Estantes y quandles

En matemáticas , los racks y los quandles son conjuntos con operaciones binarias que satisfacen axiomas análogos a los movimientos de Reidemeister utilizados para manipular diagramas de nudos .

Aunque se utilizan principalmente para obtener invariantes de nudos, pueden considerarse construcciones algebraicas por derecho propio. En particular, la definición de un quandle axiomatiza las propiedades de conjugación en un grupo .

En 1942, Mituhisa Takasaki introdujo una estructura algebraica que llamó kei (圭), ^{[ 1 ] [ 2 ]} que más tarde se conocería como quandle involutivo. ^{[ 3 ]} Su motivación era encontrar una estructura algebraica no asociativa para capturar la noción de reflexión en el contexto de la geometría finita . ^{[ 2 ] [ 3 ]} La idea fue redescubierta y generalizada en una correspondencia inédita de 1959 entre John Conway y Gavin Wraith , quienes en ese momento eran estudiantes de pregrado en la Universidad de Cambridge . Es aquí donde aparecen por primera vez las definiciones modernas de quandles y racks. Wraith se había interesado en estas estructuras (a las que inicialmente denominó secuenciales ) mientras estaba en la escuela. ^{[ 4 ]} Conway los renombró como naufragios , en parte como un juego de palabras con el nombre de su colega, y en parte porque surgen como los restos (o «naufragios y ruina») de un grupo cuando se descarta la estructura multiplicativa y se considera solo la estructura de conjugación . La grafía «rack» se ha vuelto predominante.

Estas construcciones resurgieron en la década de 1980: en un artículo de 1982 de David Joyce ^{[ 5 ]} (donde se acuñó el término quandle , una palabra arbitraria sin sentido), ^{[ 6 ]} en un artículo de 1982 de Sergei Matveev (bajo el nombre de grupoides distributivos ) ^{[ 7 ]} y en un artículo de conferencia de 1986 de Egbert Brieskorn (donde se les llamó conjuntos automorfos ). ^{[ 8 ]} Una descripción detallada de los racks y sus aplicaciones en la teoría de nudos se puede encontrar en el artículo de Colin Rourke y Roger Fenn . ^{[ 9 ]}

Un estante puede definirse como un conjunto${\displaystyle \mathrm {R} }$con una operación binaria${\displaystyle \triangleleft }$de tal manera que para cada${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$La ley autodistributiva sostiene: $${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$$

y por cada${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} }$, existe un único${\displaystyle c\in \mathrm {R}}$de tal manera que $${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$$

Esta definición, aunque concisa y de uso común, es subóptima para ciertos propósitos porque contiene un cuantificador existencial que no es realmente necesario. Para evitar esto, podemos escribir la única${\displaystyle c\in \mathrm {R}}$de tal manera que${\displaystyle a\triangleleft c=b}$como${\displaystyle b\triangleright a}$. Entonces tenemos $${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,}$$

y por lo tanto $${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$$

y $${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$$

Utilizando esta idea, un estante puede definirse de forma equivalente como un conjunto.${\displaystyle \mathrm {R} }$con dos operaciones binarias${\displaystyle \triangleleft }$y${\displaystyle \triangleright }$de tal manera que para todos${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$:

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$(Ley autodistributiva de la izquierda)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$(ley de autodistribución correcta)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Es conveniente decir que el elemento${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$está actuando desde la izquierda en la expresión${\displaystyle a\triangleleft b}$y actuando desde la derecha en la expresión${\displaystyle b\triangleright a}$El tercer y cuarto axioma del rack establecen que las acciones izquierda y derecha son inversas entre sí. Utilizando esto, podemos eliminar cualquiera de estas acciones de la definición de rack. Si eliminamos la acción derecha y conservamos la izquierda, obtenemos la definición concisa dada inicialmente.

En la literatura sobre cremalleras y quandles se utilizan muchas convenciones diferentes. Por ejemplo, muchos autores prefieren trabajar con la acción justa . Además, el uso de los símbolos${\displaystyle \triangleleft }$y${\displaystyle \triangleright }$No es en absoluto universal: muchos autores utilizan la notación exponencial. $${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$$

y $${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$$

mientras que muchos otros escriben $${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$$

Otra definición equivalente de un rack es que se trata de un conjunto donde cada elemento actúa a la izquierda y a la derecha como automorfismos del rack, siendo la acción de la izquierda la inversa de la de la derecha. En esta definición, el hecho de que cada elemento actúe como automorfismos codifica las leyes de autodistribución izquierda y derecha, y también estas leyes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$$

que son consecuencias de la(s) definición(es) dada(s) anteriormente.

