invariante de Donaldson

En topología diferencial matemática, los invariantes de Donaldson son invariantes de la estructura suave de variedades suaves de cuatro dimensiones (o simplemente 4-variedades ) basados ​​en los métodos del teorema de Donaldson . En particular, se obtiene información clave del espacio de módulos de Yang-Mills de las ecuaciones de Yang-Mills en la 4-variedad, que, como ecuaciones diferenciales parciales, dependen de la estructura suave. Los invariantes de Donaldson permiten distinguirlas, y por lo tanto, detectar estructuras suaves exóticas, lo que significa explícitamente que las 4-variedades suaves homeomorfas , idénticas desde una perspectiva topológica, pueden tener invariantes de Donaldson diferentes. Los invariantes de Donaldson reciben su nombre de Simon Donaldson , quien describió por primera vez el teorema de Donaldson en 1983 ^{[ 1 ]} (con mejoras en 1987 ^{[ 2 ]} ) y los invariantes resultantes en 1986. También fue galardonado con la Medalla Fields por sus contribuciones en 1986 ^{[ 3 ].}

En 1983 ^{[ 1 ]} (con una mejora posterior en 1987 ^{[ 2 ]} ), Simon Donaldson demostró el teorema de Donaldson con la inesperada estrategia de usar el espacio de módulos de Yang-Mills (anti)autodual (espacio de módulos (A)SDYM) de fibrados SU(2) principales , y por lo tanto con el grupo unitario especial${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$como grupo de estructura . En 1984, Ronald Fintushel y Ronald Stern adaptaron su trabajo a los haces SO(3) principales , ^{[ 5 ]} por lo tanto con el grupo ortogonal especial.${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$como grupo estructural. Ambos grupos están conectados por una doble cubierta.${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}$, exactamente la representación adjunta , expresado de otra manera, se tiene el tercer grupo de espín${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)}$y el segundo grupo unitario proyectivo${\displaystyle \operatorname {PU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}$En 1986, Simon Donaldson amplió su trabajo a invariantes sobre la estructura suave de variedades suaves, que funcionan con ambos grupos de estructura.${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$y${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$En 1990, Edward Witten abrió el campo de las teorías cuánticas de campos topológicas (TQFT) y demostró que los invariantes de Donaldson pueden expresarse como los valores esperados de una teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 2 topológicamente retorcida (TT D = 4 N = 2 SYM).

A principios de 1994, Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka lograron una fuerte simplificación de los invariantes de Donaldson con la introducción de las clases básicas de Kronheimer-Mrowka , ^{[ 6 ] [ 7 ]} que redujeron sus sumas infinitas a sumas finitas. A finales de 1994, Nathan Seiberg y Edward Witten construyeron el SYM dual TT N = 2. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Tanto esta teoría de gauge como su aplicación a la geometría de cuatro dimensiones se denominan a menudo teoría de Seiberg-Witten , pero, estrictamente hablando, son dos teorías diferentes. Los invariantes de Seiberg-Witten aportaron múltiples mejoras con respecto a los invariantes de Donaldson, principalmente debido al grupo unitario más sencillo y, además, abeliano.${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$como grupo de estructura o el espacio de módulos de Seiberg-Witten siempre compacto , con las laboriosas compactificaciones que utilizan el teorema de compacidad de Uhlenbeck, necesario para los invariantes de Donaldson, quedaron obsoletas. A pesar de ello, en los años siguientes se pudo demostrar que los invariantes de Seiberg-Witten aún contienen más información que los invariantes de Donaldson, por lo que estos últimos ya no se utilizan con tanta frecuencia. En particular, Clifford Taubes describió una conexión con los invariantes de Gromov-Witten y Edward Witten concluyó, a partir de argumentos puramente físicos, la conjetura de Witten, según la cual las clases básicas de Kronheimer-Mrowka y, por lo tanto, los invariantes de Donaldson, pueden obtenerse completamente a partir de la teoría de Seiberg-Witten. ^{[ 10 ]}

Actualmente, también se consideran teorías de Yang-Mills supersimétricas N = 4 de cuatro dimensiones con torsión topológica (TT D = 4 N = 4 SYM), incluyendo la teoría de Donaldson-Witten , la teoría de Vafa-Witten y la teoría de Kapustin-Witten , junto con otras variantes como la teoría de Rozansky-Witten tridimensional . A partir de estas, surgen otros invariantes como los invariantes de Vafa-Witten y los invariantes de Rozansky-Witten , y la investigación actual intenta determinar cómo amplían y mejoran la idea original de los invariantes de Donaldson.

