Operación cuántica

En mecánica cuántica , una operación cuántica (también conocida como mapa dinámico cuántico o proceso cuántico ) es un formalismo matemático que se utiliza para describir una amplia clase de transformaciones que puede experimentar un sistema cuántico. George Sudarshan la describió por primera vez como una transformación estocástica general para una matriz de densidad en 1961. ^{[ 1 ]} El formalismo de la operación cuántica describe no solo la evolución temporal unitaria o las transformaciones de simetría de sistemas aislados, sino también los efectos de la medición y las interacciones transitorias con un entorno. En el contexto de la computación cuántica , una operación cuántica se denomina canal cuántico .

Nótese que algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para referirse específicamente a mapas completamente positivos (CP) y que no aumentan la traza en el espacio de matrices de densidad, y el término " canal cuántico " para referirse al subconjunto de aquellos que conservan estrictamente la traza. ^{[ 2 ]}

Las operaciones cuánticas se formulan en términos de la descripción del operador de densidad de un sistema mecánico cuántico. Rigurosamente, una operación cuántica es una aplicación lineal y completamente positiva del conjunto de operadores de densidad en sí misma. En el contexto de la información cuántica, a menudo se impone la restricción adicional de que una operación cuántica${\displaystyle {\mathcal {E}}}$debe ser físico , ^{[ 3 ]} es decir, satisfacer${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$para cualquier estado${\displaystyle \rho }$.

Algunos procesos cuánticos no pueden ser capturados dentro del formalismo de operaciones cuánticas; ^{[ 4 ]} en principio, la matriz de densidad de un sistema cuántico puede experimentar una evolución temporal completamente arbitraria. Las operaciones cuánticas se generalizan mediante instrumentos cuánticos , que capturan la información clásica obtenida durante las mediciones, además de la información cuántica .

La imagen de Schrödinger proporciona una explicación satisfactoria de la evolución temporal del estado de un sistema cuántico bajo ciertas suposiciones. Estas suposiciones incluyen:

• El sistema no es relativista.
• El sistema está aislado.

La representación de Schrödinger para la evolución temporal tiene varias formulaciones matemáticamente equivalentes. Una de ellas expresa la tasa de cambio del estado en el tiempo mediante la ecuación de Schrödinger . Una formulación más adecuada para esta exposición se expresa de la siguiente manera:

Esto significa que si el sistema está en un estado correspondiente a v ∈ H en un instante de tiempo s , entonces el estado después de t unidades de tiempo será U _t v . Para sistemas relativistas , no hay un parámetro de tiempo universal , pero aún podemos formular el efecto de ciertas transformaciones reversibles en el sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, las transformaciones de estado que relacionan observadores en diferentes marcos de referencia están dadas por transformaciones unitarias. En cualquier caso, estas transformaciones de estado llevan estados puros a estados puros; esto a menudo se formula diciendo que en este marco idealizado, no hay decoherencia .

Para sistemas interactivos (o abiertos), como los que se están midiendo, la situación es completamente diferente. Para empezar, los cambios de estado que experimentan estos sistemas no pueden explicarse exclusivamente mediante una transformación del conjunto de estados puros (es decir, aquellos asociados a vectores de norma 1 en H ). Tras dicha interacción, un sistema en un estado puro φ puede dejar de estar en ese estado. En general, estará en una mezcla estadística de una secuencia de estados puros φ₁ _, ..., φk _con probabilidades respectivas λ₁ _, ..., _λk . La transición de un estado puro a un estado mixto se conoce como decoherencia.

Se han establecido numerosos formalismos matemáticos para abordar el caso de un sistema interactuante. El formalismo de operaciones cuánticas surgió alrededor de 1983 a partir del trabajo de Karl Kraus , quien se basó en el trabajo matemático previo de Man-Duen Choi . Tiene la ventaja de expresar operaciones como la medición como una correspondencia entre estados de densidad. En particular, el efecto de las operaciones cuánticas permanece dentro del conjunto de estados de densidad.

Recordemos que un operador de densidad es un operador no negativo en un espacio de Hilbert con traza unitaria.

Matemáticamente, una operación cuántica es una aplicación lineal Φ entre espacios de operadores de clase traza en espacios de Hilbert H y G tales que

• Si S es un operador de densidad, Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ es completamente positivo , es decir, para cualquier número natural n y cualquier matriz cuadrada de tamaño n cuyas entradas sean operadores de clase traza.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$y que es no negativo, entonces$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$también es no negativo. En otras palabras, Φ es completamente positivo si${\displaystyle \Phi \otimes I_ {n}}$es positivo para todo n , donde${\displaystyle I_{n}}$denota la aplicación identidad en el álgebra C* de${\displaystyle n\times n}$matrices.

