante, $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$se puede sustituir en la ecuación anterior para obtener: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

Se puede obtener una relación entre velocidad, posición y aceleración sin dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio para el tiempo y sustituyendo y simplificando.

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$ dónde${\displaystyle \cdot }$denota el producto escalar , lo cual es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores. $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

El producto escalar puede reemplazarse por el coseno del ángulo α entre los vectores (véase Interpretación geométrica del producto escalar para más detalles) y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso: $${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

En el caso de aceleración siempre en la dirección del movimiento y la dirección del movimiento debe ser positiva o negativa, el ángulo entre los vectores ( α ) es 0, por lo tanto${\displaystyle \cos 0=1}$, y $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ Esto se puede simplificar utilizando la notación para las magnitudes de los vectores.${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$dónde${\displaystyle \Delta r}$puede ser cualquier trayectoria curva tomada mientras se aplica la aceleración tangencial constante a lo largo de esa trayectoria , por lo que $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

Esto reduce las ecuaciones paramétricas del movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad versus posición. Esta relación es útil cuando se desconoce el tiempo. También sabemos que${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$o${\displaystyle \Delta r}$es el área bajo una gráfica de velocidad-tiempo. ^{[ 21 ]}

Podemos tomar${\displaystyle \Delta r}$sumando el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo, y el área de un rectángulo es la${\displaystyle A\cdot B}$dónde${\displaystyle A}$es el ancho y${\displaystyle B}$es la altura. En este caso${\displaystyle A=t}$y${\displaystyle B=v_{0}}$(el${\displaystyle A}$Aquí es diferente de la aceleración${\displaystyle a}$). Esto significa que el área inferior es${\displaystyle tv_{0}}$Ahora vamos a hallar el área superior (un triángulo). El área de un triángulo es${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$dónde${\displaystyle B}$es la base y${\displaystyle H}$es la altura. ^{[ 22 ]} En este caso,${\displaystyle B=t}$y${\displaystyle H=at}$o${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$. Añadiendo${\displaystyle v_{0}t}$y${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$da como resultado la ecuación${\displaystyle \Delta r}$da como resultado la ecuación${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$. ^{[ 23 ]} Esta ecuación es aplicable cuando se desconoce la velocidad final v .

Si la trayectoria de la partícula está restringida a estar sobre un cilindro, entonces el radio r es constante y los vectores de velocidad y aceleración se simplifican. La velocidad de v _P es la derivada temporal de la trayectoria r ( t ), $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Un caso especial de trayectoria de una partícula en un cilindro circular se produce cuando no hay movimiento a lo largo del eje z :$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ donde r y z ₀ son constantes. En este caso, la velocidad v _P viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ dónde${\displaystyle \omega }$es la velocidad angular del vector unitario θ ^{^} alrededor del eje z del cilindro.

La aceleración a _P de la partícula P viene dada ahora por: $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

Los componentes $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$ se denominan, respectivamente, componentes radial y tangencial de la aceleración.

La notación para la velocidad angular y la aceleración angular se define a menudo como $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ por lo que las componentes de aceleración radial y tangencial para trayectorias circulares también se escriben como $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

La posición de un componente de un sistema mecánico con respecto a otro se define introduciendo un sistema de referencia, digamos M , en uno de los componentes, que se mueve con respecto a un sistema de referencia fijo, F, en el otro. La transformación rígida, o desplazamiento, de M con respecto a F define la posición relativa de los dos componentes. Un desplazamiento consiste en la combinación de una rotación y una traslación .

El conjunto de todos los desplazamientos de M con respecto a F se denomina espacio de configuración de M. Una curva suave que va de una posición a otra en este espacio de configuración constituye un conjunto continuo de desplazamientos, denominado movimiento de M con respecto a F. El movimiento de un cuerpo consiste en un conjunto continuo de rotaciones y traslaciones.

La combinación de una rotación y una traslación en el plano R² se puede representar mediante un tipo específico de matriz de 3×3 conocida como transformación homogénea. La transformación homogénea de 3×3 se construye a partir de una matriz de rotación de 2×2 ^A ( φ ) y el vector de traslación de 2×1 _d = ( dx , dy ₎ , como se muestra a continuación: $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$ Estas transformaciones homogéneas realizan transformaciones rígidas en los puntos del plano z = 1, es decir, en los puntos con coordenadas r = ( x , y , 1).

En particular, sea r la que define las coordenadas de los puntos en un sistema de referencia M coincidente con un sistema de referencia fijo F. Entonces, cuando el origen de M se desplaza mediante el vector de traslación d con respecto al origen de F y se rota un ángulo φ con respecto al eje x de F , las nuevas coordenadas en F de los puntos en M vienen dadas por: $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Las transformaciones homogéneas representan transformaciones afines . Esta formulación es necesaria porque una traslación no es una transformación lineal de R² . ^Sin embargo, al usar geometría proyectiva , de modo que R² se considera un subconjunto de ^R³ , las traslaciones se convierten en transformaciones lineales afines ^{. [ 26 ]}

Esto permite describir una rotación como la posición angular de un sistema de referencia plano M con respecto a un sistema fijo F alrededor de este eje z compartido . Las coordenadas p = ( x , y ) en M están relacionadas con las coordenadas P = (X, Y) en F mediante la ecuación matricial: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

dónde $${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$ es la matriz de rotación que define la posición angular de M con respecto a F en función del tiempo.