Dejar${\displaystyle X}$ser un colector liso cerrado orientado de 4 vías y${\displaystyle P\twoheadrightarrow X}$Si es un fibrado SU(2) principal , entonces existe una única clase de homotopía representada por un mapa clasificador.${\displaystyle \tau \colon X\rightarrow \operatorname {BSU} (2)\cong \mathbb {H} P^{\infty }}$en el espacio de clasificación para SU(2) dando un retroceso${\displaystyle P=\tau ^{*}\operatorname {ESU} (2)=\tau ^{*}S^{\infty }}$. Con el emparejamiento de Kronecker y la clase fundamental${\displaystyle [X]\in H_{4}(X,\mathbb {Z} )}$Desde esta orientación, la segunda clase de Chern concretamente da un isomorfismo de grupo :

${\displaystyle \langle c_{2}(-),[X]\rangle \colon \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (2)}(X)\xrightarrow {\cong } \mathbb {Z} .}$

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(P,{\mathfrak {su}}(2))}$sea ​​el espacio de configuración de conexiones en${\displaystyle P}$, que es un espacio vectorial afín no canónicamente isomorfo a${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {Ad} (P))}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\operatorname {Aut} _{\operatorname {SU} (2)}(P)}$ser el grupo de calibre de transformaciones de calibre de${\displaystyle P}$, que actúa sobre${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$sea ​​el espacio de órbitas , ^{[ 11 ] [ 12 ]} entonces hay una equivalencia homotópica débil${\displaystyle {\mathcal {B}}\rightarrow \operatorname {Map} _{P}(X,\operatorname {BSU} (2))}$en la clase de homotopía del mapa clasificador de${\displaystyle P}$. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Curryizarlo corresponde a un mapa${\displaystyle {\mathcal {B}}\times X\rightarrow \operatorname {BSU} (2)}$y mediante la retirada un principal${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-manojo${\displaystyle {\widetilde {P}}\twoheadrightarrow {\mathcal {B}}\times X}$. ^{[ 15 ]} Para cada clase de calibre${\displaystyle [A]\in {\mathcal {B}}}$, uno tiene${\displaystyle {\widetilde {P}}\vert _{\{[A]\}\times X}\cong P\twoheadrightarrow X}$Con la segunda clase Chern${\displaystyle c_{2}({\widetilde {P}})\in H^{4}({\mathcal {B}}\times X,\mathbb {Z} )}$, el producto inclinado produce un mapa: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \mu \colon H_{2}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2}({\mathcal {B}},\mathbb {Z} ),\mu (\alpha ):=c_{2}({\widetilde {P}})/\alpha .}$

Con el subconjunto${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {B}}}$de un espacio de módulos de Yang-Mills (anti)autodual existe un mapa inducido${\displaystyle H^{2}({\mathcal {B}},\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$, que mediante la postcomposición produce un mapa${\displaystyle \mu \colon H_{2}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$. Con la interpretación de las clases de homología como superficies incrustadas${\displaystyle i\colon \Sigma \hookrightarrow M}$con${\displaystyle i_{*}[\Sigma ]\in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}$y la interpretación de las clases de cohomología como formas diferenciales de segundo orden utilizando la cohomología de De Rham.${\displaystyle H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {R} )\cong H_{\mathrm {dR} }^{2}({\mathcal {M}})}$Se puede ver el mapa.${\displaystyle \mu }$como mapeo de superficies incrustadas en${\displaystyle M}$a formas diferenciales de segundo orden en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Los invariantes de Donaldson se definen mediante la integración de estas formas diferenciales, la cual se ve interrumpida por la falta de compatibilidad y las singularidades del espacio de módulos. Una compactificación${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\overline {\mathcal {M}}}}$se puede construir utilizando el teorema de compacidad de Uhlenbeck y conduce a una${\displaystyle \mathbb {Z} }$-mapa lineal${\displaystyle \mu \colon H_{2}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2}({\overline {\mathcal {M}}},\mathbb {Z} )}$. ^{[ 21 ]}

