Mecanismo de Kozai

En mecánica hamiltoniana, un sistema físico se especifica mediante una función, llamada hamiltoniana y denotada${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, de coordenadas canónicas en el espacio de fases . Las coordenadas canónicas consisten en las coordenadas generalizadas${\displaystyle x_{k}}$en el espacio de configuración y sus momentos conjugados${\displaystyle p_{k}}$, para${\displaystyle k=1,...N}$, para los N cuerpos en el sistema (${\displaystyle N=3}$para el efecto von Zeipel-Kozai-Lidov). El número de${\displaystyle (x_{k},p_{k})}$El número de pares necesarios para describir un sistema dado es el número de sus grados de libertad .

Los pares de coordenadas se eligen generalmente de forma que se simplifiquen los cálculos necesarios para resolver un problema concreto. Un conjunto de coordenadas canónicas puede transformarse en otro mediante una transformación canónica . Las ecuaciones de movimiento del sistema se obtienen a partir del hamiltoniano mediante las ecuaciones canónicas de Hamilton , que relacionan las derivadas temporales de las coordenadas con las derivadas parciales del hamiltoniano respecto de los momentos conjugados.

La dinámica de un sistema compuesto por tres cuerpos que actúan bajo su atracción gravitatoria mutua es caótica : su comportamiento durante largos periodos de tiempo es enormemente sensible a cualquier cambio mínimo en las condiciones iniciales. Esto expone los cálculos a un rápido deterioro debido a las incertidumbres en dichas condiciones, tanto al determinarlas como al evitar que se redondeen en la aritmética computacional . La consecuencia práctica es que el problema de los tres cuerpos no puede resolverse analíticamente durante un tiempo indefinido, excepto en casos especiales. ^{[ 6 ] : 221} En su lugar, se utilizan métodos numéricos para tiempos de pronóstico limitados por la precisión disponible. ^{[ 7 ] : 2, 10}

El mecanismo de Lidov-Kozai es una característica de los sistemas triples jerárquicos , ^{[ 8 ] : 86} es decir, sistemas en los que uno de los cuerpos, llamado "perturbador", se encuentra lejos de los otros dos, que se dice que componen el binario interno . El perturbador y el centro de masa del binario interno componen el binario externo . ^{[ 9 ] : §I} Estos sistemas se estudian a menudo utilizando los métodos de la teoría de perturbaciones para escribir el hamiltoniano de un sistema jerárquico de tres cuerpos como una suma de dos términos responsables de la evolución aislada del binario interno y externo, y un tercer término que acopla las dos órbitas, ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {in}}+{\mathcal {H}}_{\rm {out}}+{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}.}$

El término de acoplamiento se expande entonces en los órdenes del parámetro${\displaystyle \alpha }$, definido como la relación de los semiejes mayores del binario interno y externo y por lo tanto pequeño en un sistema jerárquico. ^{[ 9 ]} Dado que la serie perturbativa converge rápidamente, el comportamiento cualitativo de un sistema jerárquico de tres cuerpos está determinado por los términos iniciales en la expansión, denominados cuadrupolo (${\displaystyle \propto \alpha ^{2}}$), octupolo (${\displaystyle \propto \alpha ^{3}}$) y hexadecapolo (${\displaystyle \propto \alpha ^{4}}$) términos de orden, ^{[ 10 ] : 4–5}

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}}+{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).}$

Para muchos sistemas, se encuentra una descripción satisfactoria ya en el orden cuadrupolar más bajo de la expansión perturbativa. El término octupolar se vuelve dominante en ciertos regímenes y es responsable de una variación a largo plazo en la amplitud de las oscilaciones de Lidov-Kozai. ^{[ 11 ]}

El tratamiento más sencillo del mecanismo de von Zeipel-Lidov-Kozai supone que uno de los componentes del sistema binario interno, el secundario , es una partícula de prueba : un objeto puntual idealizado con una masa despreciable en comparación con los otros dos cuerpos, el primario y el perturbador distante. Estas suposiciones son válidas, por ejemplo, en el caso de un satélite artificial en órbita terrestre baja perturbado por la Luna , o un cometa de período corto perturbado por Júpiter .