Cabe señalar que, según la primera condición, las operaciones cuánticas podrían no preservar la propiedad de normalización de los conjuntos estadísticos. En términos probabilísticos, las operaciones cuánticas podrían ser submarkovianas . Para que una operación cuántica preserve el conjunto de matrices de densidad, necesitamos la suposición adicional de que conserva la traza.

En el contexto de la información cuántica , las operaciones cuánticas aquí definidas, es decir, las aplicaciones completamente positivas que no incrementan la traza, también se denominan canales cuánticos o aplicaciones estocásticas . La formulación aquí presentada se limita a canales entre estados cuánticos; sin embargo, puede extenderse para incluir también estados clásicos, lo que permite manejar simultáneamente información cuántica y clásica.

El teorema de Kraus (llamado así en honor a Karl Kraus ) caracteriza los mapas completamente positivos , que modelan las operaciones cuánticas entre estados cuánticos. De manera informal, el teorema garantiza que la acción de cualquier operación cuántica de este tipo${\displaystyle \Phi }$en un estado${\displaystyle \rho }$siempre se puede escribir como${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _ {k}B_ {k}\rho B_ {k}^{*}}$, para algún conjunto de operadores${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$satisfactorio${\textstyle \sum _ {k}B_ {k}^{*}B_ {k}\leq \mathbf {1}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {1} }$es el operador de identidad.

Para un sistema mecánico cuántico no relativista, su evolución temporal se describe mediante un grupo uniparamétrico de automorfismos {α _t } _t de Q. Esto se puede restringir a transformaciones unitarias: bajo ciertas condiciones técnicas débiles (véase el artículo sobre lógica cuántica y la referencia de Varadarajan), existe un grupo uniparamétrico fuertemente continuo { U _t } _t de transformaciones unitarias del espacio de Hilbert subyacente tal que los elementos E de Q evolucionan según la fórmula

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

The system time evolution can also be regarded dually as time evolution of the statistical state space. The evolution of the statistical state is given by a family of operators {β_t}_t such that $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

Clearly, for each value of t, S → U*_tSU_t is a quantum operation. Moreover, this operation is reversible.

This can be easily generalized: If G is a connected Lie group of symmetries of Q satisfying the same weak continuity conditions, then the action of any element g of G is given by a unitary operator U: $${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$ This mapping g → U_g is known as a projective representation of G. The mappings S → U*_gSU_g are reversible quantum operations.

Quantum operations can be used to describe the process of quantum measurement. The presentation below describes measurement in terms of self-adjoint projections on a separable complex Hilbert space H, that is, in terms of a PVM (Projection-valued measure). In the general case, measurements can be made using non-orthogonal operators, via the notions of POVM. The non-orthogonal case is interesting, as it can improve the overall efficiency of the quantum instrument.

Anil Shaji y George Sudarshan argumentaron en 2005 que, tras un análisis detallado, la positividad completa no es un requisito para una buena representación de la evolución cuántica abierta. Sus cálculos muestran que, partiendo de correlaciones iniciales fijas entre el sistema observado y el entorno, el mapa restringido al propio sistema no es necesariamente positivo. Sin embargo, no es positivo solo para aquellos estados que no satisfacen la suposición sobre la forma de las correlaciones iniciales. Por lo tanto, demuestran que, para comprender plenamente la evolución cuántica, también deben considerarse mapas no completamente positivos. ^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• Semigrupo dinámico cuántico
• Superoperador

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (10.ª  ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173OCLC 665137861​​ 
• Choi, Man-Duen (1975). "Aplicaciones lineales completamente positivas en matrices complejas" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 10 (3). Elsevier BV: 285–290 . doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN 0024-3795 . 
• Sudarshan, ECG; Mathews, PM; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). "Dinámica estocástica de sistemas cuántico-mecánicos". Physical Review . 121 (3). American Physical Society (APS): 920– 924. Bibcode : 1961PhRv..121..920S . doi : 10.1103/physrev.121.920 . ISSN 0031-899X . 
• Belavkin, VP; Staszewski, P. (1986). "Un teorema de Radon-Nikodym para mapas completamente positivos". Reports on Mathematical Physics . 24 (1). Elsevier BV: 49– 55. Bibcode : 1986RpMP...24...49B . doi : 10.1016/0034-4877(86)90039-x . ISSN 0034-4877 . 
• Kraus, K. (1983). Estados, efectos y operaciones: nociones fundamentales de la teoría cuántica . Springer Verlag.
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