Dejar${\displaystyle P_{k}\twoheadrightarrow X}$ser el único principal${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-paquete con${\displaystyle \langle c_{2}(P_{k}),[X]\rangle =k}$Según el isomorfismo de grupo anterior, entonces${\displaystyle \langle p_{1}\operatorname {Ad} (P_{k}),[X]\rangle =-4k}$para la primera clase de Pontrjagin del fibrado vectorial adjunto y la dimensión virtual de su espacio de módulos de Yang-Mills anti-autodual (ASDYM) viene dada con el teorema del índice de Atiyah-Singer por: ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}=-8k-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M)).}$

Si${\displaystyle -b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M)}$Si es impar, entonces la dimensión virtual es un número par.${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}=2d_{k}}$, ^{[ 24 ]} potencialmente negativo dada la elección de${\displaystyle k}$. Con una clase fundamental${\displaystyle \left[{\mathcal {M}}_{k}\right]\in H_{2d_{k}}({\mathcal {M}}_{k},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{b_{0}\left({\mathcal {M}}_{k}\right)}}$Dado que el espacio de módulos ASDYM es orientable, el invariante de Donaldson se da con el producto de copa y el emparejamiento de Kronecker: ^{[ 24 ] [ 23 ]}

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X,k}\colon \operatorname {Sym} ^{d_{k}}H_{2}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} ,{\mathcal {D}}_{X,k}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d_{k}}):=\left\langle \mu (\alpha _{1})\smile \ldots \smile \mu (\alpha _{d_{k}}),\left[{\mathcal {M}}_{k}\right]\right\rangle .}$

Considerar las segundas clases de homología en un entorno simétrico, salvo permutación, se deriva de la simetría del producto de copas, de ahí la irrelevancia de cualquier orden. Además, se puede demostrar que los invariantes de Donaldson tampoco dependen de la métrica riemanniana y, por lo tanto, solo de la estructura suave.

Según la fórmula anterior,${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k+1}=\dim {\mathcal {M}}_{k}+8}$se cumple bajo un cambio del número de instantones, expandiendo la entrada del invariante de Donaldson por cuatro nuevas clases de segunda homología. De manera más general, el producto inclinado produce un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-mapa lineal${\displaystyle \mu \colon H_{n}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{4-n}({\overline {\mathcal {M}}},\mathbb {Z} )}$, ^{[ 18 ] [ 25 ] [ 26 ]} así para${\displaystyle X}$conectado con${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$un mapa${\displaystyle \mu \colon \mathbb {Z} \rightarrow H^{4}({\overline {\mathcal {M}}},\mathbb {Z} )}$. Por lo tanto, también se puede extender el invariante de Donaldson mediante dos imágenes de un generador.

Dejar${\displaystyle P\twoheadrightarrow X}$Si SO(3)-fibrado principal , entonces existe una única clase de homotopía representada por un mapa clasificador.${\displaystyle \tau \colon X\rightarrow \operatorname {BSO} (3)}$en el espacio de clasificación para SO(3) dando un retroceso${\displaystyle P=\tau ^{*}\operatorname {ESO} (3)}$Ahora bien, la segunda clase de Stiefel-Whitney y la primera clase de Pontrjagin dan lugar a un isomorfismo de grupos:

${\displaystyle (w_{2},\langle p_{1}(-),[X]\rangle )\colon \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (3)}(X)\xrightarrow {\cong } \{(v,n)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} _{2})\times \mathbb {Z} |\langle v^{2},[X]\rangle \equiv n\operatorname {mod} 4\}.}$

En este caso, la primera clase de Pontrjagin reemplaza a la segunda clase de Chern en el producto inclinado.

• Donaldson, Simon (1986). "Conexiones, cohomología y formas de intersección de variedades de 4 dimensiones". Journal of Differential Geometry . 24 (3): 275– 341. doi : 10.4310/jdg/1214440551 . ISSN 0022-040X . MR 0679066 .  
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