Clase básica de Kronheimer-Mrowka

En matemáticas , las clases básicas de Kronheimer-Mrowka son elementos de la segunda cohomología.${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$de un colector liso y simplemente conectado de 4 vías${\displaystyle M}$de tipo simple que determinan sus polinomios de Donaldson . Fueron introducidos por Peter B. Kronheimer y Tomasz S. Mrowka ( 1994 , 1995 ) . 

Para un colector de 4${\displaystyle M}$, sus invariantes de Donaldson son un número entero${\displaystyle \gamma _{0}(M)\in \mathbb {Z} }$y mapas${\displaystyle \gamma _{d}(M)\colon H_{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} [1/2]}$(en semi-enteros), que se combinan en el polinomio de Donaldson: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}\colon H_{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {R} ,{\mathcal {D}}_{M}(x)=\sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{d}(M)(x)}{d!}}.}$

Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka introdujeron una condición conocida como tipo simple de Kronheimer-Mrowka (tipo simple KM), que es suficiente para obtener los invariantes de Donaldson separados a partir de su polinomio de Donaldson común. Para una variedad KM-simple${\displaystyle M}$existen clases de cohomología${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{s}\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, llamadas clases básicas de Kronheimer-Mrowka (clases básicas KM), así como los números racionales${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}\in \mathbb {Q} }$, denominados coeficientes de Kronheimer-Mrowka (coeficientes KM), de modo que:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}(x)=\exp(Q_{M}(x,x)/2)\sum _{r=1}^{s}a_{r}\exp(K_{r}(x))}$

a pesar de${\displaystyle x\in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}$. Además${\displaystyle w_{2}(M)=K_{r}\operatorname {mod} 2\in H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})}$para todas las clases básicas de Kronheimer-Mrowka. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Aunque esta reducción de la suma infinita del polinomio de Donaldson a una suma finita a principios de 1994 trajo una simplificación significativa a la teoría de Donaldson, fue revisada apenas unos meses después, a finales de 1994, por el desarrollo de la teoría de Seiberg-Witten . Edward Witten , presentado en una conferencia en el MIT , utilizó un argumento puramente físico para conjeturar que las clases básicas de Kronheimer-Mrowka son exactamente el soporte de los invariantes de Seiberg-Witten.${\displaystyle \operatorname {SW} \colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\rightarrow \mathbb {Z} }$(de ahí la primera clase Chern)${\displaystyle c_{1}\colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\rightarrow H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$de estructuras de espín ^c con un invariante de Seiberg-Witten no nulo) y sus coeficientes de Kronheimer-Mrowka son, salvo un factor topológico, exactamente sus invariantes de Seiberg-Witten. Más concretamente, afirma que una 4-variedad compacta, conexa, simplemente conexa y orientable es suave.${\displaystyle M}$con${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$Un polinomio impar es de tipo simple de Kronheimer-Mrowka si y solo si es de tipo simple de Seiberg-Witten (lo que significa que los invariantes de Seiberg-Witten no nulos solo provienen de espacios de módulos de Seiberg-Witten de dimensión cero al contar sus puntos con un signo determinado por su orientación). En este caso, el polinomio de Donaldson viene dado por: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}(x)=\exp(Q_{M}(x,x)/2)\sum _{{\mathfrak {s}}\in \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M),\dim {\mathcal {M}}_{\mathfrak {s}}^{\mathrm {SW} }=0}2^{2+{\frac {1}{4}}(7\chi (M)+11\sigma (M))}\operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})\exp(c_{1}({\mathfrak {s}})(x)).}$

• Kronheimer, Peter B.; Mrowka, Tomasz S. (1994), "Relaciones de recurrencia y asintótica para invariantes de cuatro variedades", Bulletin of the American Mathematical Society , Nueva Serie, 30 (2): 215– 221, arXiv : math/9404232 , doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00492-6 , ISSN 0002-9904 , MR 1246469  
• Kronheimer, Peter B.; Mrowka, Tomasz S. (1995), "Superficies embebidas y la estructura de los invariantes polinomiales de Donaldson" , Journal of Differential Geometry , 41 (3): 573–734 , doi : 10.4310/jdg/1214456482 , ISSN 0022-040X , MR 1338483  
• Naber, Gregory L. (2011). Topología, geometría y campos de gauge . Ciencias matemáticas aplicadas. Vol.  141 (Segunda  edición). Springer . doi : 10.1007/978-1-4419-7895-0 . ISBN 978-1-4419-7894-3ISSN 0066-5452​​ 

• Clase básica de Kronheimer-Mrowka en el Laboratorio n