Bajo estas aproximaciones, las ecuaciones de movimiento promediadas en órbita para la estrella secundaria tienen una cantidad conservada : la componente del momento angular orbital de la secundaria paralela al momento angular de la órbita de la primaria/perturbadora. Esta cantidad conservada puede expresarse en términos de la excentricidad e y la inclinación i de la secundaria con respecto al plano del sistema binario exterior:

${\displaystyle L_{\mathrm {z} }={\sqrt {1-e^{2}\;}}\,\cos i=\mathrm {constante} }$

La conservación de L _z implica que la excentricidad orbital puede ser "intercambiada" por inclinación. Por lo tanto, las órbitas casi circulares y muy inclinadas pueden volverse muy excéntricas. Dado que aumentar la excentricidad manteniendo constante el semieje mayor reduce la distancia entre los objetos en el periapsis , este mecanismo puede provocar que los cometas (perturbados por Júpiter ) rocen el Sol .

Las oscilaciones de Lidov-Kozai estarán presentes si L _z es menor que un cierto valor. En el valor crítico de L _z , aparece una órbita de "punto fijo", con una inclinación constante dada por

${\displaystyle i_{\mathrm {crit} }=\arccos \left({\sqrt {{\frac {3}{5}}\,}}\,\right)\approx 39.2^{\mathsf {o}}}$

Para valores de L _z menores que este valor crítico, existe una familia monoparamétrica de soluciones orbitales que tienen el mismo L _z pero diferentes cantidades de variación en e o i . Sorprendentemente, el grado de variación posible en i es independiente de las masas involucradas, que solo determinan la escala de tiempo de las oscilaciones. ^{[ 12 ]}

El mecanismo de von Zeipel-Lidov-Kozai provoca que el argumento del pericentro ( ω ) gire aproximadamente 90° o 270°, es decir, que su periapsis se produce cuando el cuerpo está más alejado del plano ecuatorial. Este efecto es parte de la razón por la que Plutón está protegido dinámicamente de encuentros cercanos con Neptuno .

El mecanismo de Lidov-Kozai impone restricciones a las órbitas posibles dentro de un sistema. Por ejemplo:

Para un satélite normal

Si la órbita de la luna de un planeta está muy inclinada con respecto a la órbita del planeta, la excentricidad de la órbita de la luna aumentará hasta que, en su punto de máxima aproximación, la luna sea destruida por las fuerzas de marea.

Para satélites irregulares

La creciente excentricidad provocará una colisión con una luna regular, el planeta o, alternativamente, el creciente apocentro podría empujar al satélite fuera de la esfera de Hill . Recientemente, se ha descubierto que el radio de estabilidad de Hill es una función de la inclinación del satélite, lo que también explica la distribución no uniforme de las inclinaciones irregulares de los satélites. ^{[ 13 ]}

El mecanismo se ha invocado en las búsquedas del Planeta Nueve , un planeta hipotético que orbita alrededor del Sol mucho más allá de la órbita de Neptuno. ^{[ 14 ]}

Se ha descubierto que varias lunas están en resonancia Lidov-Kozai con su planeta, incluyendo Carpo y Euporie de Júpiter , ^{[ 15 ]} Kiviuq e Ijiraq de Saturno , ^{[ 1 ] : 100} Margaret de Urano , ^{[ 16 ]} y Sao y Neso de Neptuno . ^{[ 17 ]}

Algunas fuentes identifican la sonda espacial soviética Luna 3 como el primer ejemplo de un satélite artificial que experimenta oscilaciones de Lidov-Kozai. Lanzada en 1959 a una órbita geocéntrica, excéntrica y muy inclinada, fue la primera misión en fotografiar la cara oculta de la Luna . Se desintegró en la atmósfera terrestre tras completar once revoluciones. ^{[ 1 ] : 9–10} Sin embargo, según Gkolias et al . (2016), un mecanismo diferente debió haber impulsado la desintegración de la órbita de la sonda, ya que las oscilaciones de Lidov-Kozai se habrían visto frustradas por los efectos del achatamiento de la Tierra . ^{[ 18 ]}

El mecanismo de von Zeipel-Lidov-Kozai, en combinación con la fricción de marea , puede producir Júpiteres Calientes , que son exoplanetas gigantes gaseosos que orbitan sus estrellas en órbitas cerradas. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} La alta excentricidad del planeta HD 80606 b en el sistema HD 80606/80607 probablemente se deba al mecanismo de Kozai. ^{[ 23 ]} KELT-19 Ab probablemente tenga evidencia del mecanismo de Kozai debido a desalineaciones primordiales entre el eje orbital planetario y el eje de rotación estelar con su órbita invertida. ^{[ 24 ]}

Se cree que este mecanismo afecta el crecimiento de los agujeros negros centrales en cúmulos estelares densos . También impulsa la evolución de ciertas clases de agujeros negros binarios ^{[ 9 ]} y puede desempeñar un papel en la posibilitación de fusiones de agujeros negros . ^{[ 25 ]}