Si el punto p no se mueve en M , su velocidad en F viene dada por $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ Es conveniente eliminar las coordenadas p y escribir esto como una operación sobre la trayectoria P ( t ), $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ donde la matriz $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$ se conoce como la matriz de velocidad angular de M con respecto a F. El parámetro ω es la derivada temporal del ángulo θ , es decir: $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

La aceleración de P ( t ) en F se obtiene como la derivada temporal de la velocidad, $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ que se convierte $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ dónde $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$ es la matriz de aceleración angular de M en F y $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

La descripción de la rotación implica entonces estas tres cantidades:

• Posición angular : la distancia orientada desde un origen seleccionado en el eje de rotación hasta un punto de un objeto es un vector _{r(t) que localiza dicho punto. El vector r(t) tiene una proyección (o, equivalentemente, una componente) r⊥} ( t ) sobre un plano perpendicular al eje de rotación . Entonces, la posición angular de ese punto es el ángulo θ desde un eje de referencia (normalmente el eje x positivo ) hasta el vector r⊥ ( t ) en un sentido de rotación conocido (normalmente dado por la regla _de la mano derecha ).
• Velocidad angular : la velocidad angular ω es la tasa a la que cambia la posición angular θ con respecto al tiempo t :$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$La velocidad angular está representada en la Figura 1 por un vector Ω que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud ω y sentido determinado por la dirección de rotación según lo dado por la regla de la mano derecha .
• Aceleración angular : la magnitud de la aceleración angular α es la tasa a la que cambia la velocidad angular ω con respecto al tiempo t :$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

Las ecuaciones de la cinemática traslacional se pueden extender fácilmente a la cinemática rotacional planar para una aceleración angular constante con simples intercambios de variables: $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$$${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

Aquí, θ _i y θ _f son, respectivamente, las posiciones angulares inicial y final, ω _i y ω _f son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular constante. Si bien la posición y la velocidad en el espacio son vectores verdaderos (en términos de sus propiedades bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo en sí no es un vector verdadero.

Para definir estas fórmulas, el movimiento de un componente B de un sistema mecánico se define mediante el conjunto de rotaciones [A( t )] y traslaciones d ( t ) ensambladas en la transformación homogénea [T( t )] = [A( t ), d ( t )]. Si p son las coordenadas de un punto P en B medidas en el sistema de referencia móvil M , entonces la trayectoria de este punto trazada en F viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$ Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1) y P = (X, Y, Z), lo cual esperamos que quede claro en contexto.

Esta ecuación para la trayectoria de P se puede invertir para calcular el vector de coordenadas p en M de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ Esta expresión utiliza el hecho de que la transpuesta de una matriz de rotación es también su inversa, es decir: $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

La velocidad del punto P a lo largo de su trayectoria P ( t ) se obtiene como la derivada temporal de este vector de posición, $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$ El punto denota la derivada con respecto al tiempo; como p es constante, su derivada es cero.

Esta fórmula se puede modificar para obtener la velocidad de P operando sobre su trayectoria P ( t ) medida en el sistema de referencia fijo F. Sustituyendo la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad se obtiene: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ La matriz [ S ] viene dada por: $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ dónde $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$ es la matriz de velocidad angular.

Multiplicando por el operador [ S ], la fórmula para la velocidad v _P toma la forma: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ donde el vector ω es el vector de velocidad angular obtenido a partir de los componentes de la matriz [Ω]; el vector $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ es la posición de P con respecto al origen O del sistema de referencia móvil M ; y $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$es la velocidad del origen O.

La aceleración de un punto P en un cuerpo B en movimiento se obtiene como la derivada temporal de su vector velocidad: $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

Esta ecuación se puede expandir primero calculando $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ y $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

La fórmula para la aceleración A _P ahora se puede obtener como: $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ o $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ donde α es el vector de aceleración angular obtenido a partir de la derivada del vector de velocidad angular; $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ es el vector de posición relativa (la posición de P con respecto al origen O del sistema de referencia móvil M ); y $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$ es la aceleración del origen del sistema de referencia móvil M.

Un acoplamiento cinemático restringe exactamente los 6 grados de libertad.

Un objeto que rueda contra una superficie sin deslizarse cumple la condición de que la velocidad de su centro de masa es igual al producto vectorial de su velocidad angular por un vector que va desde el punto de contacto hasta el centro de masa: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

En el caso de un objeto que no se inclina ni gira, esto se reduce a${\displaystyle v=r\omega }$.

Este es el caso en que los cuerpos están conectados por una cuerda idealizada que permanece en tensión y no puede cambiar de longitud. La restricción es que la suma de las longitudes de todos los segmentos de la cuerda es la longitud total y, por consiguiente, la derivada temporal de esta suma es cero. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} Un problema dinámico de este tipo es el péndulo . Otro ejemplo es un tambor que gira por la atracción de la gravedad sobre un peso que cae unido al borde por una cuerda inextensible. ^{[ 31 ]} Un problema de equilibrio (es decir, no cinemático) de este tipo es la catenaria . ^{[ 32 ]}

Reuleaux denominó pares cinemáticos a las conexiones ideales entre los componentes que forman una máquina . Distinguió entre pares superiores, que se caracterizaban por un contacto lineal entre los dos eslabones, y pares inferiores, que presentaban un contacto superficial entre ellos. J. Phillips demuestra que existen muchas maneras de construir pares que no se ajustan a esta sencilla clasificación. ^{[ 33 ]}

Los cuerpos rígidos («eslabones») conectados por pares cinemáticos («articulaciones») se conocen como cadenas cinemáticas . Los mecanismos y los robots son ejemplos de cadenas cinemáticas. El grado de libertad de una cadena cinemática se calcula a partir del número de eslabones y el número y tipo de articulaciones mediante la fórmula de movilidad . Esta fórmula también se puede utilizar para enumerar las topologías de cadenas cinemáticas que poseen un grado de libertad determinado, lo que se conoce como síntesis de tipos en el diseño de máquinas.