Un quandle se define como un rack idempotente ,${\displaystyle \mathrm {Q} }$, de tal manera que para todo${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$$${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$$ o equivalentemente $${\displaystyle a\triangleright a=a.}$$

Cada grupo proporciona un quandle donde las operaciones provienen de la conjugación: $${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}}$$

De hecho, toda ley de igualdad que se satisface mediante la conjugación en un grupo se deduce de los axiomas de quandle. Así pues, podemos pensar en un quandle como lo que queda de un grupo cuando olvidamos la multiplicación, la identidad y los inversos, y solo recordamos la operación de conjugación.

Todo nudo manso en el espacio euclidiano tridimensional (o, más generalmente, en una 3-esfera ) tiene un «quandle fundamental» ^{[ 5 ]} de forma similar a como todo nudo tiene un grupo de nudos . El grupo de nudos de un nudo manso tiene una presentación de Wirtinger donde los generadores del grupo se dan como conjugados, y por lo tanto, esta presentación puede usarse para dar una presentación para el quandle fundamental: los generadores son los arcos de un diagrama orientado del nudo, y para cada cruce en ese diagrama, etiquetando la hebra superior${\displaystyle x}$y los mechones inferiores izquierdo y derecho (en relación con${\displaystyle x}$orientación)${\displaystyle u,v}$respectivamente, la relación

$${\displaystyle u\triangleright x=v}$$

se cumple. Nótese que este quandle resultante no tiene por qué ser el mismo que el quandle de conjugación del grupo de nudos.

El quandle fundamental es un invariante muy poderoso de los nudos. En particular, si dos nudos mansos tienen quandles fundamentales isomorfos , entonces existe un homeomorfismo del espacio euclidiano tridimensional, que puede invertir la orientación , transformando un nudo en el otro.

Se pueden obtener invariantes de nudos menos potentes pero más fáciles de calcular contando los homomorfismos del quandle de nudos a un quandle fijo.${\displaystyle \mathrm {Q} }$Dado que el quandle de nudos tiene una presentación con un generador por hebra en un diagrama de nudos , estos invariantes se pueden calcular contando formas de etiquetar cada hebra con un elemento de${\displaystyle \mathrm {Q} }$, sujeto a ciertas restricciones. Se pueden construir invariantes más sofisticados de este tipo con la ayuda de la cohomología de quandle .

ElLos quandles de Alexander también son importantes, ya que pueden usarse para calcular el polinomio de Alexander de un nudo.${\displaystyle \mathrm {A} }$ser un módulo sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$de polinomios de Laurent en una variable (es decir,${\displaystyle \mathrm {A} }$es un grupo abeliano equipado con un automorfismo, que${\displaystyle t}$actos por). Entonces el dilema de Alexander es${\displaystyle \mathrm {A} }$convertido en una disputa con la acción izquierda dada por $${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$$

En topología, los racks son una generalización útil de los quandles, ya que, mientras que los quandles pueden representar nudos en un objeto lineal redondo (como una cuerda o un hilo), los racks pueden representar cintas, que pueden estar tanto retorcidas como anudadas.

Un dilema${\displaystyle \mathrm {Q} }$Se dice que es involutivo si para todo${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} }$, $${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$$

o equivalentemente, $${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$$

Esto puede expresarse de forma más sencilla como $${\displaystyle a\triangleleft b=b\triangleright a,}$$ lo que permite una definición de ecuación con una sola operación.

Cualquier espacio simétrico da lugar a un quandle involutivo, donde${\displaystyle a\triangleleft b}$es el resultado de 'reflexionar'${\displaystyle b}$a través de${\displaystyle a}$'.

• Biracks y biquandles
• Mesa Laver

• Problemas de nudos resueltos con quandles : una introducción para estudiantes de pregrado a los quandles y otros invariantes de nudos.
• Un estudio de las ideas de Quandle por Scott Carter
• Invariantes de nudos derivados de quandles y racks por Seiichi Kamada
• Estantes, bastidores, husos y quandles , pág.  56 de Lie 2-Algebras de Alissa Crans
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle